Методика проведення перших уроків геометрії

До перших уроків геометрії ми відносимо навчальний матеріал, який вводить учнів у і геометрію. Це відповідає параграфам 1 і 2 підручника О. В. Погорєлова, де розглянуто первісні поняття геометрії, найпрос­тіші геометричні фігури: відрізок, півпряма, півплощина, кут,

трикутник, паралельні і перпендикулярні прямі, вводяться понят­тя про аксіому, теорему, формулюються всі аксіоми, покладені в основу курсу,

Основна мета перших уроків геометрії - дати поняття про геометрію, систематизувати наочні уявлення про найпростіші геометричні фігури, ввести первісні (неозначувані) поняття і по­ставити учнів перед потребою ввести означення деяких відомих їм фігур (відрізок, півпряма, півплощина, кут, трикутник, пара­лельні прямі), розглянути первісні та означувані відношення, сформулювати основні властивості найпростіших фігур і власти­вості вимірювання відрізків і кутів, які наприкінці теми буде на­звано аксіомами. На перших уроках також вводяться поняття про теореми, їх доведення і аксіоми. В учнів формується потреба в доведенні нових тверджень за допомогою аксіом і вже доведених тверджень. Вони набувають перші уміння виконувати доведення. Важливим завданням перших уроків є формування геометричної мови на основі вже відомої і нової для учнів термінології. На пер­ших уроках геометрії ще не ставиться за мету пояснювати учням походження і роль первісних понять та аксіом, ідею аксіоматич­ної побудови геометрії. Про це можна говорити, закінчуючи ви­вчення планіметрії або на перших уроках стереометрії, коли на прикладі планіметрії учні вже мають зразок дедуктивної побудо­ви курсу. Проте ідею дедуктивної побудови математики вчитель повинен систематично проводити з перших уроків геометрії, на­самперед формуючи потребу означати нові геометричні поняття і доводити нові геометричні твердження на основі вже відомих понять, аксіом і доведених тверджень.

Щодо первісних, неозначуваних понять планіметрії «точка», «пряма», то уявлення про них учні вже повинні мати з попередніх кла­сів. Однак, хоч уявлення про точку походить від об'єктів, що іс­нують реально (місце дотику олівця до паперу, крейди - до дош­ки, місце перетину двох ліній тощо), варто підкреслити, що в гео­метрії точка не має розмірів. Так само, хоч уявлення про пряму дає туго натягнута нитка (стрічка), в геометрії пряма не має тов­щини, кінців і вважається необмежено продовженою.

При формуванні поняття «належить» для точок і прямих на площині треба звернути увагу на можливість вживання різних термінів для позначення цього відношення: «точки А і С нале­жать прямій а», «точки А і С лежать на прямій а», «пряма а про­ходить через точки А і С».

Щодо формування первісного відношення «лежить між» для трьох точок прямої, то необхідно відмежувати сформоване в уч­нів з життєвої практики поняття «лежить між». Наприклад, у по­буті часто вживають вислови на зразок «місто Коростишев ле­жить між Києвом і Житомиром», пояснюючи, яким автобусом дістатися до Коростишева. Адже якщо подиви­тися на карту, то оче­видно, що автомобіль­на траса, по якій руха­ється автобус, не є пря­мою лінією. У цьому разі, з погляду геоме­трії, вживання цього терміна неправомірне, бо вислів «лежить між» в геометрії використо­вується для позначення властивості трьох точок, які належать лише прямій.

Якщо учням запропонувати самостійно позначити на прямій точку С, яка лежить між двома даними точками А і В цієї прямої, то котрийсь з учнів може позначити цю точку лише посередині відрізка АВ. Треба підкреслити, що це правильно не лише для точки, яка лежить посередині відрізка. Корисно розв'язати усні вправи на підведення під поняття «лежить між», використовуючи різні відомі учням фігури Система запитань може бути такою.

1)Чи лежить точка Р між точками М і N?

2)Які точки на рис. лежать між двома іншими?:

3)Чи лежить точка Р між точками В і Е? Укажіть
на цьому рисунку точки, які лежать між двома іншими.

4)Яка Точка лежить між двома іншими на рис. 3.1, г; які точки
не мають цієї властивості?

В умовах роботи за підручником О. В. Поґорєлова [164] на перших уроках геометрії вводиться 25 означуваних понять і три, які вводяться шляхом описання, на прикладах (геометрична фігу­ра, аксіома, дати означення чому-небудь). Переважна більшість цих понять відома учням з попередніх класів, але тепер ставиться завдання сформулювати їх означення. Щодо терміна «означен­ня», то, на відміну від термінів «аксіома», «теорема», його в під­ручниках не пояснюють. З курсу логіки відомо, що означення - це твердження, в якому перелічуються суттєві властивості понят­тя. На початку вивчення курсу геометрії з дидактичних міркувань давати таке тлумачення терміна «означення» учням недоцільно. Тому досить обмежитись роз'ясненням на прикладах поняття «означити що-небудь».

Означувані поняття на перших уроках геометрії можна вво­дити і конкретно-індуктивним, і абстрактно-дедуктивним мето­дами.

Наприклад, можна підвести учнів до означення відрізка, ви­діляючи суттєві властивості точок цієї фігури. В цьому разі пояснення вчителя може проводитись у формі евристичної бесіди такого характеру.

Учитель. Візьмемо пряму а і позначимо на ній відрізок АВ (рис. 3.2). Звернемо увагу передусім на те, що відрізок - це частина прямої. Крім того, з'ясуймо суттєву властивість точок, з яких складається відрізок АВ. Познач­мо точку С, яка належить цьому відрізку, і точку £) прямої, яка не належить відрізку АВ. Яку властивість має точка С стосовно точок А і 5?

Учень. Точка С лежить між точками А і В.

Учитель. Чи має таку властивість точка Т?

Учень. Ні, точка Т не лежить між точками А і В.

Учитель. Чи матимуть таку саму властивість, як точка С, і всі інші точки, з яких складається відрізок АВ?

Учень. Так, всі вони лежать між точками А і В.

Учитель. А тепер спробуйте означити відрізок, тобто сказати, яка фі­гура називається відрізком. В цьому разі використайте помічені дві суттєві властивості відрізка.

Учні формулюють означення. Вони можуть випустити деякі слова, зокрема слово «усіх» стосовно до точок прямої, з яких складається відрізок. Вчитель уточнює означення, учні повторю­ють його.

Так само учні можуть самостійно формулювати відомі їм означення понять «розгорнутий кут», «паралельні прямі», «бісек­триса кута». Щодо означення паралельних прямих, то треба під­креслити, що в планіметрії це означення виключає лише одну суттєву властивість - «не перетинатися».

Означення таких понять, як «кут», «трикутник», «рівні три­кутники», «суміжні кути», «перпендикуляр до прямої» то­що, доцільніше ввести абстрактно-дедуктивним методом, тобто означення формулює сам учитель, наводить приклади, і учні розв'язують задачі, що закріплюють введені поняття.

Щодо поняття «геометрична фігура», яке описово вводиться на першому уроці, то треба мати на увазі, що в підручнику О. В. Погорєлова термін «плоскі фігури» вживається стосовно кутів і многокутників дещо нетрадиційно. Тому на першому уро­ці, вводячи поняття «геометрична фігура», доцільно скористатися моделями каркасних (виготовлених з дроту) і плоских трикутни­ка і прямокутника (виготовлених з паперу чи картону), кола і круга, прямокутного паралелепіпеда, піраміди, кулі, циліндра, конуса. Варто підкреслити, що трикутники, многокутники, коло, круг можуть розміщуватись в одній площині всіма своїми точка­ми, на відміну від паралелепіпеда, кулі, піраміди, циліндра, кону­са. Такі фігури називають тілами. Після цього природно ввести поняття планіметрії як розділу геометрії, в якому вивчаються фі­гури на площині.

Слід мати на увазі, що з аксіомами планіметрії на оперативному, практичному рівні і теоремами фактично ознайомились при вивченні курсу математики 1-6 класів. Однак на тому етапі навчання ці властивості найпростіших фігур аксіомами не називалися. Цей термін не вводиться і на перших уроках планіметрії доти, доки учні не ознайомляться з поняттями «теорема» і «доведення» і не відчують потреби у використанні аксіом для обґрунту­вання доведень.

Вивчення основних властивостей найпростіших фігур і фор­мулювання кожної властивості доцільно починати з розгляду від­повідних фігур і практичних дій учнів: вибір точок на прямій і поза нею, проведення прямої через дві дані точки, вимірювання довжини відрізка і величини кута, проведення через дану точку прямої, паралельної даній. Помічені властивості учні можуть сформулювати самостійно у вигляді тверджень, які пізніше бу­дуть названі аксіомами.

Щодо введення поняття аксіоми як твердження про власти­вості найпростіших фігур, що домовились прийняти без дове­дення, то на перших уроках планіметрії цими відомостями про аксіоми можна обмежитись.

У 10 класі на першому уроці стереометрії можна дещо розши­рити інформацію про аксіоми. Варто підкреслити, що ці тверд­ження домовились прийняти без доведення. Залежно від особли­востей вибору первісних понять і побудови курсу геометрії за аксіому можна вибрати інше твердження, яке в іншому курсі до­водиться. Так, коли теорему про суму кутів трикутника взяти за аксіому, тоді властивість проведення через точку, яка не нале­жить прямій, лише однієї прямої, паралельної даній, можна дове­сти. На цьому етапі навчання вже є можливість пояснити поход­ження і роль первісних понять і аксіом при побудові курсу пла­німетрії.

Поняття про теорему і доведення вчителю доведеться ввести перед доведенням першої теореми про властивість прямої, яка не проходить через жодну вершину трикутника і перетинає одну зі сторін цього трикутника. Структуру змісту теореми (умова і ви­сновок) теж треба пояснити на прикладі формулювання цієї теореми, бо іншого зразка учні поки що не мають. Можна також по­казати учням зразок скороченого запису умови і висновку теоре­ми за наперед заготовленим рисунком. Треба привчати учнів до культури записів на дошці і в зошиті, а саме: рекомендувати Рисунок розміщувати зліва, а скорочений запис змісту теореми (за­дачі) - справа. Хоча в підручнику не вживаються термінологія і символіка множин, не практикується скорочений запис змі­сту теореми, проте можна ввести символи належності і неналежності для точок. Скорочений запис може мати такий вигляд: Деякі вчителі практикують з перших уроків виконання на дошці (а учні - в зошиті) скороченого запису основних етапів доведення. В цьому разі учні під час доведення теореми намагаються за вчителем виконувати скорочений запис у зошиті. Такий методичний прийом вивчення доведень на перших уроках не можна вважати виправданим, оскільки учні не заглиблюються у зміст доведення, а прагнуть лише скорочено записати його. Якщо є потреб в скороченому записі доведення, то доцільніше дати учням на це час після того, як доведення пояснене і закріплене повторним поясненням чи відтворенням одним з учнів. Не слід ставити негативні оцінки за нездатність окремих учнів відтворити доведення перших теорем на наступному уроці після того, на якому теорема вивчалась. На рівні обов'язкових результатів навчання можна обмежитись лише вмінням сформулювати теорему, виконати рисунок і назвати загальний хід і твердження, які використовуються під час доведення.

Вже при вивченні властивостей найпростіших геометричних фігур, в процесі розв'язування задач на доведення і під час дове­дення теореми 2.3 підручника учні ознайомлюються зі схе­мою міркувань за методом від супротивного. У § 2 підручника передбачене явне ознайомлення учнів з доведенням від су­противного. Щоб полегшити сприймання цього першого для учнів методу доведень, треба не тільки пояснити учням суть його, а й дати навчальний алгоритм і орієнтир доцільності використан­ня. При цьому краще організувати на уроці колективний пошук алгоритму на прикладі відомих учням доведень двох тверджень. Короткий запис обох доведень можна заздалегідь заготувати на дошці

Задача. Чи може пряма, яка перетинає одну з двох паралельних прямих, не перетинати другу? Поясніть відповідь.

Поиск по сайту: