Введение. Нет ничего, сколь бы великим и изумительным оно не показалось с первого взгляда, на что мало-помалу не начинаешь смотреть с меньшим изумлением

СИГНАЛЫ и ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Тема 6: ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ

Нет ничего, сколь бы великим и изумительным оно не показалось с первого взгляда, на что мало-помалу не начинаешь смотреть с меньшим изумлением.

Лукреций. О природе вещей.

Римский поэт и философ, I в.д.н.э.

Преобразование должно быть осознанным и целенаправленным действом. Был баран - стал шашлык. Что может быть прекраснее такого преобразования!

Виль Ибрагимов. Зри в корень.

Ташкентский геофизик Уральской школы, ХХ в.

Содержание: Введение. 6.1. Преобразование Фурье. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. 6.2. Преобразование Лапласа. 6.3. Z - преобразование сигналов. Определение преобразования. Примеры z-преобразования. Связь с преобразованиями Фурье и Лапласа. Свойства z-преобразования. Отображение z-преобразования. Аналитическая форма z-образов. Обратное z-преобразование. 6.4. Дискретная свертка (конволюция). Уравнение дискретной свертки. Техника свертки. Литература.

Введение

Цифровая обработка сигналов оперирует с дискретными преобразованиями сигналов и обрабатывающих данные сигналы систем. Математика дискретных преобразований зародилась в недрах аналоговой математики еще в 18 веке в рамках теории рядов и их применения для интерполяции и аппроксимации функций, однако ускоренное развитие она получила в 20 веке после появления первых вычислительных машин. В принципе, в своих основных положениях математический аппарат дискретных преобразований подобен преобразованиям аналоговых сигналов и систем. Однако дискретность данных требует учета этого фактора, и его игнорирование может приводить к существенным ошибкам. Кроме того, ряд методов дискретной математики не имеет аналогов в аналитической математике.

6.1. Преобразование Фурье [5,17,21].

Дискретное преобразование Фурье может быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (t_k = kDt, f_n = nDf):

S(f) = s(t) exp(-j2pft) dt, S(f_n) = Dt s(t_k) exp(-j2pf_nkDt), (6.1.1)

s(t) = S(f) exp(j2pft) df, s(t_k) = Df S(f_n) exp(j2pnDft_k). (6.1.2)

Напомним также, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте - к периодизации функции. Для дискретных преобразований s(kDt) Û S(nDf), и функция, и ее спектр дискретны и периодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах Т = NDt (от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2), и 2f_N = NDf (от -f_N до f_N), где N – количество отсчетов, при этом:

Df = 1/T = 1/(NDt), Dt = 1/2f_N = 1/(NDf), DtDf = 1/N, N = 2Tf_N. (6.1.3)

Соотношения (6.1.3) являются условиями информационной равноценности динамической и частотной форм представления сигналов. Другими словами: число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми. Но каждый отсчет комплексного спектра представляется двумя вещественными числами и, соответственно, число отсчетов комплексного спектра в 2 раза больше отсчетов функции? Это так. Однако представление спектра в комплексной форме - не более чем удобное математическое представление спектральной функции, реальные отсчеты которой образуются сложением двух сопряженных комплексных отсчетов, а полная информация о спектре функции в комплексной форме заключена только в одной его половине - отсчетах действительной и мнимой части комплексных чисел в частотном интервале от 0 до f_N, т.к. информация второй половины диапазона от 0 до -f_N является сопряженной с первой половиной и никакой дополнительной информации не несет.

При дискретном представлении сигналов аргумент t_k обычно проставляется номерами отсчетов k (по умолчанию Dt = 1, k = 0,1,…N-1), а преобразования Фурье выполняются по аргументу n (номер шага по частоте) на главных периодах. При значениях N, кратных 2:

S(f_n) º S_n = s_k exp(-j2pkn/N), n = -N/2,…,0,…,N/2. (6.1.4)

s(t_k) º s_k = (1/N) S_n exp(j2pkn/N), k = 0,1,…,N-1. (6.1.5)

Главный период спектра в (6.1.4) для циклических частот от -0.5 до 0.5, для угловых частот от -p до p. При нечетном значении N границы главного периода по частоте (значения ±f_N) находятся на половину шага по частоте за отсчетами ±(N/2) и, соответственно, верхний предел суммирования в (6.1.5) устанавливается равным N/2.

В вычислительных операциях на ЭВМ для исключения отрицательных частотных аргументов (отрицательных значений номеров n) и использования идентичных алгоритмов прямого и обратного преобразования Фурье главный период спектра обычно принимается в интервале от 0 до 2f_N (0 £ n £ N), а суммирование в (6.1.5) производится соответственно от 0 до N-1. При этом следует учитывать, что комплексно сопряженным отсчетам S_n* интервала (-N,0) двустороннего спектра в интервале 0-2f_N соответствуют отсчеты S_N+1-n (т.е. сопряженными отсчетами в интервале 0-2f_N являются отсчеты S_n и S_N+1-n).

Пример: На интервале Т= [0,99], N=100, задан дискретный сигнал s(k) = d(k-i) - прямоугольный импульс с единичными значениями на точках k от 3 до 8. Форма сигнала и модуль его спектра в главном частотном диапазоне, вычисленного по формуле S(n) = s(k)×exp(-j2pkn/100) с нумерацией по n от -50 до +50 с шагом по частоте, соответственно, Dw=2p/100, приведены на рис. 6.1.1.

Рис. 6.1.1. Дискретный сигнал и модуль его спектра.

На рис. 6.1.2 приведена огибающая значений другой формы представления главного диапазона спектра. Независимо от формы представления спектр периодичен, в чем нетрудно убедиться, если вычислить значения спектра для большего интервала аргумента n с сохранением того же шага по частоте, как это показано на рис. 6.1.3 для огибающей значений спектра.

Рис. 6.1.2. Модуль спектра. Рис. 6.1.3. Модуль спектра.

На рис. 6.1.4. показано обратное преобразование Фурье для дискретного спектра, выполненное по формуле s'(k) =(1/100) S(n)×exp(j2pkn/100), которое показывает периодизацию исходной функции s(k), но главный период k={0,99} этой функции полностью совпадает с исходным сигналом s(k).

Рис. 6.1.4. Обратное преобразование Фурье.

Преобразования (6.1.4-6.1.5) называют дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Для ДПФ, в принципе, справедливы все свойства интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров. Произведению спектров двух дискретных функций (при выполнении каких-либо операций при обработке сигналов в частотном представлении, как, например, фильтрации сигналов непосредственно в частотной форме) будет соответствовать свертка периодизированных функций во временном представлении (и наоборот). Такая свертка называется циклической (см. раздел 6.4) и ее результаты на концевых участках информационных интервалов могут существенно отличаться от свертки финитных дискретных функций (линейной свертки).

Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N² операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений достигается при использовании быстрого преобразования Фурье.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ). В основе БПФ лежит прореживание по частоте и пирамидальный алгоритм, которым исключаются повторные вычисления периодически повторяющихся членов ряда Фурье.

Допустим, что массив чисел s_k содержит N = 2^r отсчетов (r - целое). Разделим исходный массив на два первых промежуточных массива с четными и нечетными отсчетами:

s_k' = s_2k, s_k" = s_2k+1, 0 £ k £ N/2-1.

Выполним ДПФ каждого массива с учетом того, что шаг функций равен 2 (при Dt=1), а период промежуточных спектров будет соответственно равен N/2:

s_k' Þ S_n', s_k" Þ S_n", 0 £ n £ N/2-1.

Для получения одной половины искомого спектра S_n сложим полученные спектры с учетом теоремы запаздывания, т.к. отсчеты функции s_k" сдвинуты относительно s_k' на один шаг дискретизации:

S_n = S_n'+S_n"×exp(-j2pn/N). (6.1.6)

Вторая половина спектра, комплексно сопряженная с первой, с учетом периода повторения N/2 промежуточных спектров определяется выражением:

S_n+N/2 = S_n'+S_n"×exp(-j2p(n+N/2)/N) = S_n'- S_n"×exp(-j2pn/N). (6.1.7)

Нетрудно видеть, что для вычисления полного спектра в данном случае потребуется N²/4 операций для вычисления промежуточных спектров плюс еще N операций комплексного умножения и сложения, что создает ощутимый эффект по сравнению с ДПФ.

Но деление массивов на две части может быть применено и к первым промежуточным массивам, и ко вторым, и т.д. до тех пор, пока в массивах не останется по одному отсчету, фурье - преобразование которых равно самому отсчету. Тем самым, алгоритм преобразования превращается в пирамидальный алгоритм перестановок со сложением/вычитанием и с единичным умножением на значение exp(-j2pn/N) соответствующего уровня пирамиды. Первый алгоритм БПФ на данном принципе (из множества модификаций, существующих в настоящее время) был разработан Кули-Тьюки в 1965 г. и позволил повысить скорость вычислений в N/r раз по сравнению с ДПФ. Чем больше N, тем больше эффект БПФ. Так, при N = 1024 имеем r = 10 и соответственно N/r»100. Что касается условия по количеству точек N = 2^r, то оно рассматривается в варианте N_k £ 2^r, где r - минимальное целое. Массивы с N_k < 2^r дополняется до 2^r нулями, что не изменяет форму спектра. Изменяется только шаг Dw по представлению спектра (Dw = 2p/2^r < 2p/N), который несколько избыточен по адекватному представлению сигнала в частотной области. В настоящее время существуют и алгоритмы БПФ с другими основаниями и их комбинациями, при которых не требуется дополнения сигналов нулями до 2^r.

Заметим, что в соответствии с (6.1.7) отсчеты, сопряженные с правой половиной главного частотного диапазона (0, p), относятся не к диапазону (-p,0), а к диапазону (p,2p), что, учитывая периодичность спектра дискретных данных, значения не имеет. Т.е. выходной частотный диапазон БПФ равен (0, 2p). Общее количество отсчетов комплексного спектра в этом условно главном диапазоне равно количеству точек исходного сигнала (с учетом нулевых точек при дополнении сигнала до N=2^r). Алгоритм быстрого обратного преобразования (ОБПФ) тождественен алгоритму прямого БПФ.

Алгоритмы прямого и обратного БПФ широко используются в современном программном обеспечении для анализа и обработки цифровых данных. Пример выполнения БПФ приведен на рис. 6.1.5.

Рис. 6.1.5. Пример БПФ.

Поиск по сайту: