Методы решения трансцендентных уравнений с одним неизвестным: дихотомии, хорд, оценка точности

Метод хорд:

Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке [а, b] дуга кривой у = f(x) заменяется стягивающей ее хордой. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения хорды с осью ОХ. Пусть дано уравнение f (x) = 0,где f(x) - непрерывная функция, имеющая на отрезке [а, b] непрерывные производные первого и второго порядков, корень "m" считаем отделенным и находящимся на отрезке [а, b], т. е. f(a) × f(b) < 0. И пусть для определенности f" (x) > 0 для а £ x £ b (случай f^//(x) < 0 исключается, если записать уравнение в виде: - f(x)=0), т.е. кривая расположена выпуклостью вниз. Возможны два случая: 1) f(a) > 0, 2) f(a) < 0, Запишем уравнения, хорды (см. рис. 1), проходящей через точки A(a,f(a)) и B(b, f(b)), и, полагая Х =Х₁, Y = 0, получим: Далее построим хорду АА₁, получим следующее приближение Х₂ и т.д. можем получить любое приближение Х_n и корню m. Последовательные приближения, получаем по формуле: (1)

(n = 0.1,2…) образуют ограниченную убывающую последовательность а < t < Х_n+1 < Х_n <... < Х₁ < Х₀ Во втором случае (см. рис.2) уравнение хорды, проходящей через точки А(а, f(a)) и B(b, f(b)), имеют вид: При Х = Х₁ и Y =0 имеем Последовательные приближения, получаемые по формуле: (2) образуют ограниченную монотонную возрастающую последовательность Х₀ < Х₁ < Х₂... < Х_n <... < t < b Обобщая полученные результаты, можно сказать: 1) Неподвижен тот конец хорды, для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее второй производной f^//(x); 2) Последовательные приближения Х_n лежат по ту сторону от корня t, где f(x)×f^//(x) < 0 3) В обоих случаях каждое следующее приближение Х_n+1 ближе к корню t, чем предыдущее Х_n.Для оценки погрешности можно пользоваться неравенством: | Х_n - Х_n-1 | < Е (3) т.е. модуль разности двух соседних приближений меньше предельной абсолютной погрешности "Е", так как | t - x_n^ | < Е

Метод половинного деления: Его ещё называют методом дихотомии. Этот метод решения уравнений отличается от выше рассмотренных методов тем, что для него не требуется выполнения условия, что первая и вторая производная сохраняют знак на интервале [a, b]. Метод половинного деления сходится для любых непрерывных функций f(x) в том числе недифференцируемых. Разделим отрезок [a, b] пополам точкой c=(a+b)/2. Если f(c)≠0 то возможны два случая: либо f(x) меняет знак на отрезке [a, c], либо на отрезке [c, b]. Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Поиск по сайту: