Основные гипотезы

Рассмотрим длинную замкнутую (), вообще говоря, подкрепленную цилиндрическую оболочку. Отнесем ее к декартовой системе отсчета , ось которой параллельна образующим оболочки, а оси , принадлежат плоскости ее дальнего () торцевого поперечного сечения (см. рис. 2, где замкнутая и, вообще говоря, подкрепленная оболочка представлена условно гладкой трехзамкнутой оболочкой).

Тело оболочки ограничено, с одной стороны, внешней и внутренними цилиндрическими поверхностями, а с другой стороны, — торцевыми поперечными сечениями () и (). Площадь произвольного поперечного сечения — связная плоская область, заключенная между линиями пересечения цилиндрических поверхностей с плоскостью сечения. Для задания геометрии оболочки необходимо задать уравнения этих кривых, совпадающих с уравнениями соответствующих цилиндрических поверхностей.

Декартовая система отсчета удобна при описании деформирования оболочки как балки (стержня). В тех случаях, когда необходимо рассмотрение формы оболочки или ее поперечного сечения, более предпочтительной оказывается так называемая нормальная система отсчета. Она отличается от декартовой тем, что в ней вместо координат , используются нормальная координата , отсчитываемая в направлении единичной внешней нормали к срединной поверхности оболочки, и естественный параметр контура ее поперечного сечения (см. рис.3; образуют правую систему отсчета).

Нетрудно понять, что если параметрические уравнения контура поперечного сечения (срединной поверхности) имеют вид

,

то декартовы координаты произвольной точки тела оболочки выражаются через нормальные , формулами

.

Здесь ,

,

где , и — отличные от нуля () направляющие косинусы нормали и единичной касательной контура поперечного сечения (см. рис. 3). Кроме того, начиная отсюда, мы договариваемся производные функции одного аргумента помечать вверху справа от символа функции нужным количеством штрихов.

Учитывая, что толщина оболочки мала по сравнению с другими ее габаритными размерами, примем следующее упрощающее предположение:

геометрия оболочки, ее смещения, деформации, напряжения и объемные внешние силы не меняются по толщине оболочки.

Это означает, что геометрия и напряженно–деформированное состояние оболочки всецело определяется геометрией и напряженно–деформиро-ванным состоянием ее срединной поверхности. В частности, геометрию оболочки можно считать заданной, если известны ее толщина и уравнение контура ее поперечного сечения

Возможный отказ от принятого упрощающего предположения привел бы к неоправданному для тонких оболочек усложнению вычислений без ощутимого влияния на точность результатов.

В строгой постановке решение задачи о напряженно–деформированном состоянии длинной оболочки обречено на неуспех из–за неустранимой в рамках теории упругости неустойчивости вычислений, порождаемой малыми геометрическими параметрами. Справиться с нею удается лишь путем введения в теорию упругости дополнительных предположений, в той или иной мере ограничивающих деформирование оболочки в направлении этих параметров.

Будем предполагать, что стрингеры работают только на растяжение–сжатие, причем их упругие линии, принадлежащие срединной поверхности оболочки, деформируются так, как это предписывает обсуждаемая ниже ее (оболочки) модель. В таком случае стрингеры в поперечном сечении оболочки можно рассматривать как дополнительные сосредоточенные площади на контуре поперечного сечения, которые участвуют наряду с оболочкой в восприятии нормальных напряжений.

В дальнейшем нам не раз придется интегрировать по площади поперечного сечения стрингерной оболочки, представляющей собой кусочно-непрерывную функцию длины дуги контура поперечного сечения. С этой целью удобно воспользоваться интегралом Стилтьеса. Поясним его смысл.

Пусть — функция дуги контура поперечного сечения и пусть

— кусочно непрерывная функция площади поперечного сечения, где — площадь поперечного сечения стрингера , — функция Хевисайда, определяемая равенством

— дельта-функция Дирака, обладающая, напомним, свойствами ()

,

а суммирование осуществляется по тем скачкам, которые попали в область интегрирования (на это указывает тильда над знаком суммы).

Очевидно, что дифференциал равен

Тогда интеграл Стилтьеса определяется так

Малость размеров поперечных сечений оболочки по сравнению с ее длиной позволяет ввести следующие привычные для классической теории стержней (балок) гипотезы:

Гипотеза 1. Поперечные сечения оболочки в своей плоскости недеформируемы.

Гипотеза 2. В осевом направлении (по оси ) оболочка деформируется по закону плоскости.

Гипотеза 3. В поперечном сечении оболочки возникают только нормальные и касательные напряжения, не меняющиеся, как отмечалось, по толщине оболочки, причем последнее напряжение направлено всегда по касательной к контуру поперечного сечения.

Другие напряжения в виду их малости не учитываются.

В силу гипотезы 2, если — осевая деформация, то

и согласно закону Гука для нормального напряжения имеет место формула

(1)

Здесь , , — искомые величины,

где — так называемая редукционная функция по материалу, а — модуль Юнга какого-то материала, за который удобно принимать наиболее распространенный в сечении материал.

Вместо касательного напряжения будем использовать поток касательных сил (ПКС) , связанный с эти напряжением зависимостью

Поиск по сайту: