Методы решения трансцендентных уравнений с одним неизвестным: касательных, комбинированный, оценка точности

Метод касательных: Пусть корень уравнения f(x) =0 отделен на отрезке (а,Ь), причем f'(x) и f^//(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем отрезке (а,Ь) и f^/ (x) = 0. Геометрический смысл метода касательных состоит в том, что дуга кривой у = f(x) заменяется касательной к этой кривой (Отсюда и название этого метода). Положим для определенности, что f^//(x) > 0. Возьмем точку х₀ = b, для которой f(x₀)×f^//(x₀)> 0 Проведем касательную к кривой у = f(x) в точке В₀ (х₀,f(x₀)). За первое приближение Х₁, корня m возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ. Через точку В₁ (х₁, f(x₁)) снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения ее с осью ОХ даст второе приближение х₂ корня m и т. д. Тогда уравнение касательной в точке В_n (х_n, f(x_n)) (n= 0,1,2,3,...) будет у - f(x_n) "= f^/(х_n) × (х - х_n) Полагая у = 0, Х=Х_n+1, получим формулу Если в рассмотренном случае взять Х₀ = а, и, следовательно,f(Х₀) ×f"(X₀) < 0,то проведя касательную к кривой v = f(x) в точке А (а,f(а)),мы получили вы точку X'₁ (рис. 4.).не лежащую на отрезке [ а, Ь ], т.е. при втором выборе начального значения метод касательных может привести к расходящейся последовательности. Поэтому, пpи выборе начального приближения корня следует руководствоваться следующим правилом: за начальную точку Х₀ следует брать тот конец отрезка [ a, b ], в котором знак функции совпадает со знаком второй производной. Для оценки приближения корня можно воспользоваться неравенством | Х_n+1 - Х _n | <Е (3) Условие (3) проверяют начиная с n= 1. Процесс приближений заканчивают при том n, начиная с которого выполняется условие (3). Комбинированный метод хорд и касательных: Методы хорд и касательных дают приближения к корню с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом. Уточнение корня происходит быстрее. Пусть дано уравнение f(X) = О, корень m отделен и находится на отрезке [а, Ь]. Пусть f(a)× f(b) < О, a f'(X) и f"(X) сохраняют постоянные знаки на отрезке [а, Ь]. Возможны следующие четыре случая: 1) f(X) > О; f"(X) > О 2) f'(X) > 0; f"(X) < 0 3) f'(X) < 0; f"(X) > О 4) f'(X) < 0;f"(Х) < 0. Разберем первый случай. Остальные изучаются аналогично. Характер вычислений легко понять из соответствующих чертежей. Кроме того эти случаи можно свести к первому, если заменить рассматриваемое уравнение f(X) = О равносильными ему уравнениями - f(x) = 0 или ± f(-Z) = 0, где Z= -х. Итак, пусть f^/(x) > 0 и f"(x) >0 при а £ х £ b полагаем х₀= а, х₀ = Ь, тогда: (при п = 0,1,2,...) Оценку точности можно производить по формуле где Е предельная абсолютная погрешность, а значение корня лучше всего взять:

Поиск по сайту: