I семестр

1. Матрица. Частные виды матриц. Элементарные преобразования матриц. Равенство матриц. Операции над матрицам (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу) иих основные свойства.

2. Определители 2-го и 3-го порядка, их свойства и вычисление. Понятие определителя порядка n.

3. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о

разложении определителя по элементам строки или столбца (д-ть для определителя 3-го порядка). Вычисление определителей различных порядков.

4. Общий вид системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Частные вид систем. Решение СЛАУ. Множество решений СЛАУ. Совместность (несовместность), определённость (неопределенность) эквивалентность СЛАУ. Элементарные преобразования СЛАУ. Матрица и расширенная матрица СЛАУ.

5. СЛАУ порядка n. Определитель СЛАУ. Теорема с разрешимости СЛАУ порядка n. Формулы Крамера.

6. Метод Гаусса решения произвольных СЛАУ. Условие несовместности

определенности неопределенности СЛАУ.

Базисные и свободные неизвестные. Общее, частное решение СЛАУ.

7. N-мерный арифметический вектор. Размерность вектора. Равенство векторов. Линейные операций над векторами (сложение, вычитание, умножение на число) и их свойства. Понятие n-мерного векторного пространства.

8. Скалярное произведение арифметических векторов. Длина вектора. Угол между векторами. Ортогональность векторов.

9. Система векторов. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Теорема о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы векторов.

10. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Максимальная линейно независимая система векторов. Базис и ранг системы векторов. Базис и ранг n-мерного векторного пространства.

11. Теорема о единственности представления вектора в данном базисе. Координаты вектора, переход от старого базиса к новому. Матрица перехода.

12. Ранг матрицы, Вычисление ранга матрицы и системы векторов.

13. Ортогональная система векторов и её свойства. Ортогональный базис. Разложение векторов по ортогональному базису.

14. Ортогональная составляющая вектора относительно ортогональной системы векторов. Процесс ортогонализации Шмидта.

15. Критерии совместности СЛАУ (теорема Кронекера- Капели). Условие разрешимости СЛАУ.

16. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрица (д-во). Вычисление обратной матрицы (метод элементарных преобразований)

17. Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи системы линейных уравнений общего вита. Решения СЛАУ порядка n-матричным способом (метод обратной матрицы).

18. Теорема о «необходимом и достаточном условиях существования не нулевых решениях однородных СЛАУ. Свойства решений однородных СЛАУ. Фундаментальная система решений.

19. Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при преобразовании базиса. Действия над линейными операторами.

20. Собственное число и собственный вектор матрицы. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен матрицы. Спектр матрицы. Условие линейной независимости собственных векторов матрицы.

21.Условие приведения матрицы к диагональному виду. Ортогональная матрица, условие ортогональности матрицы.

22. Квадратичная форма. Матрица и ранг квадратичной формы. Каноническая и нормальная квадратичная формы.

23. Линейное преобразование квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническом виду (спомощью ортогонального преобразования и методом Лагранжа).

24. Знакоопределённость квадратичных форм. Критерии знакоопределённости.

25. Понятие множества и операции над ними. Логическая символика. Элементы комбинаторики. Биномиальная формула Ньютона.

26. Геометрический вектор. Длина вектора. Нулевой вектор. Противоположный вектор. Проекция вектора на вектор и его свойства.

27. Линейные операции над векторами. Орт вектора.

28. Коллинеарность и компланарность вектора. Базис плоскости и

пространства. Канонический базис плоскости и пространства. Координаты вектора.

29. Декартовы прямоугольные системы координат на плоскости и впространстве. Координатные орты. Радиус-вектор и его координаты. Определение длины и направления вектора. Координаты точки.

30. Линейные операции над геометрическими векторами, заданными своими координатами. Определение координат вектора, заданными своими точками. Расстояние между точками. Координаты точки, делящей отрезок пополам.

31. Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства. Вычисление скалярного произведения через координаты векторов. Вычисление угла между векторами. Условие перпендикулярности векторов.

32. Векторное произведение геометрических векторов и его свойства.

Геометрический смысл векторного произведения. Вычисление векторного произведения через координаты векторов. Условие параллельности векторов.

33. Смешанное произведение геометрических векторов и его свойства.

Геометрический смысл смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения через координаты векторов. Условие компланарности 3-х векторов.

34. Линия на плоскости и ее уравнение. Составление уравнения, линии.

35. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Нормальный и

направляющий векторы прямой на плоскости. Построение прямой на плоскости.

36. Понятие функции, способы её задания. Элементы поведения функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Элементарные функции и их классификация.

37. Понятие обратной и сложной функции. Преобразование графиков функции.

38. Понятие числовой последовательности. Действия над ними.

Ограниченные, неограниченные, монотонные последовательности. Монотонная последовательность, признак её сходности. Число е. Понятие натурального логарифма.

39. Придел числовой последовательности, её свойства.

40. Понятие предела функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их основные свойства.

41. Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией. Основные теоремы о пределах (док-ть).

42. Односторонние пределы. Признаки существования пределов. Первый и второй замечательные пределы, следствия из них.

43. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Символы о и О.Эквивалентные бесконечно малые функции, их свойства и применение при вычислении пределов.

44. Понятие о непрерывности функции. Точки разрыва функции и их классификация. Основные теоремы о непрерывных функциях.

45. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Метод бисекции.

46. Различные виды уравнения прямой на плоскости (проходящей через точку перпендикулярно данному вектору; каноническое; проходящей через две точки; с угловым коэффициентом; в отрезках).

47. Координаты точки пересечения прямых. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

48. Поверхность в пространстве и ее уравнение. Составление уравнения поверхности. Сфера и ее уравнение.

49. Плоскость. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости и его нахождение. Построение плоскости. Различные виды уравнения плоскости (проходящей через точку перпендикулярно данному вектору; проходящей через три точки; в отрезках).

50. Координаты точки пересечения трех плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Условия их параллельности и перпендикулярности.

51. Линия в пространстве и ее уравнение, прямая в пространстве. Общее уравнение прямой. Направляющий вектор прямой и его нахождение.

52. Различные виды уравнения прямой в пространстве (каноническое; параметрическое: проходящей через две точки). Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду.

53.Координаты точки пересечения прямой и плоскости в пространстве. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, прямой я плоскости.

54. Общее уравнение алгебраических кривых 2-го порядка на плоскости. Классификация алгебраических кривых 2-го порядка на плоскости.

55. Окружность (определение, составление уравнения). Нормальное и каноническое уравнение окружности.

56. Эллипс (определение, составление канонического уравнения). Основные свойства и характеристики эллипса (оси симметрии, центр вершины, полуоси, эксцентриситет, директрисы, фокальные радиусы). Построение эллипса.

57. Гипербола (определение, составление уравнения). Основные свойства и характеристики гиперболы (оси симметрии, центр вершины, полуоси, эксцентриситет, директрисы, асимптоты, фокальные радиусы). Построение гиперболы.

58. Парабола (определение, составление канонического уравнения). Основные свойства и характеристики параболы (ось симметрии, центр вершины, эксцентриситет, директрисы, фокальные радиусы). Построение параболы.

59. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническом виду.

60. Алгебраические кривые 2-ого порядка. Цилиндры, сфера, конусы, эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды (их канонические уравнения и графики).

Теоретические вопросы к экзамену по дисциплине

«высшая математика»

Поиск по сайту: