Приклади розв’язування задач. Задача 12.1 У балоні об’ємом 10 л

Задача 12.1 У балоні об’ємом 10 л. міститься гелій під тиском 1 МПа та при температурі 300 К. Після того як із балона було взято 10 г гелію, температура в балоні знизилася до 290 К. Визначити тиск гелію, що залишився в балоні.

Розв’язання: Скористаємося рівнянням Менделєєва - Клапейрона:

,

де m₂ - маса гелію в балоні в кінцевому стані; М – молярна маса гелію; R - газова стала. Звідси тиск .

Масу m₂ гелію виразимо через масу m₁, що відповідає початковому стану, та масу гелію, взятого з балона: m₂ = m₁ - ∆m.

Масу m₁ гелію знаходимо також з рівняння Менделєєва - Клапейрона:

.

Виразивши m₂ через m₁ і ∆m та підставивши у формулу для р₂, дістанемо:

.

Перевіряємо одиницю вимірювання:

.

Виконуємо обчислення:

.

Задача 12.2. Визначити молярну масу повітря, вважаючи, що вона складається з однієї частини кисню і з трьох частин азоту.

Розв’язання: Ідеальним газом можна вважати не тільки хімічно однорідні гази, а й газові суміші. У цьому випадку суміші приписують так звану уявну молярну масу таким чином, щоб вона задовольняла рівнянню газового стану, записаного для суміші: .

Для розв’язку даної задачі скористаємось законом Дальтона для суміші газів: ,

де і - парціальні тиски кожного газу, для визначення яких запишемо рівняння стану:

.

Розв’язок останніх трьох рівнянь дає

.

З порівняння останнього і першого рівнянь і, вважаючи, що маса суміші , знайдемо

,

звітки маємо

.

Якщо підставити значення величин в одиницях системи СІ і врахувати співвідношення , то отримаємо

кг/моль.

Задача12.3. Визначити кількість молекул, що містяться в 1 мм³ води, і масу молекули води. Вважати, що молекули води мають форму кульок, що зіштовхуються одна з одною. Знайти діаметр молекул.

Розв’язання: Кількість N молекул, що містяться в деякій системі масою m, дорівнює добутку сталої Авогадро N_А на кількість молів v речовин:

N = v·N_А.

Оскільки v = m /М, де М - молярна маса, то .

Визначивши в цій формулі масу як добуток густини на об’єм V, дістанемо:

.

Масу m₁ однієї молекули знаходимо за формулою

m₁ = М /N_A.

Якщо молекули води щільно прилягають одна до одної, то можна вважати, що на кожну молекулу припадає об’єм (кубічна комірка) V ₁ = d³ , де d - діаметр молекули.

^.

Тоді об’єм V ₁ знайдемо, поділивши молярний об’єм V_m на кількість молекул у молі, тобто на N_A:

, де V_m = ,

Тоді V₁ = ; .

Перевіряємо одиниці вимірювання:

.

Виконуємо обчислення:

; ; .

Задача 12.4 Скільки часу необхідно відкачувати газ з колби об’ємом см³ насосом, щоб тиск знизився від атмосферного = 760 мм рт. ст. до = 0,1 мм рт. ст.? Швидкість дії насосу вважати постійною і рівною = 180 см³/с. Зміною температури під час роботи насосу знехтувати.

Розв’язання: Швидкість дії насоса вимірюється об’ємом газу, який щосекунди переходить з колби в камеру насосу, а потім в атмосферу, тобто

.

Згідно з умовою задачі, відкачування відбувається ізотермічне згідно з законом Бойля – Маріота, в якому маса газу залишається сталою: .

Диференціюємо останній вираз .

Ділимо цей вираз на і, враховуючи перший вираз, маємо

.

Отримане диференційне рівняння виражає залежність тиску в колбі від часу. Поділимо змінні в цьому рівнянні

.

Звідки отримаємо

= 74 с.

Задача 12.5 Знайти середню кінетичну енергію обертального та поступального рухів однієї молекули кисню при температурі 350 К, а також кінетичну енергію всіх молекул кисню масою 4 г.

Розв’язання: На кожен ступінь свободи молекули газу припадає однакове значення середньої кінетичної енергії

,

де к - стала Больцмана; Т - термодинамічна температура газу.

Обертальному руху двохатомної молекули (молекула кисню - двохатомна) відповідають два ступені, а поступальному - три ступені свободи.

Середня кінетична енергія обертального руху молекули кисню:

Середня кінетична енергія поступального руху молекули кисню:

Загальна середня кінетична енергія молекули кисню:

Кінетична енергія всіх молекул кисню:

Кількість молекул газу:

де N_А - стала Авогадро; - кількість молів газу.

Якщо М - молярна маса газу, то

; .

Оскільки k·N_A = R, остаточно формула для Е_К набирає вигляду

,

де R = 8,31 Дж /(моль·К) - універсальна газова стала.

Перевіряємо одиниці вимірювання:

;

Виконуємо обчислення:

.

.

.

Тема 13. Статистичні розподіли та явища переносу в газах

Основні формули

Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газу для тиску

, (13.1)

де m₀ – маса однієї молекули газу, n – концентрація молекул.

Середня квадратична, середня арифметична і найбільш імовірна швидкості молекул

. (13.2)

Розподіл Максвелла

, (13.3)

або

, (13.3а)

де - кількість молекул, швидкості яких лежать в інтервалі від до ; - загальна кількість молекул; - відносна швидкість молекул.

Барометрична формула

, (13.4)

де і — тиск газу відповідно на висоті і .

Розподіл Больцмана

, (13.5)

де — різниця потенціальних енергій частинок (молекул) на двох рівнях довільного потенціального поля, і — концентрації частинок (молекул) на цих рівнях.

Середня довжина вільного пробігу молекул газу

, (13.6)

де — концентрація молекул, — ефективний діаметр молекули.

Середня кількість зіткнень однієї молекули за одиницю часу

. (13.7)

Кількість зіткнень усіх молекул в одиниці об'єму за одиницю часу

. (13.8)

Середня кількість ударів молекул за одиницю часу об одиничну плоску поверхню, розміщену в газі,

. (13.9)

Маса газу , перенесеного під час дифузії за час через плоску поверхню , розміщену перпендикулярно до осі , при градієнті густини вздовж цієї осі (закон Фіка)

, (13.10)

де — коефіцієнт дифузії.

Сила внутрішнього тертя між двома шарами газу площею , що рухаються з різними швидкостями (закон Ньютона),

, (13.11)

де - коефіцієнт динамічної в’язкості; - градієнт швидкості течії газу в перпендикулярному до напрямі. Знак «мінус» вказує на те, що сила тертя, яка діє на більш швидкі шари газу, напрямлена проти швидкості.

Кількість теплоти, яка переноситься внаслідок теплопровідності за час через плоску поверхню при градієнті температури , перпендикулярному до ,

, (13.12)

де — коефіцієнт теплопровідності; - питома теплоємність газу при сталому об'ємі.

Методичні вказівки

1. У кінетичній теорії йдеться про статистичні закономірності в хаотичному русі величезної сукупності молекул газу, тому вживаються декілька середніх швидкостей, які пов’язані залежністю (13.1). Для одного й того ж газу при однаковій температурі маємо = 1,41: 1,60: 1,73.

Середньою квадратичною швидкістю користуються у випадку, коли необхідно розрахувати величину, яка пропорційна квадрату швидкості, наприклад, кінетичну енергію, тиск газу. Середньою швидкістю, коли вона входить у формулу в першому ступені, наприклад, середня кількість зіткнень молекули в одиницю часу, середній час пробігу, середній імпульс молекули. Найбільш імовірною швидкістю користуються при розв’язуванні задач, які пов’язані із законом розподілу молекул за швидкостями (13.3).

2. Основне рівняння кінетичної теорії газу (13.1), а також закон Максвелла про розподіл молекул за швидкостями (13.3) використовуються тільки у випадку не дуже стиснутих газів і пару.

Поиск по сайту: