Численні методи

- це методи приблизного розв’язку математичних задач. Реалізація цих методів дозволяє отримати частковий розв’язок задачі, на відміну від аналітичних методів (загальний розв’язок).

Класифікація:

1) інтегральні рівності: метод трапеції, прямокутників та парабол;

2) алгебраїчні рівності: метод хорд, дотичних та половинного ділення;

3) диференціальні рівняння: метод Ейлера та Рунге-Кутта (2-го, 3-го і 4-го порядку).

Розв’язок інтегральних рівнянь:

1. Метод прямокутників

Приблизне значення інтегралу визначається як сума площ прямокутників, сторонами яких є довжина відрізка інтегрування (крок) і значення функції на і-тому кроці. (рисуночок)

У залежності від вибору початкового значення функції у діапазоні [a; b] виділяють ліві прямокутники, праві та серединні.

2. Метод трапеції

Приблизне значення інтегралу визначається як сума площ трапецій, сторонами яких є крок і значення функції на і-тому кроці.

3. Метод парабол

Приблизне значення інтегралу визначається як сума площ фігури під параболою на і-тому кроці.

Розв’язок алгебраїчних рівнянь:

В загальному випадку алгебраїчне рівняння має вигляд f(x)=0; його розв’язок – його корені (кв. двочлен=0; + графік – вершина унизу).

1. Метод половинного ділення

Обирається відрізок зміни значення x[a,b] такий, щоб функція була неперервною і мала значення на кінцях відрізка з різними знаками. Тоді таке рівняння має хоча б один корінь, який можна вирахувати з заданною точністю:

- відрізки діляться навпіл;

- обчислюється значення функції для середнього і визначається знак;

- якщо функція не дорівнює нулю, то відбувається ділення тієї частини відрізка, де знаки функції на кінцях відрізка і його середині відмінні;

- процес повторюється поки функція не стане рівна нулю або менше деякого епсілон (заданої точності).

2. Метод дотичних

Обирається відрізок зміни значення x[a,b] такий, щоб функція була неперервною і мала значення на кінцях відрізка з різними знаками, а також значення першої та другої похідних не рівні нулю. Тоді приблизне значення кореня знаходиться як абсциса точки перетину дотичної до функції з віссю ОХ;

- перша дотична проводиться для точки (a, f(a)) або (b,f(b)), у якої значення першої та другої похідних більше нуля;

- наступна проводиться для нової точки (x, f(x)) і визначається наступне приблизне значення х;

- процес повторюється до тих пір, поки функція не стане рівна нулю або менше епсілону.

x(i+1)=x(i)-f(x(i))/f’(x(i)), i=0,1,2,3…

3. Метод хорд (лінійне інтерполювання)

Обирається відрізок …… теж саме)))

Тоді приблизне значення кореня знаходиться як абсциса точки перетину хорди, що проходить через деякі точки на кривій, з віссю ОХ;

- перша абсциса точки перетину з віссю ОХ х(1) визначається хордою, що проходить через точки (оті а і бе);

- поки функція більша за епсілон, визначається наступна абсциса точки перетину з віссю ОХ хорди, що проходить через точки (а і х(і)), якшо f(a)*f(x(і))<0 або точки бе і х(і), коли ф(бе)ф(хи) менше.

x(i)=a-[(b-a)f(a)]/[f(b)-f(a)]

*хорррррррррррррррррррддддддддддиииииииааа*

Розв’язок диференціальних рівнянь:

Диференціальне рівняння n-го порядку вигляду a(0)* [d(^n)*y(x)]/[d*x(^n)]+a(1)*[n-1…]/n-1+…+a(n-1)y(x)+ a(n)=0 використовується для математичного моделювання фізичних процесів і явищ. Для розв’язку таких рівнянь застосовуються методи численного інтегрування, які розв’язують рівняння 1-го порядку. Тому, диференціальне рівняння n-го порядку перетворюють у систему з n рівностей 1-го порядку.

y(x)=y(1)(x);

dy(1)(x)/dx=y(2)(x);..

dy(n)(x)/dx= -[a(1)y(n-1)(x)+..+a(n-1)y(1)(x)+a(n)]/[a(0)];

………………………….FFFFFFFFFUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU!!!

1. Метод Ейлера

a(0)y(x)+a(1)y’(x)+a(2)=0, при початкових умовах x(0), y(x(0)), y’(x(0)). Для обчислення y(x):

- діапазон значень від х(0) до х розбивається на частини (n відрізків);

- для кожного відрізка обчислюється приріст функції і додається до попереднього значення: y(i+1)=y(i)+[дельта]y.

2. Метод Рунге-Кутта… ги-ги-ги)))

3. 4-го порядку

Рівняння перетворюється у систему диференціальних рівнянь першого порядку, для кожного з яких обираються початкові умови. Тоді для обчислення функції:

- діапазон розбивається на частини;

- для кожного відрізка обчислюється приріст функції і додається до попереднього значення:

Ячсмритьбюбдлшгонекіучсарпморилдтлжоєщгзнщешкгнківспомриотложщгшнщешук

Коди;

Поиск по сайту: