Гідрогеологічні задачі – це математичне формулювання проблем фільтрації, масопереносу та вологопереносу

Пряма гідрогеологічна задача – знаходження значень функцій (гідродинамічний напір Н, м; мінералізація підземних вод С, г/дм³, температура Т °) за відомими значеннями фільтраційних, міграційних, температурних та інших параметрів (коефіцієнтів рівняння) та заданих крайових умовах для різних значень аргументів (просторових та часових координат).

Інверсна гідрогеологічна задача [<лат. inversio – перестановка] – знаходження фільтраційних, міграційних, температурних та інших параметрів, які характеризують гідрогеологічний процес за відомими значеннями функцій і заданих крайових умовах.

Зворотна гідрогеологічна задача – знаходження граничних умов за відомими значеннями функції та параметрів, що характеризують гідрогеологічний процес.

Узагальнена гідрогеологічна задача – знаходження функціональних залежностей між усіма величинами, які кількісно характеризують досліджуваний гідрогеологічний процес.

Індуктивна гідрогеологічна задача [<лат. inductio – збудження] пошук, або уточнення диференційного рівняння другого порядку у часткових похідних, що описує досліджуваний гідрогеологічний процес.

Гідрогеологічний моніторинг – складна багатоступенева, просторово-часова, природно-технічна система контролю та управління режимом підземних вод із зворотнім зв’язком між контролем і управлінням.

Система [<грец. systema – ціле, складене із частин, з’єднання] – велика кількість закономірно з’єднаних один з одним елементів (предметів, явищ, дій), які являють собою певне цілісне утворення, єдність.

Контроль [<франц. controle – подвійний список] – перевірка, спостереження з метою перевірки.

Спостереження – цілеспрямоване та організоване сприйняття зовнішнього світу, яке забезпечує первинним матеріалом наукові дослідження.

Управління – філософська категорія, функція організованих систем, в тому числі і природно-технічних.

Зворотній зв’язок – філософська категорія, одне із основних понять, яке характеризує системи управління та означає зворотній вплив.

Категорія – [<грец. kategoria – вислів, свідчення] – загальне визначення найбільш суттєвих властивостей процесу, явища.

Монітор – [<англ. monitor, <лат. monitor – застерігаючий] – засіб контролю визначених параметрів.

Гідрогеологічний прогноз [<грец.prognosis – передбачення] – характеристика гідрогеологічного процесу в майбутньому часі.

Процес – [<лат. processus – проходження, просування] – закономірна послідовна зміна явища, його перехід в інше явище.

Явище – філософська категорія, конкретна подія або властивість, що виражає зовнішні форми існування предмета пізнання.

Прогнозування – [<грец. prognosis – передбачення] – спеціальне дослідження перспектив розвитку процесу або явища.

Якісний метод прогнозування – логічний висновок про розвиток гідрогеологічного процесу в майбутньому часі, який не підтверджений гідродинамічними, або іншими розрахунками.

Перспектива – [<франц. perspective <лат. рerspicere – дивитися крізь] – майбутнє, погляд на майбутнє.

Гідродинамічна сітка – графічне відображення структури фільтраційного потоку. Вона складається із взаємоперпендикулярних ліній рівних напорів і струмів.

Струмова лінія – траєкторія руху частинок води у фільтраційному потоці.

Динаміка – [<грец. dinamikos – сила, сильний] – стан руху, хід розвитку, зміна будь-якого явища під впливом діючих на нього факторів.

Динаміка вологи – процес, який характеризує зміну вологості у розрахункових точках або інтервалах глибин ґрунтового профілю під впливом зовнішніх факторів: фізичного впливу через поверхню ґрунтового шару: транспірації, атмосферних опадів, зрошення та внутрішніх сил, які зумовлені водно-фізичними властивостями часток ґрунтів або порід.

Дисперсія – [<лат. dispersus – розсіювання] – розсіювання речовини у різних середовищах.

Гідродисперсія – розсіювання речовини у водному середовищі.

Коефіцієнт гідродисперсії – розрахункова величина, комплексний узагальнюючий параметр, який кількісно характеризує всі фактори розсіювання речовини, які супроводжують фільтрацію в зоні повного водонасичення або вологоперенос в зоні аерації D, м²/доб.

Мікродисперсія – процеси розсіювання речовини на молекулярному та внутрішньопоровому рівнях.

Макродисперсія – розсіювання речовини за умови невпорядкованої неоднорідної будови області фільтрації.

Дифузія [<лат. diffusio – розповсюдження] – рух часток однієї речовини в іншу, який призводить до переносу речовини та вирівнюванню концентрацій або до встановлення рівноважного розподілу концентрацій в середовищі.

При відсутності макроскопічного руху середовища, наприклад конвекції, дифузія здійснюється тепловим рухом молекул і має назву молекулярна дифузія. В однорідній системі (газ, рідина) при молекулярній дифузії і відсутності зовнішнього впливу, дифузійний потік (потік маси) пропорційний градієнту його концентрації (Закон Фіка).

,

де V_d – щільність дифузійного потоку, кількість речовини, яка проходить крізь одиничну площу потоку в одиницю часу, г/м²·доб; C – концентрація речовини, г/дм³.

Експеримент [<лат. еxperimentum – дослід] – дослідження будь-якого явища або процесу шляхом активних дій на нього завдяки створенню нових умов, які відповідають меті дослідження, або через зміну перебігу процесу в потрібному напрямку.

Ефективна пористість – враховує наявність фізично зв’язаної води і оцінює той обсяг порового простору у якому може відбуватися вільний рух підземної води.

Екологія [<греч oikos – дім, родина] – наука про проблеми взаємовідносини людини і середовища, взаємодія суспільства і природи, наукова основа раціонального природокористування і охорони навколишнього середовища.

Засоленість порід – кількість легкорозчинних солей у 100 г сухого ґрунту, виражена у відсотках. Обчислюється за результатами хімічного аналізу водяної витяжки.

Приготування водяної витяжки: на технічних вагах зважують таку кількість повітряно-сухого ґрунту, яка відповідає 100 г сухого ґрунту. Для цього визначають вміст в ґрунті гігроскопічної води і у відповідність до цього збільшують навіску. В колбу з навіскою ґрунту ємністю 500-1000 мл наливають п’ятикратну кількість дистильованої води, закривають гумовою пробкою і збовтують протягом трьох хвилин, після чого витяжку фільтрують крізь сухий складчастий фільтр.

Гігроскопічною називають воду, яка поглинута ґрунтом із повітря і виділяється із нього в процесі висушування при температурі 100-105ºС.

Збіжність – поняття математичного аналізу, який визначає, що деяка послідовність має границю у часі. Всі гідрогеологічні процеси мають встановлений режим, тому вони збігаються.

Зона аерації [<фр. aeration – повітря] – частина земної кори, яка розташована між поверхнею землі і зоною повного водонасичення. Характеризується неповним водонасиченням. Частина порового простору зайнята водою, а частина повітрям, яке має зв’язок з атмосферою.

Інфільтраційне живлення [<лат. infietratio – проникнення] – частина атмосферних опадів, яка іде на поповнення запасів підземних вод.

Ітерація [<лат. iteratio – повторення]– результат багаторазового повторення математичної операції.

Конвекція [<лат. convectio – доставка] – переміщення теплоти, маси, зарядів рухомого середовища, наприклад, з потоком повітря чи речовини, яке виникає природним і штучним шляхом у неоднорідних середовищах (природна конвекція і штучна).

Конвективна дифузія – процес, у якому присутня конвекція і дифузія. Конвекція у пористих водонасичених породах супроводжується дисперсією. Причина – неоднорідність порового простору. Кожна частинка води і речовини, яку вона переносить, рухається із швидкістю пропорційною квадрату діаметра пори. Різні швидкості утворюють зону розсіювання.

Коефіцієнт конвективної дифузії – параметр, який кількісно характеризує розсіювання речовини в потоці підземних вод, що рухається під впливом дифузії і конвекції D, м²/доб.

Міграція – [<лат. migratio, – переселення] – переміщення хімічних елементів в різних зонах і оболонках землі, що пов’язане з геологічними і геохімічними процесами, які постійно змінюються в часі.

Модель [<франц. мodele – міра, образ, зразок] – відображення гідрогеологічного об’єкту, яке створене для наукових досліджень.

1) Схема, зображення або опис будь-якого явища або процесу в природі та суспільстві; 2) Відтворення предмета у збільшеному або зменшеному вигляді.

Постійно діюча математична модель зміни гідрогеологічних умов – регіональна багатофункціональна гідрогеологічна задача, обмежена в просторі і безперервна в часі. Обов’язкова складова частина сучасного гідрогеологічного моніторингу. З причини відносно дрібного масштабу не може служити єдиною науковою основою для розробки природоохоронних заходів гідрогеологічної направленості, тому доповнюється великомасштабними моделями локальних об’єктів негативного техногенного впливу на режим підземних і поверхневих вод.

Моделювання – 1) дослідження об’єктів пізнання на їх моделях, побудова моделей реально існуючих предметів, процесів і явищ, інженерних споруд; 2) відтворення характеристик деякого об’єкта на іншому об’єкті, навмисно створеному для їх вивчення. Він називається моделлю. Потреба в моделюванні виникає тоді, коли дослідження безпосередньо самого об’єкту неможливі, дорогі, потребують дуже багато часу. Між моделлю та об’єктом повинна бути подібність у фізичних характеристиках моделі та об’єкта (фізичне моделювання), або в тотожності математичного опису процесів об’єкту та його моделей (математичне моделювання).

Похибка – результат співставлення різних значень однієї фізичної величини. 1) Абсолютна – різниця між наближеним значенням x деякої величини та її точним значенням . 2) Відношення є відносною помилкою.

Пористість – відношення об’єму порожнин до об’єму всієї породи, або до об’єму скелета породи, частки одиниць.

Активна пористість – частина порового простору, по якому відбувається гравітаційний рух підземних вод.

Порові води – води що перебувають в поровому просторі порід зони аерації в рухливій, твердій або абсорбційній формах. До складу порових вод входять всі види природної води за виключенням хімічно зв’язаної: лід, пар, гігроскопічна вода, що переходить в пароподібну при зміні температури і вологості ґрунтового повітря, плівкова вода, капілярна і гравітаційна. Лід, пар і гігроскопічна вода недоступні для рослин і не володіють здатністю розчиняти речовини. Плівкова, капілярна і гравітаційна вода наділені розчинною здатністю і в різному ступені засвоюються рослинами.

Порові розчини – порові води, що наділені розчинною здатністю і утримують тверді, рідкі і газоподібні мінеральні і органічні сполуки в розчинному стані.

Ґрунтові розчини – порові розчини ґрунтового шару.

П’єзопровідність – (коефіцієнт α^*, м²/доб) параметр, що визначає (кількісно характеризує) швидкість зміни рівня напірного потоку в часі

,

де μ^* – коефіцієнт пружної водовіддачі при зниженні рівня і водонасичення при його підйомі, частки одиниць.

Рівнепровідність – (коефіцієнт α, м²/доб) параметр, що визначає (кількісно характеризує) швидкість зміни рівня безнапірного потоку в часі;

α= ,

де μ – коефіцієнт гравітаційної водовіддачі при зниженні рівня і водонасичення при його підйомі, частки одиниць.

Узагальнюючий термін для цих двох характеристик – коефіцієнт гідроємності або коефіцієнт гравітаційної ємності пласта.

Рекультивація – [<лат. cultivo, – обробляю, виробляю] – повне або часткове відновлення ландшафту, порушеного попередньою господарською діяльністю, наприклад видобутком корисних копалин.

Розв’язання гідрогеологічної задачі – відповідь на питання, поставлені умовою задачі: 1) аналітичне, одержане інтегруванням диференційного рівняння, яке описує досліджуваний гідрогеологічний процес; 2) чисельне, одержане розв’язанням скінченно-різницевого аналога цього рівняння. Розв’язок приблизний, бо диференційне рівняння ІІ порядку замінюється алгебраїчним І порядку, нескінченно малі прирощення функції замінюються реальними величинами.

Сорбція – [<лат. sorbio, – поглинаю] – поглинання твердими тілами або рідинами яких-небудь речовин з оточуючого середовища.

Абсорбція – розчинення адсорбата в адсорбенті тобто перехід його з поверхні у середину.

Адсорбція – зміна вмісту даного компоненту в поверхневому прошарку речовини в порівнянні з вмістом його у внутрішніх прошарках.

Адсорбент – речовина, на поверхні якої відбувається адсорбція.

Адсорбат – речовина, що поглинається.

Хемосорбція – процес сорбції при якому частинки поглинаючої речовини і поглинувача взаємодіють хімічним шляхом.

Системний аналіз – це сукупність визначених наукових методів і практичних прийомів рішення проблеми на основі системного підходу й уявлення об’єкту дослідження у вигляді системи. Системний аналіз дозволяє складну проблему розбивати на сімейство послідовно розташованих більш простих підпроблем так, що рішення всіх підпроблем дозволяє вирішити вихідну проблему.

Ставки-накопичувачі і хвостосховища– інженерні споруди, побудовані в глибоких ерозійних урізах для акумуляції скидних шахтних вод і інших техногенних відходів.

Стійкість кінцево-різницевої схеми – властивість її не накопичувати похибки при розвитку досліджуваного гідрогеологічного процесу в просторі і часі.

Критерій стійкості – умова при якій виконуються стійкість.

Стійкість обчислювального процесу – властивість, що характеризує швидкість накопичення сумарної обчислювальної похибки.

Стійкість різницевих схем – характеризує непереривну залежність рішень різницевих схем по відношенню до вхідної інформації.

Стійкість рішень диференційних рівнянь

Нехай є система диференційних рівнянь

і є рішення цієї системи, яке приймає при початкове значення . Воно називається стійким, якщо будь-яке інше рішення, початкові дані якого мало відрізняються від , буде також мало відрізнятися від нього при усіх значеннях t.

Єдності властивості аналітичних функцій – властивості аналітичних функцій, які полягають у тому, що вони визначаються своїми значеннями на деяких підмножинах точок їх області визначення або границі цієї області. Розрізняють внутрішні та граничні єдності властивостей.

Точність – ступінь наближення дійсного значення параметра процесу до його номінального значення.

Умова – філософська категорія, яка виражає відношення предмета до оточуючих явищ, без яких існувати він не може.

Фільтрація – [фр. filter, лат. filtrum – войлок] – рух підземних вод у повністю водонасичених пористих або тріщинуватих гірських породах.

Коефіцієнт фільтрації – кількість води, що просочується через породу в одиницю часу через перетин 1м² при напірному градієнті, який дорівнює одиниці.

Флуктуація – [<лат. fluctuation – коливання] – випадкові відхилення від середніх значень фізичних величин, які характеризують систему із великої кількості частинок, які викликані тепловим рухом часток системи.

Шахтні відвали – породи, вилучені з гірських виробок.

1. РІВНЯННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ, ЯКІ ОПИСУЮТЬ ФІЛЬТРАЦІЙНІ ПРОЦЕСИ ТА ЇХ РОЗВ’ЯЗАННЯ

Усі гідрогеологічні процеси описуються рівняннями математичної фізики у часткових похідних другого порядку еліптичного та параболічного типу. До гідрогеологічних процесів відносяться фільтрація, масоперенос, теплоперенос та вологоперенос. Фільтрація – це рух води у повністю водонасичених гірських породах, які мають назву фільтраційного середовища. Підземні води, які рухаються у гірських породах являють собою фільтраційний потік. Масоперенос – це рух розчиненої речовини разом із підземними водами. Аналогічно теплоперенос вивчає теплові процеси у підземних водах, які рухаються. Рух води у зоні аерації має назву вологоперенос. Зона аерації розташована між поверхнею землі і зоною повного водонасичення. Їх розділяє поверхня ґрунтових вод. У зоні повного водонасичення усі пори і тріщини заповнені водою. У зоні аерації частина порового простору зайнята повітрям, яке має зв’язок із атмосферою.

1.1. Елементи фільтраційного потоку

Основними гідродинамічними елементами фільтраційного потоку є його потужність, напір, гідравлічний уклін, швидкість фільтрації, витрата, лінії рівних напорів і лінії струмів [54]. Потужність потоку визначається потужністю водонасичених порід у межах водоносного горизонту, або комплексу. У потоку ґрунтових вод h – це відстань від вільної поверхні води до водотрива (рис. 1.1а). У потоках напірних вод m – це потужність водоносного шару між верхньою і нижньою його границями (рис. 1.1 б).

Рис. 1.1 Схема потужностей водоносних пластів: а) потужність потоку ґрунтових вод; б) потужність потоку напірних вод.

Напір потоку – це відстань від площини порівняння до поверхні підземних вод (рис. 1.2).

Рис. 1.2 Визначення гідродинамічного напору

, (1.1)

(1.2)

, (1.3)

де h_p – висота, на яку підіймається вода над даною точкою потоку під впливом гідродинамічного тиску P, м; g - щільність води, г/см³; Z – висота даної точки над площиною порівняння, м.

Внаслідок витрат енергії потоку на подолання опору фільтраційного середовища у напрямку руху виникає зниження напору. Воно характеризується величиною напірного градієнту або гідравлічного уклону, який визначається відношенням різниці напорів між двома точками D H до відстані між ними:

, (1.4)

де L – проекція шляху фільтрації на горизонтальну площину, м; I_ср – середній гідравлічний уклін, безрозмірна величина; H₁, H₂ – гідродинамічні напори розрахункових точок 1 і 2, м.

Витрата Q – це кількість води, яка протікає в одиницю часу крізь перетин , перпендикулярний руху потоку:

, (1.5)

де Q – витрата, м³/доб; V – швидкість фільтрації, м/доб; F – площа перетину, перпендикулярного руху потоку, м²; k – коефіцієнт фільтрації, м/доб; h – потужність водоносного горизонту, м; B – ширина потоку підземних вод, м.

Одинична витрата q – це витрата потоку на 1 м його ширини:

. (1.6)

Швидкість фільтрації V – це кількість води, яка протікає у одиницю часу крізь перетин 1 м².

. (1.7)

Коефіцієнт фільтрації k – це кількість води, яка протікає в одиницю часу крізь перетин 1 м² при напірному градієнті, який дорівнює одиниці.

Траєкторії руху часток води мають назву струмові лінії. Вони будуються перпендикулярно лініям рівних напорів і разом створюють гідродинамічну сітку. Вона графічно відображає структуру фільтраційного потоку. Частина області фільтрації, розташована між двома сусідніми лініями струму має назву стрічка струму.

Контрольні питання

1. Що таке фільтраційне середовище, фільтраційний потік, фільтрація.

2. Чи мають гідрогеологічні процеси математичний опис.

3. Назвіть основні елементи фільтраційного потоку.

4. Чим відрізняється потужність напірного і безнапірного потоків.

5. Що таке гідродинамічна сітка і як її побудувати.

6. Що таке стрічка струму.

7. Як розрахувати гідродинамічний напір, витрати фільтраційного потоку, швидкість фільтрації, градієнт потоку.

1.2. Рівняння фільтрації

Гідрогеологічні процеси описуються диференціальними рівняннями другого порядку у частинних похідних еліптичного та параболічного типів. Рух підземних вод в усталеному режимі фільтрації у однорідному водоносному горизонті при відсутності інфільтраційного живлення описується еліптичними рівняннями виду Лапласа [29]:

, , . (1.8)

Гідродинамічний напір є векторною величиною, тому мірність рівняння визначається величиною його складових за просторовими координатами x, y, z.

При наявності інфільтраційного живлення у тих самих умовах фільтраційний процес описується рівнянням Пуасона:

. (1.9)

Воно також є еліптичним.

Рух підземних вод в неусталеному режимі фільтрації у тих самих і інших умовах описується рівняннями параболічного типу:

(1.10)

(1.11)

(1.10) має назву рівняння Фур’є.

У рівняннях (1.8) – (1.11) прийняті такі позначення:

H – гідродинамічний напір, м; x – просторова координата, м; t – часова координата, м/доб; W – інфільтраційне живлення, м/доб; T – водопровідність, м²/доб; a – коефіцієнт рівнепровідності, м²/доб.

Коефіцієнти рівнянь фільтрації мають назву фільтраційні параметри, або параметри водоносних горизонтів. Перший і найбільш важливий з них – це коефіцієнт фільтрації, k, м/доб. Цей параметр кількісно характеризує здатність породи транспортувати воду і визначається як кількість води, яка протікає в одиницю часу крізь одиничний перетин при напірному градієнті, який дорівнює одиниці. Другий за важливістю параметр m – коефіцієнт гідроємності, частки одиниць. Він характеризує частину порового простору породи, який звільнюється від води при зниженні рівня підземних вод, або заповнюється водою при його підйомі і розраховується за формулою:

, (1.12)

де D V – об'єм води, який видобули з водоносного горизонту; V – об'єм осушеної породи.

Цей параметр m для безнапірного потоку має назву гравітаційної гідроємності, а для напірного – пружної гідроємності і позначається m^*. Формула для розрахунку:

, (1.13)

де m – потужність водоносного горизонту, м; DН – зміна величини напору, м.

Усі інші гідрогеологічні параметри є похідними від k, m, m, m^*.

а б

Рис. 1.3 Визначення водопровідності

Для упорядкованої неоднорідності або шаруватості

Рівнепровідність для безнапірного потоку

, м²/доб. (1.14)

П’єзопровідність для напірного потоку

, м²/доб. (1.15)

Рис. 1.4 Водопровідність шаруватого водоносного горизонту

Витрати ґрунтових і напірних потоків в однорідному водоносному горизонті визначаються за такими формулами:

а) Напірний (1.16)

б) Безнапірний

У неоднорідних потоках коефіцієнт фільтрації визначається як середньо вагова величина за формулами:

(1.17)

(1.18)

У формулах (1.16) – (1.18) застосовані такі позначення:

Q – повна витрата потоку підземних вод, м³/доб; F – площа перетину, м²; m – потужність напірного водоносного горизонту, м; b – ширина водоносного горизонту, м; V – швидкість фільтрації, м/доб; k – коефіцієнт фільтрації, м/доб; H₁, H₂ – гідродинамічні напори у розрахункових перетинах 1, 2, м; h₁, h₂ – потужність водонасиченої частини у перетинах 1, 2, м; L – відстань між розрахунковими перетинами 1, 2, м; I – градієнт потоку, безрозмірна величина.

Контрольні питання

1. Який гідрогеологічний процес описує рівняння Лапласа.

2. Чим відрізняється рівняння Лапласа від Пуасона.

3. Які рівняння описують гідрогеологічні процеси в неусталеному режимі.

4. Як визначається коефіцієнт фільтрації у багатошарових системах.

5. Як визначається мірність рівняння.

6. Що таке часткова похідна.

7. Що таке гідрогеологічні параметри. Охарактеризуйте основні з них.

1.3. Побудова кривої депресії

1. Крива депресії – це вертикальний розріз поверхні підземних вод. Вона будується за даними спостережень або розраховується за формулами. У однорідному водоносному горизонті в усталеному режимі при відсутності інфільтраційного живлення на межиріччі вона розраховується за формулою [29]:

(1.19)

де H₁ і H₂ – гідродинамічні напори на річках, відомі величини, м; H_х – гідродинамічний напір всередині області фільтрації, невідома величина, м; x – відстань від річки з напором H₁ до розрахункової точки, м; L – відстань між річками, м.

При наявності інфільтраційного живлення застосовуємо формулу [29]:

, (1.20)

де W – інфільтраційне живлення, м/доб; T – водопровідність, м²/доб.

Для розрахунку депресійної кривої в неусталеному режимі фільтрації застосовуємо формулу, яка справедлива для гідрогеологічних умов, відображених на рис. (1.6):

, (1.21)

де ∆Н⁰ – перевищення води у каналі над рівнем підземних вод, який був до побудови каналу h_min, м; ∆Н_х – підйом рівня на відстані x від каналу, м; a – рівнепровідність, м²/доб; erfc – табульована функція; x – відстань від урізу води в каналі до розрахункової точки, м; t – час експлуатації каналу від моменту наповнення, доб.

Така розрахункова схема має назву «напівобмежений шар».

Для визначення направлення руху підземних вод за результатами режимних спостережень будують гідродинамічну сітку. Кожна токова лінія є траєкторією руху часток води у фільтраційному потоці. Для визначення V, швидкості підземних вод у вертикальному напрямку застосовується така формула:

, (1.22)

де H – гідравлічний напір у нижньому, напірному водоносному горизонті, м; h – потужність зони повного водонасичення у верхньому, безнапірному горизонті, м;

m₀ – потужність розділяючого шару, м; k₀ – коефіцієнт фільтрації розділяючого шару, м/доб.

Гідрогеологічні умови, які відповідають формулі (1.22) відображені на рис. 1.7. Потужність слабкопроникного розділяючого шару – головний фактор, який визначає величину вертикальної складової швидкості фільтрації.

У плановому фільтраційному потоці швидкість фільтрації розраховується за даними режимних спостережень, або за картами п’єзо- і гідроізогіпс, які також будуються за даними режимних спостережень на різні строки.

, (1.23)

де V – швидкість фільтрації, м/доб; k – коефіцієнт фільтрації, м/доб; H₁, H₂ – гідродинамічні напори у двох свердловинах, розташовані на відстані L одна від одної.

Контрольні питання

1. Що таке депресійна крива.

2. Назвіть два способи побудови депресійної кривої.

3. Викладіть послідовність побудови депресійної кривої в усталеному режимі на межиріччі при відсутності інфільтраційного живлення.

4. Те саме при наявності інфільтраційного живлення.

5. Як побудувати депресійну криву в неусталеному режимі, використовуючи метод суперпозиції.

6. Який вид має депресійна поверхня, якщо гідрогеологічний процес описується рівнянням Лапласа.

1.4. Основні закони фільтрації

Лінійний закон фільтрації Дарсі зв’язує витрати фільтраційного потоку з втратами гідродинамічного напору. Головним вважається ламінарний режим течії з лінійним зв’язком між швидкістю фільтрації і напірним градієнтом потоку. Це є відкриттям французького гідрогеолога А. Дарсі (Darcy, 1856), який на основі фізичного моделювання вивів такі формули:

, , (1.24)

де Q – витрата потоку крізь перетин w, м³/доб; k – коефіцієнт фільтрації, який залежить від структури порового та тріщінного простору і властивостей води, яка рухається у цьому просторі, м/доб; I – градієнт напору, відношення втрат напору до довжини шляху фільтрації, L; V – швидкість фільтрації, м/доб.

У диференційній формі лінійний закон фільтрації у декартовій системі координат має вигляд:

(1.25)

де k_x, k_y, k_z – коефіцієнти фільтрації, які характеризують водопроникність анізотропної гірської породи і мають різну величину за осями координат. Закон Дарсі має широку область застосування. Верхня його границя пов’язана з проявами сил енерції при великих швидкостях і турбулентності потоку. Нижня границя – це явище початкового градієнту у слабкопроникних породах.

У загальній формі основний закон фільтрації А.Дарсі і Ф.Форхгеймер запропонували у виді двох складових:

, , , (1.26)

де k – коефіцієнт фільтрації за ламінарним режимом, м/доб; a - коефіцієнт нелінійної фільтрації. Формула (1.26) ураховує нелінійність потоку.

Якщо швидкість фільтрації дуже мала, з’являються сили взаємодії між частинками породи і молекулами води. Основний закон фільтрації в таких умовах записується так:

, (1.27)

де I₀ – початковий градієнт, величина, яка враховує сили молекулярного тяжіння.

Контрольні питання

1. Якими методами визначається швидкість руху підземних вод.

2. Як обчислюється швидкість перетікання крізь слабкопроникний шар.

3. Яким чином відкрито закон Дарсі.

4. Запишіть закон Дарсі у диференційній формі.

5. Напишіть загальну формулу закону Дарсі – Форхгеймера.

6. Що таке початковий градієнт.

1.5. Фільтраційна неоднорідність гірських порід

Фільтраційна неоднорідність – це просторова зміна параметрів водопроникності і ємності [51]. Головні показники неоднорідності – водопровідність T і коефіцієнт фільтрації k. Ці параметри змінюються в дуже широких межах. Найбільш однорідними у фільтраційному відношенні є піски, а найбільш неоднорідними – тріщино-карстові карбонатні породи і тріщінні не карбонатні колектори (табл. 1.1).

Таблиця 1.1. Характеристика фільтраційної неоднорідності порід [51]

У табл. 1.1. класифікаційним показником фільтраційної неоднорідності виступає величина середньоквадратичного відхилення логарифму водопровідності s_lgT. Фактори, що формують фільтраційну неоднорідність – тріщинуватість, шаруватість, карст, зони тектонічних порушень, стародавні долини. Розмір елементів неоднорідності пов’язаний з визначенням рівня і порядку неоднорідності. Низький порядок має сама велика неоднорідність, а високий – сама маленька. Якщо фактори, які створюють просторову неоднорідність діють довгий геологічний час, на великих площах, тобто є регіональними, то в результаті формується просторова неоднорідність самого низького порядку. Елементи її мають чітко виражену генетичну природу, великі розміри у плані та по вертикалі. Пов’язана така неоднорідність з геолого-структурними особливостями басейну підземних вод, наявністю великих тектонічних елементів, літолого-фаціальних зон. Якщо фактори, які породжують неоднорідність, діють на великих ділянках і короткий час, але факторів багато, то формується неоднорідність найвищого порядку.

Вченими гідрогеологами (Г.К. Бондарик, В.А. Мироненко, В.М. Шестаков) виділені такі види неоднорідності [51].

Таблиця 1.2. Види фільтраційної неоднорідності

1.6. Геофільтраційна схематизація

Геофільтраційна схематизація – подання закономірностей формування підземних вод у гідродинамічній постановці з повним математичним формулюванням задачі, яка розглядається (Шестаков В.М., 1979). Щоб розв’язати гідрогеологічну задачу природні умови слід представити у вигляді розрахункової схеми і обґрунтувати вид диференційного рівняння, яке потрібно розв’язати для вибраної схеми.

1.6.1. Класичні гідродинамічні схеми

1. Планова напірна фільтрація в умовно однорідному водоносному горизонті [29] (рис. 1.8).

(1.28)

де ,

x і y – просторові координати розрахункових точок у декартовій системі, м; H – гідродинамічний напір, м; t – часова координата, доб.

Третю координату Z зневажаємо, тому що у плані водоносний горизонт звичайно має значно більші розміри, ніж по вертикалі (рис.1.9).

Рис. 1.9 Планова напірна фільтрація, складові гідродинамічного напору в умовах однорідного водоносного горизонту

2. Планова напірна фільтрація у шаруватому водоносному горизонті (рис. 1.10):

(1.29)

(1.30)

(1.31)

(1.32)

3. Безнапірна фільтрація у двошаровому пласті (рис.1.11)

(1.33)

4. Неоднорідний безнапірний пласт на похилому і горизонтальному водотриві. (рис. 1.12, 1.13).

, (1.34)

.

.

Рис. 1.13

(1.35)

Величина k і h входять під знак похідної. Це означає, що вони змінні у просторі.

У рівняннях (1.34) і (1.35) водопровідність , залежить від функцій h і H і заздалегідь невідома. Таке рівняння має назву нелінійне. Для його розв’язання виконуємо лінеаризацію. Найпростіший спосіб лінеаризації – це осереднення водопровідності.

(1.36)

Постійну величину T виносимо за знак похідної, рівняння (1.34) і (1.35) приймуть вид:

, . (1.37)

Такий підхід має назву лінеаризація за Бусінеску. Він найбільш простий. Є і більш складний спосіб – Багрова-Верігіна.

Вводом нової функції приводимо (1.34) і (1.35) до лінійного виду

(1.38)

1.6.2 Схематизація за граничними умовами

I. Схема «Необмежений пласт» [47]. Область фільтрації, яка досліджується, знаходиться за межами впливу усіх поверхневих водойм і водотоків (рис. 1.14).

Рис. 1.14 Необмежений пласт Рис. 1.15 Напівобмежений пласт

ІІ. Напіобмежений пласт. На область фільтрації чинить вплив одна межа, наприклад річка (рис.1.15).

ІІІ. Пласт – смуга. Область фільтрації розташована між двома межами, які гідравлічно з нею пов’язані (рис. 1.16).

ІV. Пласт – напівсмуга. Область фільтрації, розташована між трьома межами, дві паралельні одна одній, третя їм перпендикулярна (рис. 1.17).

Рис. 1.16 Пласт – смуга: а) план; б) профіль.

V. Пласт – прямокутник. Досліджувана область фільтрації обмежена водоймами та водотоками з чотирьох сторін. Така схема виникне у регіональному плані України, якщо побудують канал Дунай – Дніпро (рис. 1.17).

Рис.1.17 Пласт – напівсмуга

Контрольні питання

1. Що таке геофільтраційна схематизація.

2. Охарактеризуйте гідродинамічну (геофільтраційну) схему планової напірної фільтрації в умовно однорідному водоносному горизонті.

3. Перетворити попередню схему для багатошарової системи.

4. Як буде виглядати геофільтраційна схема для двошарового водоносного горизонту.

5. Охарактеризуйте схему Бусінеска.

6. Що таке нелінійне рівняння.

7. Як виконується лінеаризація нелінійних рівнянь.

8. Як виконується схематизація за граничними умовами.

9. Чим відрізняються розрахункові схеми «необмежений» і «напівобмежений» шар, «смуга» і «напівсмуга».

1.7. Прогноз рівневого режиму ґрунтових вод

Процес зміни рівня ґрунтових вод при плановій розрахунковій схемі описується двомірним параболічним рівнянням [47]:

. (1.39)

Якщо досліджувана територія знаходиться за межами активного впливу ріки на рівень ґрунтових вод протягом усього періоду прогнозування, це дозволяє застосувати тут розрахункову схему “ділянка інфільтрації у необмеженому пласті” (рис. 1.18а).

Аналітичне вирішення рівняння (1.39) для цієї схеми має вигляд

(1.40)

де .

Для ділянок, розташованих поблизу ріки, правомірна розрахункова гідродинамічна схема “ділянка інфільтрації у напівобмеженому пласті” (рис. 1.18 б). Якщо ділянка прилягає безпосередньо до ріки, то може бути застосована та ж розрахункова схема у модифікації b₁=0

Аналітичне рішення рівняння (1.39) для напівобмеженого пласта має вигляд:

,

(1.41)

де

Розрахункова схема «напівплощина» у необмеженому пласті може бути застосована для ділянок великої довжини і має таке аналітичне значення

(1.42)

У виразах (1.39) – (1.42) прийняті такі позначення: h – гідродинамічний напір, м; – інфільтраційне живлення, м/доб; T – водопровідність, м²/доб; – рівнепровідність, м²/доб, x, y – просторові координати, м; t – часова координата, доб; z – величина прогнозного підняття рівня підземних вод, м; - водовіддача (водонасичення), частки одиниці; – табульовані функції.

Детальні таблиці цих функцій наведені в [47]. Решта позначень показана на рис. 1.18.

Приклади прогнозу підняття рівня ґрунтових вод розглянуті для умов Садових товариств СТ у Західному Донбасі (рис. 1.19). Прогноз підйому рівня ґрунтових вод виконано строком на 30 років з проміжними значеннями 1; 5; 10; 15; 20; 25 років за таких вихідних даних: Т=80,63 м²/доб, =0,02, =1,65·10^-4 м/доб і =2,46·10^-5 м/доб для розрахункової схеми “необмежений пласт”. За такої розрахункової схеми найбільше підняття рівня властиве для середині масиву, точки з координатами 0:0. На рис. 1.19 графічно представлене підняття рівня ґрунтових вод центральної частини масиву. Воно не перевищить 0,7 м за весь розрахунковий період і протягом 10 років стабілізується (рис. 1.20). За мінімальної водопровідності, властивої цій ділянці Т=20,5 м²/доб найбільше підняття складе 0,36 м і повністю стабілізується через 20 років. Причиною таких незначних піднять рівнів є невеликі розміри ділянки (довжина 500 м, ширина 300 м) і велика потужність пісків, що забезпечує швидке латеральне розтікання іригаційного горба. В Табл. 1.3 представлені результати прогнозного розрахунку песимістичного варіанту в умовах нульового дренуючого впливу ріки у новому руслі, яке планується побудувати.

Таблиця 1.3. Результати прогнозу рівневого режиму на СТ “ Угольок-1.2”

№ розра- хункової точки	Коорди-нати, м	Величина z,м	№ розра- хункової точки	Координати, м	Величина z,м
x	y	, м/доб	x	y	, м/доб
1,65·10-4	2,46·10-5	1,65·10-4	2,46·10-5
			1,5 1,72 1,92 2,08	0,225 0,258 0,287 0,312				2,2 2,36 2,45 2,56	0,331 0,354 0,368 0,384

В умовах, що розглядаються, у центрі ділянки РГВ за рік піднімається на

2,2 м, а на межі, найвіддаленішій від ріки – на 2,56 м. Доцільно також розрахувати варіант, який передбачає, що розміри ділянки за потоком підземних вод залишається незмінними, за схемою “смуга інфільтрації в необмеженому пласті”. Рішення рівняння (1.39) для такої схеми має вигляд:

(1.43)

де – табульована функція. Інші позначення наведені раніше.

За такої гідродинамічної схеми найбільше підняття РГВ характерне для центра смуги, множини точок з координатою x=0. Величина b половина довжини ділянки за потоком підземних вод у прикладі (табл. 1.4.) становить 325 м.

Таблиця 1.4. Результати прогностичного розрахунку за схемою “смуга”

№ розра- хунко- вої точки	Коорди-нати, м	Величина z,м
= 1,65 м/доб	=2,46 м/доб
x	y	Терміни прогнозу, роки
			1,25 0,18	3,02 2,6	4,46 4,21	6,5 6,26	7,9 7,6	0,186 0,027	0,45 0,41	0,67 0,63	0,97 0,936	1,17 1,13

Рис. 1.18 Розрахункова схема: а – необмежений пласт, СТ «Свідовок»; б – напівобмежений пласт, СТ «Рябінушка»; в – напівплощина, СТ «Угольок – 1.2».

а) б)

Рис. 1.19 Зміна рівневого режиму у часі: а) СТ «Угольок – 1.2»; б) СТ Свідовок

Завдання:

1. Детально викласти послідовність розрахунків величини підйому рівня ґрунтових вод за умовами індивідуальної задачі.

2. Обґрунтувати граничні умови і розрахункову схему.

3. Запропонувати охоронні заходи у разі підтоплення ділянки.

1.8. Види гідрогеологічних задач

Гідрогеологічні задачі діляться на такі види: пряма (знаходження значень функції), інверсна (знаходження коефіцієнтів рівняння), обернена (знаходження граничних умов), індуктивна (визначення диференційного рівняння, яке описує досліджуваний гідрогеологічний процес), узагальнена (знаходження залежностей між характеристиками гідрогеологічного процесу).

Фільтрація

Пряма задача фільтрації полягає в знаходженні гідродинамічних напорів при відомих фільтраційних параметрах і крайових умовах.

Крайові умови це початкові умови і умови на границях. Початкові умови це вихідні дані про розподіл функції на початковий момент часу t=0. Граничні умови це відомі значення функції або його першої похідної або того і іншого на границях області фільтрації, масопереносу або вологопереносу.

Для розв’язання рівняння в усталеному режимі не потрібні початкові умові, а тільки граничні.

Інверсна фільтраційна задача полягає в знаходженні фільтраційних параметрів при відомих значеннях функції і граничних умовах.

Зворотною фільтраційною задачею називається визначення граничних умов при відомих значеннях гідродинамічних напорів і фільтраційних параметрів.

Узагальненою фільтраційною задачею називається находження залежності між усіма характеристиками фільтраційного процесу, що вивчається.

Індуктивною фільтраційною задачею називається уточнення виду диференційного рівняння, яким описується процеси, що вивчаються.

Масоперенос

Пряма міграційна задача полягає у знаходженні мінералізації підземних вод, або засоленості порід зони аерації при відомих міграційних параметрах і крайових умовах для вибраних розрахункових точок.

Інверсна задача полягає в знаходженні міграційних параметрів – швидкості фільтрації у зоні повного водонасичення, або швидкості вертикального вологопереносу у зоні аерації, коефіцієнта гідродисперсії, активної пористості і об’ємної вологості.

Коефіцієнт гідродисперсії D це комплексний узагальнений параметр, який враховує всі фактори розсіювання речовини в потоці підземних вод супутні фільтрації. Основний фактор розсіювання речовини це неоднорідність порового простору, інтенсивність розсіювання пропорційна квадрату діаметра пори.

Обернена міграційна задача це находження мінералізації на границі області масопереносу.

Узагальнена задача це встановлення залежностей між процесами, які досліджуються.

Індуктивна задача це уточнення виду рівняння, яке описує досліджуваний міграційний процес.

Вологоперенос

Пряма задача це знаходження величини вологості у кожній розрахунковій точці за відомими величинами параметрів вологопереносу і граничними умовами.

Інверсна задача – це знаходження параметрів вологопереносу, коефіцієнта вологопереносу К_в і коефіцієнта дифузивності ґрунтової вологи Д.

Обернена задача це знаходження граничних умов.

Узагальнена задача це встановлення залежностей між характеристиками процесу вологопереносу: θ=f(k), θ=f(Д), k=f(Д).

Індуктивна задача це уточнення виду рівняння, яке описує процес вологопереносу.

1.8.1. Крайові умови

Для рішення усіх видів гідрогеологічних задач використовується теоретичні положення математичної фізики, згідно якої гідрогеологічні задачі являють собою частині рішення рівнянь параболічного і еліптичного типу. Для рішення таких задач використовується в математиці граничні умови першого, другого і третього роду, в гідрогеології введена гранична умова четвертого роду, яка не має математичної інтерпретації.

Фільтрація

Умова першого роду це відоме значення функції (гідродинамічного напору Н) на границі H=const, H=f(x), H=f(t), H=f(x,y,z,t).

Границя другого роду, в математиці це відоме значення першої похідної, а в теорії фільтрації це відоме значення витрати води.

Умова третього роду це відома залежність між напором і витратою.

Умова четвертого роду не має математичного описання, в гідрогеологіїі і геофізиці називається умовою нерозривності, вона виникає на границі двох літологічних різниць і полягає в рівності всіх характеристик процесу фільтрації або інших гідрогеологічних процесів.

Масоперенос

Умова першого роду це відоме значення мінералізації води на границі досліджуваної області масопереносу, також як і для фільтрації границями області слугують водойми і водотоки гідравлічно пов’язані з підземними водами C=const, C=f(t), C=f(x,t).

Умова другого роду це відоме значення першої похідної, а гідрогеологічний аналог це витрата солей.

Умова третього роду це відома залежність функції від її першої похідної (умова Данквертса – Бреннера).

, (1.44)

де V – швидкість потрапляння води з поверхні землі в зону аерації, м/доб; C_п – мінералізація поливної води, г/дм³; С₀ – вміст солей на поверхні землі, г/дм³; D – коефіцієнт гідродисперсії, м²/доб; – витрата солей (перша похідна) від поверхні землі в середину зони аерації.

Фізичний зміст умови третього роду полягає в балансі солей на поверхні ґрунту. Кількість солей, яка надходить на поверхні землі дорівнює кількості солей, яка концентрується у розрахунковій точці зони аерації і витрачається на розсіювання.

Вологоперенос

Умова першого роду – це відома вологість на поверхні θ=const, θ=f(t).

Умова другого роду – це відоме значення першої похідної (витрата вологи) , .

Умова третього роду це лінійна залежність між функцією і її першою похідною (умова Будаговського).

(1.45)

Кількісно характеризується γ – коефіцієнт інтенсивності витрати вологи, м/доб; θ – існуюча вологість на кожний момент часу, долі одиниці; θ_щ – щільно зв’язана вода, долі одиниці.

Умова четвертого роду полягає у рівності усіх характеристик процесу вологопереносу на границі літологічних різниць θ₁ = θ₂, Д₁ = Д₂, k₁ = k₂.

1.9. Водоприплив до досконалих і недосконалих свердловин

Задача у такій постановці відноситься до аналітичного моделювання. Процес руху води до діючої свердловини у необмеженому пласті описується двомірним рівнянням Лапласа.

, (1.46)

де H – гідродинамічний напір, м; x, y – просторові координати, м.

Задачу про фільтрацію до свердловини доцільно розв’язувати у радіальній системі координат, тоді початкове рівняння стає одномірним.

(а); (б); , , (1.47)

де r – радіальна координата, м. Рівняння (1.47а) розв’язується шляхом інтегрування наступним чином. Вводимо нову змінну.

тоді (1.48)

Якщо перша похідна деякої величини дорівнює нулю, то ця величина є постійне число, тоді , .

Розділяємо змінні і інтегруємо

, , (1.49)

Математичний вираз (1.49) є загальним розв’язанням рівняння (1.47а). Для вирішення класичної гідрогеологічної задачі «свердловина на острові» слід визначити граничні умови. Безпосередньо на свердловини задаємо граничну умову ІІ роду – постійну витрату Q, м³/доб.

, (1.50)

де F – площа повного перетину фільтраційного потоку до свердловини, м²; (рис.1.20). Вона дорівнює площі водоприймальної частини свердловини.

Поиск по сайту: