Строгий учет погрешностей арифметических действий и вычисление значений функции. Правила подсчеты верных цифр

УЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ: 1. Сложение и вычитание. Предельной абсолютной погрешностью алгебраической суммы является сумма со­ответствующих погрешностей слагаемых: D(X+Y) = DХ + DY, D(X-Y) = DХ + DY. Относительную погрешность получим по формуле связи:

2. Умножение и деление. Если dХ << |Х| и dY << |Y|, то имеет место следующая формула: d(X · Y) = d(X/Y) = dX + dY. Теперь D(X·Y) найдем с помощью формулы связи: D(X·Y)=|X·Y|·d(X·Y). 3. Возведение в степень и извлечение корня. Если dХ << |Х|, то справедливы формулы УЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ФУНКЦИЙ 1. Функция одной переменной. Пусть даны аналитическая функция f(x) и приближенное число с ± Dс. Тогда, обозначая через D малое приращение аргумента, можно написать

Если f '(с) ¹ 0, то приращение функции f(с+D)-f(c) можно оценить ее диффе­ренциалом: f(c+D)-f(c)»f'(c)·D. Если погрешность Dс достаточно мала, получаем окончательно следующую формулу: Df(c) = |f '(с)|· Dс. 2. Функция нескольких переменных. Для функции нескольких переменных f(x₁, ..., х_n) при x_k= c_k ± Dc_k справедлива формула: Df(c₁,...,с_n)» l df(c₁,...,с_n) | = |f '_x1 (с₁)|·Dс₁+... + |f '_xn (с_n)|· Dс_n. Метод подсчета верных цифр 1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате верными следует считать, те цифры, десятичным разрядам которых соответствуют верные цифры во всех слагаемых. Цифры всех других разрядов кроме самого старшего из них перед выполнением сложения или вычитания должны быть округлены во всех слагаемых. 2. При умножении и делении приближенных чисел в результате верными следует считать столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством верных значащих цифр. Перед выполнением этих действий среди приближенных данных нужно выбрать число с наименьшим количеством значащих цифр и округлить остальные числа так, чтобы они имели лишь на одну знача­щую цифру больше него. З. При возведении в квадрат или в куб, а также при извлечении квадратного или кубического корня в результате следует считать верными столько значащих цифр, сколько имелось верных значащих цифр в исходном числе. 4. Количество верных цифр в результате вычисления функции зависит от величины модуля производной и от количества верных цифр в аргументе. Если модуль производной близок к числу 10^k (k - целое), то в результате количество верных цифр относительно запятой на k меньше (если k отрицательно, то - больше), чем их было в аргументе. В данной лабораторной работе для определенности примем соглашение считать модуль, производной близким к 10^k , если имеет место нера­венство: 0,2·10^K < |f '(X) | £ 2·10^k. 5. В промежуточных результатах помимо верных цифр следует оставлять одну сом­нительную цифру (остальные сомнительные цифры можно округлять) для сохранения точности вычислений.

Поиск по сайту: