 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Примеры 1
ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
1) Степенная функция у = xn, n 
N
Используем формулу бинома Ньютона:
.
Дадим аргументу x приращение Δ x. Функция получит приращение
Δ у = (х +Δ х) n – х n.
Находим производную:
.
Таким образом 
.
Примеры 1.
(x 2)ʹ = 2 x 2–1 =2 x;
x ʹ= 1· x 1–1 = x 0 =1.
2) Показательная функция у = ах, а R+\{1},
x R
Придав аргументу х приращение, найдем приращение функции
Δ у = ax +Δ x – ax = ax (a Δ x – 1).
.
Таким образом (ax)ʹ= ax ln a.
Частный случай: (еx)ʹ= еx.
3) Логарифмическая функция у =log ах,
а R+\{1}, x R+
По теореме о производной обратной функции
(log ах)ʹ= 
.
Частный случай
(ln х)ʹ= 
.
Пример 2. Найти производную функции
y =ln(x 4 –2 x 2 +6).
Решение. ▼
.
▲
4) Тригонометрические функции
Для функции у = sin х имеем
.
Таким образом
(sin х)ʹ = cos х.
Аналогично получим
(cos х)ʹ = –sin х.
Производная у =tg х находится по формуле производной частного двух функций:
.
5) Обратные тригонометрические функции
Найдем производную y = arcsin x.
Обратная функция: x =sin y, 
. На интервале 
верно равенство
xʹ =cos y ≠ 0.
По правилу дифференцирования обратных функций
.
Перед корнем взят знак плюс, так как cos y >0 при 
.
Пример 3. Найти производную функции
y = arcsin x 2.
Решение. ▼
.
▲
Найдем производную y = arctg x.
Обратная функция: x = tg y, 
.
По правилу дифференцирования обратных функций
.
Пример 4. Найти производную функции
y = x arctg2 x.
Решение. ▼
.
▲
6) Cтепенная функция с произвольным показателем у = x α, α R
Пусть x R+.
Справедливо равенство 
.
По правилу дифференцирования сложной функции находим
.
Полученная формула остается справедливой при всех x R\{0}.
Пример 5. Найти производную функции
.
Решение. ▼
.
▲
Поиск по сайту: