Источники и классификация погрешностей. Структура полной погрешности. Методы оценки погрешностей вычисления

Основные понятия теории погрешностей: абсолютная и относительная погрешности, верные и значащие цифры, правила записи приближенных чисел, правила округления.

Пусть Х - точное значение некоторой величины а х - ее известное приближенное значение. Тогда величину D=|Х-х| называют абсолютной погрешностью приближенного значения х. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа х называется положительное число Dх такое, что D <= Dх. Таким образом, |Х-х|<=Dх. В качестве Dх можно взять бесконечно много значений. Относительной погрешностью приближенного числа х называется отношение d=D/|X|. Предельной относительной погрешностью приближенного числа х называется положительное число dх такое, что d<=dх. Так как Х и D, как правило, неизвестны, но Х» х, то в качестве dх обычно берут отношение Dх/|х|. Отсюда полу­чаем полезные формулы связи dх и Dх: .

Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра. Цифра числа называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает единицы разряда, в котором стоит эта цифра. Правила записи приближенных чисел: Приближенные числа записываются в форме х±Dх. Запись X=х±Dx означает, что неизвестная величина X удовлетворяет следующим неравенствам: x-Dx<=X<=x+Dx. При этом погрешность Dх рекомендуется подбирать так, чтобы а) в записи Dх было не более 1-2 значащих цифр; б) младшие разряды в записи чисел х и Dх соответствовали друг другу. Приближенное число может быть записано без явного указания его предельной абсолютной погрешности. В этом случае в его записи должны при­сутствовать только верные цифры. Правила округления чисел: Правило округления Если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов числа не изменяется. В проти­вном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа. При округлении числа, записанного в форме х±Dх, его предельная абсолютная погрешность увеличивается с учетом погрешности округления.

Источники и классификация погрешностей. Структура полной погрешности. Методы оценки погрешностей вычисления.

Наличие погрешности обусловлено рядом источников: 1) Математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса; 2) Исходные данные, как правило, содержат погрешности, поскольку они либо получаются в результате экспериментов (измерений), либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач; 3) Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными. Найти решение возникающей на практике задачи в виде конечной формулы возможно только в отдельных, очень упрощенных ситуациях. 4) При вводе исходных данных в ЭВМ, выполнении арифметических операций и выводе результатов на печать производятся округления. Различают следующие типы погрешностей (классификация): 1. Неустранимая погрешность. Она связана с приближенным характером исходной содержательной модели, а также ее математического описания. 2. Погрешность метода. Это погрешность, связанная со способом решения поставленной математической задачи и появляющаяся в результате подмены исходной математической модели другой или конечной последовательностью других, например линейных, моделей. 3. Вычислительная погрешность (погрешность действий). Этот тип погрешности обусловлен необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники. Полная погрешность результата решения задачи на ЭВМ складывается из трех составляющих: неустранимой погрешности, погрешности метода и вычислительной погрешности: . Появление неустранимой погрешности обусловлено тем, что принятие математической модели и задание исходных данных вносит в решение ошибку, которая не может быть устранена далее. Единственный способ уменьшить эту погрешность — перейти к более точной математической модели и задать более точные исходные данные. Методы оценки погрешностей вычислений: 1) Со строгим учетом погрешностей (Итоговый метод – когда формула не сложна, и количество переменных не велико, метод границ – находят нижнюю границу погрешности inf β <= β <= sup β, по операционному – все выражение разбивается на отдельные операции, и вычисляется погрешность каждой операции) 2) без строго учета погрешностей.

Поиск по сайту: