Задание 8. Исследовать на сходимость (абсолютную и условную) знакочере-дующийся ряд

Исследовать на сходимость (абсолютную и условную) знакочере-дующийся ряд .

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд составленный из модулей членов данного ряда . Сравним его с рядом , отметив, что:

оба ряда с неотрицательными членами;

второй ряд расходится, как ряд Дирихле с параметром р < 1 (p = );

для n > 2 выполняются неравенства ln n > 1, .

Тогда по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами ряд расходится, а это означает, что исследуемый ряд не сходится абсолютно.

Для исследования данного ряда на условную сходимость применим признак Лейбница, отметив, что:

данный ряд знакочередующийся;

предел общего члена ряда (модуля общего члена ряда) равен 0 (действительно, используя правило Лопиталя, имеем

= = = = 0);

начиная с некоторого номера члены ряда убывают по абсолютной величине (действительно, функция имеет производную , которая отрицательна, если x > ).

Тогда по признаку Лейбница данный ряд сходится условно.

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Понятия числового ряда, частичной суммы и остатка ряда, сходимости и суммы ряда.

2. Приближенное вычисление суммы ряда и оценка погрешности.

3. Операции над рядами (сумма и разность рядов, произведение ряда на число, произведение рядов). Теоремы о сходимости суммы и разности рядов, произведения ряда на число, произведения рядов.

4. Критерий Коши сходимости числового ряда.

5. Необходимые признаки сходимости рядов (два признака: в терминах членов ряда и частичных сумм ряда). Привести примеры, показывающие, что эти признаки не являются достаточными признаками сходимости.

6. Определение гармонического ряда. Почему этот ряд называется гармоническим? Что можно сказать о сходимости этого ряда?

7. Сформулировать признаки сравнения для рядов с положительными членами.

8. Сформулировать признак Даламбера. Привести примеры.

9. Сформулировать признак Раабе.

10. Сформулировать признак Коши с радикалом. Привести примеры.

11. Сформулировать интегральный признак Коши. Применить этот признак к исследованию сходимости гармонического ряда.

12. Обобщённый гармонический ряд или ряд Дирихле (определение). Что можно сказать о сходимости обобщённого гармонического ряда при различных действительных значениях параметра?

13. Знакопеременные ряды. Определение абсолютной сходимости ряда. Теорема об абсолютной сходимости ряда.

14. Знакочередующиеся ряды. Сформулировать признак Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница.

15. Определение условной сходимости знакопеременного ряда. Привести примеры.

16. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

17. Сформулировать признак Абеля-Дирихле. Привести пример.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука,1984. 432с.

2. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы).Ч.1. Общие функциональные ряды и их приложение. М.: Высшая школа, 1980. 279с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.Т.2. М.: Наука, 1978. 576с.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. М.:Высшая школа, 1981. 687с.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Задачник. М.: Наука, 1987. 256с.

6. Сборник задач по математике для втузов. Ч.2. Специальные разделы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1986. 368с.

7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х ч. Ч.1. М.: Высшая школа,1996. 416с.

8. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1983. 460с.

9. Шмелёв Т.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 1983. 176с.

10. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике для ВУЗов и ВТУЗов. М.: ВЕК, Большая Медведица, 1997. 863с.

11. Ряды и их приложения: Методические указания для студентов, обуча-ющихся по системе дистанционного образования / Курск. гос. техн. ун-т; Сост.: И.Н. Росляков, Е.В. Селезнёва. Курск, 2000. 49с.

12. MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчёты в среде WINDOWS 95: Пер. с анг. М.: Информационно-издательский дом "Филин", 1996. 712с.

Поиск по сайту: