Вычисление определенных интегралов

Лабораторная работа № 5.

Разработка протокола MATLAB-программы

вычисления определенных интегралов, пределов и производных функций [4 балла].

Вычисление определенных интегралов.

К вычислениям определенных интегралов сводятся многие практические задачи физики, химии, экологии, механики и других естественных наук. На практике формулой Ньютона-Лейбница не всегда удается воспользоваться. В этом случае используются методы численного интегрирования. Они основаны на следующих соображениях: с геометрической точки зрения определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции. Идея методов численного интегрирования сводится к разбиению интервала [ a; b ] на множество меньших интервалов и нахождению искомой площади как совокупности элементарных площадей, полученных на каждом частичном промежутке разбиения. В зависимости от использованной аппроксимации получаются различные формулы численного интегрирования, имеющие различную точность. Рассмотрим методы трапеций и Симпсона (парабол).

Метод трапеций.

Здесь используется линейная аппроксимация, т. е. график функции y = f (x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки y_i. Формула трапеций при постоянном шаге , где п – число участков, имеет вид

.

В MATLAB данную формулу реализует программа trapz (x,y).

Метод Симпсона

Если подынтегральную функцию заменить параболой, то формула Симпсона с постоянным шагом интегрирования предстанет в виде

.

В MATLAB формула Симпсона реализуется программой quad. Подынтегральная функция может задаваться с помощью дескриптора @ — тогда она программируется в файле-функции, или с помощью апострофов — тогда она записывается в самой программе quad. Точность вычисления интегралов по умолчанию принята равной 1×10^-6.

Пример. Вычислить и вывести на печать по методам трапеций и Симпсона значения интеграла

Протокол программы метода трапеций

>> x = 0: 0.0001: 1.0;

>> y = 1./ (1+ x. ^2);

>> z = trapz (x, y)

Результат вычислений

z =

0.7854

Протокол программы метода Симпсона

>> quad (¢ (1/(1+ x ^2)) ¢, 0, 1)

Результат вычислений

ans =

0.7854

Точное значение интеграла равно 0.785398163.

Как видно из примера полученные результаты являются практически точными, а сами протоколы весьма просты.

Варианты заданий. Вычислить и вывести на печать значения определенного интеграла методами трапеций и Симпсона. Данные взять из таблицы 5.1.

Таблица 5.1

№ п/п	Подынтегральная функция f(x)	Интервал интегрирования [a; b]	Точность вычислений интеграла
		[1; 3.5]	0.001
		[p/6; [p/3]	0.002
		[1.5; 3.]	0.0001
		[1.0; 4,0]	0.003
		[0; ln2]	0.0015
		[1.0; 4.0]	0.002
		[0.0; 2.0]	0.001
		[2.0; 5.0]	0.001
		[1.0; 2.5]	0.0005
		[0.0; ]	0.003
		[0.0; 3,0]	0.001
		[1.5; 3.0]	0.0025
		[0,0; 5.0]	0.001
		[2.3; 6.0]	0.002
		[0.0; p/2]	0.001
		[0.0; 2.0]	0.0015
		[0.0; 2.0]	0.002
		[0.0; p/4]	0.001
		[0.0; 1.8]	0.0006
		[0.0; p]	0.0016
		[0.0; 1.2]	0.002
		[2.0; 4.4]	0.0014
		[0.0; 1.2]	0.002
		[2.0; 4.4]	0.0011
		[1.0; 2.2]	0.0023
		[0,0; 1.8]	0.0015
		[0.0; 1.2]	0.001
		[1.0; 3.0]	0.002
		[0.0; 1.0]	0.0013
		[1.0; 2.2]	0.0025

Поиск по сайту: