Теорема Штурма про чередування коренів

Нехай f(x)=P (x)-поліном без кратних коренів. Утворимо послідовність многочленів:

f₀ = f(x);

f₁ =f ' (x);

f_i+1 = - [f_i-1 mod f_i], i=1,…,n-1

- кожний наступний многочлен є залишком від ділення двох попередніх многочленів, взятим з протилежним знаком.

Стверджується, що кількість дійсних коренів полінома f (x) на довільному відрізку [a; b] дорівнює різниці між кількістю змін знаку у цій послідовності при x = a та x = b.

Другий етап передбачає застосування одного з нижченаведених методів до кожного з проміжків, отриманих на першому етапі.

Метод бiсекцiї.
Дано: кiнцi iнтервалу a та b, точнiсть e. На кожному кроцi iнтервал дiлять навпiл:

c:= (a + b) / 2,

та залишають той пiдiнтервал, до якого належить корiнь.

Метод хорд.
Вхiднi данi аналогічні тим, що використовуються методом бісекції. Проводиться сiчна до графiку функції. Точкою перетину її з вiccю абсцис дiлять iнтервал:

c:= (a*f(b) - b*f(a)) / (f(b) - f(a)),

та залишають той пiдiнтервал, до якого належить корiнь.

Рис.1.Графічна інтерпретація методу хорд.

Метод Ньютона (дотичних).
Дано: початкове наближення x_o та точнiсть e. Проводять дотичнi до графiку функції, що дає формулу

x_k+1:= x_k - f(x_k) / f '(x_k).

Рис.2.Графічна інтерпретація методу дотичних.

Перевірка існування кореня на відрізку здійснюється так:

корінь належить відрізку, якщо ,

якщо , то відрізок не містить коренів.

Поиск по сайту: