Проверка статистических гипотез

Статистические критерии можно разделить на следующие группы: критерии однородности и критерии согласия.

С помощью критериев однородности исследователь пытается на основе отрывочных данных удлинить ряд данных натурных наблюдений. Экспериментатор проверяет на однородность несколько рядов натурных наблюдений с целью объединения их в один. Необходимость использования критериев однородности обусловлена стремлением получить более совершенные расчетные параметры кривых распределения (с увеличением объема выборки расчетные величины приобретают количественную стабильность, увеличивается существенность каждой характеристики, проявляются закономерности распределения случайных величин). Критериев однородности достаточно много. Наиболее распространенными в практических расчетах являются критерии Фишера и Стьюдента (параметрические критерии, в основе которых лежит предположение о принадлежности случайных величин к нормальному закону распределения). Из непараметрических можно выделить критерий Вилкоксона (нет предложений о законах распределения сравниваемых выборок).

Критерии согласия позволяют подобрать к эмпирическому распределению конкретное теоретическое. Наиболее распространенными в практических расчетах является критерий Пирсона или Х².

Цель использования критериев заключается в определении закономерностей возникновения случайных величин, их свойств, которые определяют сущность прогнозов и играют важную роль в управлении природными явлениями.

Проверка выборок на однородность.

Вопросы удлинения рядов данных натурных наблюдений преследует цель корректировки статистических параметров. Для проверки выборок в сходстве формирования случайных величин используют статистические критерии однородности. Как правило, анализируются выборки попарно. Результатом статистического анализа на однородность является объединение двух выборок в одну или отрицание однородности между сравниваемыми совокупностями. В качестве примера использования статистических критериев однородности при практических расчетах студенты обмениваются выборками и проверяют их на однородность. Для расчетов используются критерии однородности: параметрический – критерий Фишера; непараметрический – критерий Вилкоксона.

Критерий Фишера основан на равенстве дисперсий выборок распределенных приближенно нормально. Расчетное значение критерия Фишера определяется по следующей формуле:

причем необходимо выполнение условия D_x > D_y,

где, D_x – дисперсия выборки Х (допустим, что выполняется вышеприведенные условие);

D_y – дисперсия выборки Y (по условию меньше дисперсии выборки Х).

Для определения области допустимых значений необходимо задаться уровнем значимости и числом степеней свободы (для практических расчетов уровень значимости принимаем равным 0,05, число степеней свободы рассчитывается по следующей зависимости: ).

Используя таблицы F-распределения (Приложение 2), определяется критическое значение критерия в зависимости от выбранного уровня значимости и числа степеней свободы. Если выполняется условие, при котором расчетное значение критерия Фишера не превосходит критическое, то можно предположить, что наши ряды однородны и сравниваемые выборки можно объединить в один ряд.

Из непараметрических критериев однородности можно выделить статистический критерий однородности Вилкоксона. Расчеты проводим в следующем виде и поледовательности: значения обеих выборок (X и Y) упорядочиваются вместе по величине, с учетом выборки из которой взято значение. Сумма инверсий определяется следующим образом: по построенному вариационному ряду из двух сравниваемых выборок проводят подсчет инверсий (инверсией считается величина, характеризующаяся следующим неравенством x_i > y_i), т.е. определяют, сколько значений Y-выборки находится перед каждым значением Х-выборки. Расчетное значение критерия Вилкоксона определяется по формуле:

Критическое значение статистического критерия однородности Виткоксона определяется по таблицам или с помощью формулы:

где коэффициент Z_а определяется по формуле:

2*Ф₀(Z_а) = 1 – α;

Где Ф₀ – функция нормированного и центрированного закона нормального распределения (Приложение 1).

Допустим необходимо сравнить две выборки на принадлежность их одной генеральной совокупности:

= 14,77

Критерий Фишера:

Область допустимых значений определяется в зависимости отуровня значимости и числа степеней свободы: α = 0,05; m₁ = 29; m₂ = 29.

По таблицам F- распределения (Приложение 2) определяем, что критическое значение критерия Фишера равно 1,64. Полученное расчетное значение критерия Фишера не превышает критического. Исходя из этого можно сделать вывод, что оно находится в области допустимых значений, и нулевая гипотеза подтверждается, а это значит, что сравниваемые выборки однородны (принадлежат одной генеральной совокупности), и их можно объединить в одну. Данное предположение (о принадлежности сравниваемых выборок одной генеральной совокупности) проверим непараметрическим критерие однородности Вилкоксона. Для этого необходимо провести следующие действия:

1) Величины обеих выборок располагаются в порядке возрастания с учетом того из какой выборки взято значение. Используя рассматриваемый пример получим:

15,32(х); 15,43(х); 15,48(х); 16,41(х); 16,76(х); 16,98(х); 17,06(х); 17,23(х); 17,32(х); 17,83(х); 18,12 (х); 18,17(х); 18,19(х); 18,19(х); 18,52(х);19,08(х); 19,15(х); 19,58(у); 19,61(у); 19,72(х); 19,82(х); 19,91(у); 20,51(х); 20,88(у); 20,89(у); 21,18(у); 21,18(х); 21,26(х); 21,64(у); 22,71(у); 22,74(у); 22,81(у); 22,98(у); 23,04(у), 23,14(х); 23,36(х); 23,42(х); 23,78(х); 23,93(у); 23,98(у); 24,24(у), 24,43(н); 24,61(у); 24,84(х); 25,21(у); 25,24(у); 25,81(у); 25,99(у); 26,08(у); 26,31(у); 26,45(у); 26,78(х); 27,08(х); 27,41(х); 27,55(у); 29,26(у); 29,84(у); 30,47(у); 32,26(у).

∑U = 2+2+3+6+6+12+12+12+12+17+24+24+24 = 156

2) Определяются расчетное и критическое значение критерия Вилкоксона:

2*Ф₀(Z_а) = 1 – 0,05; Ф₀(Z_а) = 0,475.

3) По таблицам нормированной и центрированной кривой нормального распределения (Приложение 1) определяем аргумент по значению функции (Z_а = 1,96), критическое значение равно

Расчетное значение критерия Вилкоксона оказалось больше критического. С учетом того, что критическая область данного критерия правосторонняя, принимаем нулевую гипотезу, которая подтверждает не однородность сравниваемых совокупностей.

Использование критериев согласия преследует цель поиска закона распределения генеральной совокупности, которой принадлежит данная анализируемая выборка. Расчеты проводятся для исходной выборки (Х) при N=30. Цель расчетов заключается в следующем: с помощью критерия согласия Пирсона проверить принадлежность эмпирического материала нормальной кривой распределения (кривая Гаусса). Основные положения по кривой распределения приведены выше.

Как и при проверке однородности выдвигается нулевая гипотеза, но в данном случае она утверждает согласие значений выборки со значениями нормальной кривой распределения, т.е. при увеличении данных натурных наблюдений до бесконечности, распределение случайных чисел отвечает выбранному закону распределения. Расчет по критерию Пирсона основан на определении теоретической частоты в эмпирических интервалах, и если эмпирическая частота и теоретическая отличается незначительно, то принимается нулевая гипотеза при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы. Расчетная формула статистического критерия согласия Пирсона или Х² имеет следующий вид:

где, К – количество интервалов;

n_i – эмпирическая частота;

n_t – теоретическая частота.

Для того, чтобы использовать аналитические законы распределения, необходимо знать область возможных значений случайных величин (для нормально распределенной случайной величины область возможных значений определяется интервалом (–∞ +∞)).

Расчеты сводим в таблицу 4. При этом необходимо выполнить следующее условие: для граничных классов N*Р_i >1, а для внутренних – N*Р_i>5. Если условие не соблюдается, то классы необходимо укрупнять.

Таблица 4

Определение выборочного значения на согласие эмпирического распределения с нормальным законом распределения.

N	ai	ni	bi	Фо(bi)	Рi	N*Рi	ni – NРi
	–∞ – 15,32		-∞	-1,32	-0,50	-0,41	0,09	2,7	-2,7	2,7
	15,32 – 17,34		-1,32	-0,72	-0,41	-0,26	0,15	4,5	4,5	4,5
	17,34 – 19,36		-0,72	-0,11	-0,26	-0,04	0,22	6,6	1,4	0,3
	19,36 – 21,38		-0,11	0,49	-0,04	0,19	0,23	6,9	-1,9	0,52
	21,38 – 23,40		0,49	1,1	0,19	0,36	0,17	5,1	-3,1	1,88
	23,40 – 25,42		1,1	1,7	0,36	0,46	0,1
	25,42 – 27,44		1,7	2,31	0,46	0,49	0,03	0,9	2,1	4,9
	27,44 – +∞		2,31	+∞	0,49	+0,50	0,01	0,3	-0,3	0,3
∑			0,00	15,1

Условные обозначения:

где, a_i – границы интервалов;

n_i – эмпирическая частота;

b_i – нормированная и центрированная случайная величина:

Ф_о(b_i) – значение функции нормального закона распределения на границах интервалов определяется по таблицам (Приложение 1);

Р_i – теоретическое попадание случайной величины в заданный интервал, Р_i = Ф_о(b_i) – Ф_о(b_i-1);

N – объем выборки, N = 30;

N*Р_i – теоретическая частота.

Критическое значение критерия Пирсона определяется по таблицам (Приложение 3) или по формуле:

где, m – число степеней свободы, m = К-1;

Z_2a – коэффициент, определяемый по формуле:

Учитывая это, критическое значение критерия Пирсона равно:

Критическое значение критерия Пирсона можно определить по таблицам Х₂ – распределения в Приложении 3.

Если расчетное количество не превышает критического на выбранном уровне значимости, нулевая гипотеза принимается, что подтверждает принадлежность исследуемой выборки нормальному закону распределения.

Вывод:

Эмпирическое распределение не согласуется с прямой Гаусса. Все свойства с данной кривой Гаусса мы не можем использовать для прогнозирования, моделирования и прогнозирования.

Заключение

Условие не соблюдается: критическое значение критерия Пирсона меньше расчетного (15,1>10,81), значит нулевая гипотеза не принимается, эмпирическое распределение не согласуется с кривой Гаусса.

Список литературы

1. Экология: мет. указания к выполнению практических работ «Обработка данных натурных наблюдений методами математической статистики». – Часть 1 – 2-е изд. перер. и доп. – Вологда: ВоГТУ. 2003 – 32 с

Поиск по сайту: