Исследование сходимости рядов

Во многих случаях исследование сходимости рядов сводится к вычислению некоторых пределов и сравнению их значений с некоторыми заданными числами (или символом ∞). Так будет, если для исследования сходимости ряда используются предельный признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши (с радикалом) и некоторые другие признаки. Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 2.6.

Исследовать сходимость ряда .

При больших n, . Воспользуемся предельным признаком сравнения, сравнив данный ряд с рядом . Ряд сходится, как ряд Дирихле с параметром p > 1. С помощью приложения Mathcad найдём предел отношения общих членов этих рядов. Для этого нужно набрать:

Итак, предел отношения общих членов рассматриваемых рядов конечный и не равный нулю (равен 1). Следовательно, в отношении сходимости оба ряда ведут себя одинаково, т.е. исследуемый ряд сходится.

Аналогично можно использовать приложение Mathcad, при иссле-довании сходимости ряда с помощью признака Даламбера () и признака Коши ().

Заметим, что Windows приложение Mathcad позволяет вычислять не все пределы, а только те, вычисление которых программно обеспечено в этом приложении.

Приложение Mathcad позволяет вычислять значения многих несобственных интегралов. Это можно использовать при исследовании сходимости рядов с помощью интегрального признака Коши.

ПРИМЕР 2.7.

Исследовать сходимость ряда .

Функция имеет производную , которая при x > 2 отрицательная, . Тогда эта функция определена, непрерывна, неотрицательная и убывающая на промежутке [2; +∞) и, по интегральному признаку Коши, ряд и интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся. Вычислим этот интеграл с помощью ЭВМ. Для этого нужно набрать:

.

Интеграл имеет конечное значение, следовательно, сходится. Тогда исследуемый ряд тоже сходится.

3. ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАНИЙ

Рассмотрим решения некоторых, наиболее трудных, практических заданий.

Поиск по сайту: