Примеры. · Система дифференциальных уравнений

· Система дифференциальных уравнений

задает динамическую систему с непрерывным временем, называемую «гармоническим осциллятором». Её фазовым пространством является плоскость , где — скорость точки . Гармонический осциллятор моделирует разнообразные колебательные процессы — например, поведение груза на пружине. Его фазовыми кривыми являются эллипсы с центром в нуле.

· Пусть — угол, задающий положение точки на единичной окружности. Отображение удвоения , задаёт динамическую систему с дискретным временем, фазовым пространством которой является окружность.

· Быстро-медленные системы описывают процессы, одновременно развивающиеся в нескольких масштабах времени.

· Динамические системы, чьи уравнения могут быть получены посредством принципа наименьшего действия для удобно выбранной функции Лагранжа, известны как "лагранжевы динамические системы".

Режимы динамической системы

Следует различать три характерных режима, в которых может находиться динамическая система: равновесный, переходной и переодический.

Равновесный режим (равновесное состояние, состояние равновесия) – это такое состояние системы в котором она может находиться сколь угодно долго в отсутствие внешних возмущающих воздействий или при постоянных воздействиях. Однако надо понимать, что для экономических и организационных систем понятие «равновесие» применимо достаточно условно.

Пример. Простейший пример равновесия – шарик, лежащий на плоскости.

Под переходным режимом (процессом) будем понимать процесс движения динамической системы из некоторого начального состояния к какому-либо ее установившемуся режиму – равновесному или периодическому.

Периодическим режимом называется такой режим, когда система через равные промежутки приходит в одни и те же состояния.

2. Автоматическое регулирование в экономике. Условие Вальраса.

Леон Вальрас (1834—1910), математик по образованию, стал за­ниматься экономической теорией после того, как отец обратил его внимание на оригинальную работу французского математика О.Курно. Этот талантливый ученый был также и журналистом, и писате­лем, и директором банка. По происхождению он француз, но его часто называют швейцарским экономистом, поскольку много лет жизни (с 1870 г.) он отдал университету в Лозанне, возглавил ло­заннскую школу экономистов-математиков.

Известность пришла к Вальрасу после выхода в свет его книги "Элементы чистой политической экономии" (1874), в которой впер­вые была предложена модель общего экономического равновесия на базе теории спроса и предложения. Вальрас показывает взаимосвязь в экономической системе различных рынков. Рынок, с его точки зрения, — это некий аукционщик, объявляющий цены и оценива­ющий спрос и предложение до тех пор, пока не наступит равнове­сие. Вальрас считает, что свободная рыночная экономика и без ре­гулирования может достичь положения "общего равновесия", т.е. одновременного равновесия на всех рынках во всем хозяйстве. Теория общего рыночного равновесия отличается у Вальраса абсолютной изменчивостью всех экономических категорий и величин, т.е. она глубоко диалектична. Суть теории Вальраса отображена на схеме 5.

Схема 5. Равновесие Вальраса

В соответствии с этой теорией стоимость всегда относительна. По Вальрасу, она определяется сопоставлением интенсивности кон­кретной потребности в товаре с издержками его производства, при этом предполагается, что технологические возможности производ­ства заданы и известны. Такое сопоставление осуществляется не по отдельности для каждого товара, но в целом для всех товаров в данной хозяйственной системе, т.е. потребность в данном товаре и соответственно спрос на него зависят также от наличия других то­варов. Издержки производства данного товара, определяющие ус­ловия его предложения, зависят не только от технологии его соб­ственного производства, но и от всех альтернативных возможнос­тей использования потребляемых ресурсов. Следовательно, при дан­ном уровне развития производительных сил стоимость определяет­ся в точке равновесия между предельной общественной полезностью данного количества товара (с учетом воздействия на нее того или иного количества всех остальных товаров) и предельными обществен­ными издержками производства этого количества (с учетом альтер­нативных возможностей использования потребляемых ресурсов), т.е. выступает как равенство спроса и предложения не по одному дан­ному товару, а по всем товарам и услугам в экономике в целом.

Главным регулирующим механизмом в модели Вальраса являет­ся изменение структуры равновесных цен. Общий равновесный ана­лиз — это как бы "моментальный снимок" экономической систе­мы с заданными потребностями, ресурсами, технологией, т.е. данные параметры фиксированны и это помогает их математизации (сис­тема уравнений). Спрос на данный товар зависит не только от его цены, но и от цены на все остальные товары. Величина этого спро­са — функция всех существующих в экономике цен. Вальрас разра­ботал систему уравнений, представляющих собой условия равен­ства спроса и предложения на всех рынках в экономике с учетом бюджетного ограничения каждого потребителя и производителя. Доход каждого потребителя определяется количеством и ценой тех товаров и услуг (включая услуги труда или собственности), которые он продал на рынке. Поэтому потребитель не может купить товаров и услуг на сумму, большую, чем та, на которую он продал сам.

Общий рыночный спрос на каждые из товаров, услуг и факто­ров производства на рынке и их предложение — это совокупная сумма спроса в экономике. По стоимости она всегда будет равна совокупной сумме предложения. Это—закон Вальраса. И если у Сэя подобный закон предполагает, что предложение и спрос регулиру­ются автоматически, в разработанную им систему не были введе­ны деньги и ценные бумаги, то у Вальраса они включены в систе­му, а регулирующим механизмом выступает изменение равновес­ных цен.

Необходимо отметить огромный вклад Вальраса в разработку теории рынка. Недаром Й. Шумпетер назвал его книгу "священным писанием политэкономии". И действительно, Вальрас исследует си­стему не изолированного, а развитого товарного хозяйства, в кото­ром предложение и спрос определяются им как количество това­ров, соответственно предлагаемых и спрашиваемых при определен­ной цене. Влияние абсолютных потребностей на цену исключается. Вальрас рассуждает следующим образом.

Пусть Da, Db — спрос на товары а и b;

Sa, Sb — предложение товаров а и b;

Ра, Рb — цены товаров а и b;

— означает, что спрос на товар есть функция цены этого товара;

— означает, что предложение есть произ­ведение спроса на другой товар на его цену.

Рис. 3. Типы равновесии Вальраса

Спрос и предложение здесь соотносятся так же, как и в теории Сэя: поскольку деньги в систему явно не введены, одного товара предлагается столько, сколько будет спрашиваться другого, и на­оборот. Каждый товар выступает для другого эквивалентом его сто­имости: Pa = Va/Vb, Pb =Vb/Va, где Va, Vb — меновые ценности товаров а и b.

Предложение и спрос в модели Вальраса неравноправны: пред­ложение является зависимым от спроса, в то время как спрос зави­сит только от цены. В действительности предложение определяется не только влиянием спроса, но в значительной степени зависит от условий производства товаров.

Графически спрос и предложение можно представить так, как на рис. 3. Точки В" и В' описывают устойчивое равновесие (систе­ма при выходе из данных состояний возвращается в эти же состоя­ния), точка В — неустойчивое равновесие (при выходе из этого состояния система приходит в точки В' и В"). Равновесная цена показана на графике как точка пересечения кривых спроса и пред­ложения. Вальрас считает, что максимум эффективности по полез­ности для каждого участника обмена достигается тогда, когда от­ношение меновых ценностей товаров равно отношению их пре­дельных полезностей.

Модель Вальраса отражает идеальное состояние равенства спро­са и предложения при неразрывности актов купли-продажи, кото­рое в действительности, как правило, нарушается. Вальрас писал, что "максимум полезности для всех, с одной стороны, и единство цены — с другой, для продуктов ли на товарном рынке, или для услуг на рынке услуг, или для доходов на рынке капиталов — тако­вы два условия, согласно которым мир экономических интересов самостоятельно стремится к установлению, подобно тому как при­тяжение в прямом отношении к массе и в обратном к квадрату расстояния есть двоякое условие, по которому устанавливается по­рядок в мире астрономических движений".

Заслугой Вальраса является постановка проблемы общего равно­весия экономики как единой системы, в которой отдельные элемен­ты связаны через разделение труда и обмен. Модель общего эконо­мического равновесия Вальраса послужила основанием для разви­тия целого направления в экономической теории, в рамках кото­рого исследуются устойчивое глобальное динамическое равнове­сие, типы и факторы экономического роста. Влияние идей этого ученого хорошо заметно в работах А.Маршалла, других исследова­телей, разработавших неоклассические концепции экономическо­го роста.

Недостатком Вальрасовой модели является то, что в ней пока­зано готовое равновесие, но не описываются сами сделки, когда происходит нащупывание цен. Дж.Хикс отмечал, что Вальрас "мог сформулировать условия, касающиеся цен, установленных с уче­том данных ресурсов и данных предпочтений, но он не объяснил, что случится, если вкусы и ресурсы изменятся". Сегодня ученые применительно к современным условиям исследуют такие вопро­сы: во-первых, может ли одной структуре потребления соответ­ствовать не одна, а несколько систем меновых стоимостей; во-вто­рых, насколько устойчива равновесная система относительных цен, т.е. если какой-то внешний фактор нарушил равновесие, то вернется ли рынок к исходному равновесию после того, как воздей­ствие прекратилось.

Ответы на эти вопросы были даны во второй половине 70-х — 80-х годах нашего столетия. Это стало возможным благодаря при­влечению дифференциальной топологии и ее подраздела, известно­го как теория катастроф. Были получены следующие выводы. Для подавляющего большинства случаев изменение равновесной сис­темы относительных цен осуществляется плавно, эта система ус­тойчива, и близко от нее нет другой равновесной системы. В то же время нельзя исключить малое количество критических моментов, когда небольшое изменение количества товара может привести к резкому скачку стоимости и тогда равновесие неустойчиво. Иными словами, одним и тем же исходным условиям экономической сис­темы может соответствовать несколько систем равновесных цен.

Исключительно большое значение придавали модели Вальраса его ученик В.Парето, а также П. Самуэльсон, Й. Шумпетер, В. Леонтьев и др. "Вальрас первый нашел одну из этих систем уравне­ний, а именно ту, которая относится к свободной конкуренции; это капитальное открытие, — пишет В.Парето. — Конечно, наука уже развилась и будет беспрерывно развиваться в будущем, но это нисколько не умалит важности открытия Вальраса, точно так же как прогресс небесной механики нисколько не умалит значения "принципов Ньютона".

Поиск по сайту: