Приклади розв’язування задач. Задача 13.1. Густина суміші азоту та водню при температурі 470 С і тиску 2,00 ат дорівнює 0,30 г/л

Задача 13.1. Густина суміші азоту та водню при температурі 47⁰ С і тиску 2,00 ат дорівнює 0,30 г/л. Визначити концентрацію молекул азоту () і водню () у суміші.

Розв’язання: Концентрацію суміші газів можна визначити з формули (12.7): .

Необхідно мати ще одне рівняння, яке б пов’язувало невідомі і .

Визначимо молярну масу суміші газів з рівняння стану ідеального газу

.

З другого боку молярну масу суміші газів можна визначити з рівняння (12.10) або залучити одержану в задачі (12.2) формулу

.

Порівнюючи праві частини останніх рівнянь, отримаємо

.

Розв’язуючи систему рівнянь, складену з першого і останнього виразу, і виконуючи підстановку даних умови, взятих у необхідних одиницях, повинні отримати:

= 2,4· м^-3, = 4,2·10²⁴ м^-3.

Задача 13.2. Знайти середню квадратичну швидкість молекул газу густиною 1,8 кг/м³, що перебуває під тиском 150 кПа.

Розв’язання: З основного рівняння молекулярно - кінетичної теорії ідеального газу .

Оскільки n - концентрація молекул (тобто кількість молекул в 1 м³ газу), а m₀ - маса однієї молекули, визначимо густину за формулою: .

Тоді ; .

Перевіряємо одиницю вимірювання:

.

Виконуємо обчислення:

.

Задача 13.3 Посудина з газом, яка рухається зі швидкістю , миттєво зупинилась. Наскільки збільшиться при цьому середній квадрат швидкості теплового руху молекул газу у випадках: одноатомного і двохатомного газу?

Розв’язання: Застосуємо закон збереження енергії. Рухаючись зі швидкістю , газ, як ціле, має кінетичну енергію ,

де - маса газу в посудині.

Ця формула визначає кінетичну енергію направленого руху молекул, у якому вони беруть участь разом з посудиною. Після зупинки посудини направлений рух молекул завдяки їхньому зіткненню зі стінками посудини дуже швидко стане хаотичним. Якщо знехтувати теплообміном між газом і стінками посудини за розглядуваний малий проміжок часу, то газ можна вважати замкнутою системою. Тоді, згідно закону збереження енергії, ця кінетична енергія піде на збільшення внутрішньої енергії газу : .

Виконаємо розрахунки внутрішньої енергії газу.

У випадку ідеального одноатомного газу це є енергія поступального хаотичного руху молекул ,

де - маса молекули, - кількість молекул у посудині. Після перетворень та використання поняття середньої квадратичної швидкості отримаємо

.

Звідки випливає, що зміна внутрішньої енергії одноатомного газу під час зупинки буде дорівнювати

.

Звідки випливає, що зміна квадрату середньої квадратичної швидкості дорівнюватиме .

Внутрішня енергія ідеального двохатомного газу складається з енергії поступального і обертального руху молекул. При цьому три ступеня вільності припадає на поступальний рух і два – на обертальний. Згідно принципу рівномірного розподілу кінетичної енергії молекул за ступенями вільності, введеного Максвеллом у статистичну фізику, три п’ятих кінетичної енергії піде на збільшення енергії поступального руху молекул і дві п’ятих – на збільшення їхнього обертального руху. Таким чином одержуємо

,

звідкіля отримаємо другу відповідь: .

Задача 13.4 Яка частина молекул водню, що знаходиться при температурі T, володіє швидкостями, відмінними від найімовірнішої швидкості не більш ніж на 5,0 м/с? Задачу вирішити для двох значень : 1) 400 К, 2) 900 К.

Розв’язання: Розподіл молекул за швидкостями виражається рівнянням (13.3а), справедливим при умові . Оскільки в задачі йдеться про найімовірнішу швидкість, треба вважати

Отже, і рівняння (13.3а) набуде простішого вигляду:

.

Звідси знайдемо ту частину молекул, відносні швидкості яких лежать в інтервалі :

. (1)

Перш ніж проводити розрахунки по (1), необхідно переконатися в тому, що виконується умова . Оскільки , то

(2)

Щоб обчислити по (2), знайдемо спочатку найімовірнішу швидкість за формулою (13.2) при = 400 К і = 900 К відповідно: = 1820 м/с, = 2730 м/с.

Підставляючи ці значення в (2) і маючи на увазі, що = 10 м/с, оскільки в задачі йдеться про швидкості, що лежать в інтервалі від - 5 м/с до + 5,0 м/с, отримаємо: = 1/182, = 1/273.

Оскільки = 1, бачимо, що умова виконується для обох температур. Тепер за формулою (1) знайдемо відповіді:

= 0,0046, = 0,0030.

Примітка. Отже, при збільшенні температури найімовірніша швидкість молекул збільшується, а кількість молекул, швидкості яких лежать в одному і тому ж інтервалі біля найімовірнішої, зменшується.

Задача 13.5 Знайти кількість зіткнень, які відбуваються протягом секунди між всіма молекулами, що знаходяться в об'ємі = 1,0 мм³ водню за нормальних умов. Прийняти для водню ефективний діаметр молекули = 2,3·10^{-10 м.}

Розв’язання: Кількість зіткнень, здійснених однією молекулою за секунду, визначається формулою (13.7). Щоб встановити співвідношення між величинами і z, врахуємо, що якщо помножити кількість зіткнень однієї молекули за секунду на кількість усіх молекул N, то отримаємо результат, що перевищує в два рази шукане число z. Дійсно, в одному зіткненні беруть участь відразу дві молекули, тому в число N кожне зіткнення входить двічі: один раз за рахунок зіткнень однієї з молекул даної пари, інший раз - за рахунок зіткнень другої молекули. Отже, правильним буде вираз

(1)

де п — концентрація молекул. Підставивши в (1) замість його значення по (13.7), отримаємо

.

Знайдемо з формули (12.7) концентрацію п молекул і скористаємося виразом (13.2) для середньої арифметичної швидкості . Тоді остаточно для маємо

.

Виразимо величини, що входять у формулу, в одиницях СІ: V = 1,0·10^-9 м³, р = 1,0·10⁵ Па, Т = 273 К = 2,0·10^-3 кг/моль, = 1,38·10^-23 Дж/К, R = 8,31 Дж/(моль·К). Підставивши ці значення у формулу і виконавши обчислення, отримаємо = 1,6·10²⁶ 1/с.

Задача 13.6. Супутник зв'язку об'ємом 50 м³ наповнений при нормальних атмосферних умовах сумішшю азоту і гелію, причому = . Корпус супутника пробиває космічна частинка діаметром 1 мм. Оцінити склад газу, що витікає через отвір, а також час, протягом якого кількість молекул азоту і гелію окремо зменшиться на 0,1%. Процес вважати ізотермічним.

Розв’язання: Через повну хаотичність руху молекул у напрямі отвору буде переміщуватися 1/6 усіх молекул. Будемо вважати, що швидкість усіх молекул одного сорту однакова і, згідно з формулою (13.1), дорівнює

. (1)

За час з отвору вилетять ті молекули азоту, які перебували на відстані , і ті молекули гелію, які перебували на відстані .

Через отвір, площа якого , вилетять ті молекули азоту, що знаходилися в об'ємі , і молекули гелію, які знаходилися в об'ємі .

Кількість молекул азоту і гелію в одиниці об'єму (концентрація) дорівнює:

; . (2)

Кількість молекул різного сорту, які вилетять через отвір за час :

; .

Відношення цих кількостей молекул, після використання формул (1) і (2) дорівнює

= 19.

Отже, з отвору вилітає газ у співвідношенні: на 19 молекул гелію припадає одна молекула азоту. За час частина молекул гелію вилітає із супутника і їхня кількість в одиниці об'єму зменшиться на .

Відносне зменшення, згідно з умовою, становитиме

.

Звідси, після підстановки відомих величин, отримаємо =300 с.

Аналогічно для азоту маємо = 760 с.

Задача 13.7. Обчислити коефіцієнти внутрішнього тертя і дифузії кисню, який перебуває під тиском 0,2 МПа і при температурі 280 К. Ефективний діаметр молекули кисню вважати таким, що дорівнює 2,9·10^{-10 м}.

Розв’язання: Відповідно до молекулярно-кінетичної теорії газів коефіцієнт дифузії та коефіцієнт внутрішнього тертя визначаємо за формулами:

; ; ,

де - середня довжина вільного пробігу молекул; - середня арифметична швидкість молекул; - густина газу.

Середня арифметична швидкість та середня довжина вільного пробігу молекул визначаються за формулами:

; ,

де R - універсальна газова стала; n - концентрація молекул.

Згідно з основним рівнянням молекулярно - кінетичної теорії .

Тоді .

Підставляючи вирази для і у формулу для визначення D, дістаємо:

.

Густина кисню = nm_о, де маса однієї молекули, N_A =6.02·10²³ моль^-1.

Коефіцієнт внутрішнього тертя:

.

Перевіряємо одиниці вимірювання:

;

.

Виконуємо обчислення:

;

.

14 - 15. Основи термодинаміки. Перший и другий початок (або закон) термодинаміки.

Основні формули

Перший закон термодинаміки

, (14.1)

де - елементарна кількість теплоти, що підводиться до термодинамічної системи; - зміна внутрішньої енергії системи; - робота, виконувана системою проти зовнішніх сил при нескінченно малій зміні об’єму.

Зміна внутрішньої енергії ідеального газу

, (14.2)

де - зміна температури; - молярна теплоємність (кількість теплоти, яка необхідна для нагрівання одного молю речовини) газу при ізохорному процесі; - кількість ступенів вільності молекул газу.

Молярна теплоємність газу при ізобарному процесі (рівняння Майєра) молярна теплоємність газу при

. (14.3)

Молярна теплоємність суміші газів, яка складається з компонентів

. (14.4)

Питома теплоємність вимірюється кількістю теплоти, яка необхідна для нагрівання одиниці маси речовини на один кельвін

. (14.5)

Зв’язок між питомою і молярною теплоємкостями

. (14.6)

Робота, виконувана газом при ізобарному процесі

. (14.7)

Робота при ізотермічному процесі

. (14.8)

Рівняння адіабатного процесу (рівняння Пуассона)

, або , або , (14.9)

де — показник адіабати.

Робота при адіабатному процесі

, (14.10)

або

. (14.10а)

Рівняння політропного процесу

, (14.11)

де — показник політропи; — молярна теплоємність газу при політропному процесі.

Робота при політропному процесі

, (14.12)

або

. (14.13)

Другий початок термодинаміки: ентропія ізольованої системи тіл може або зростати, або залишатися незмінною. Інакше кажучи, в ізольованій системі можуть відбуватися лише такі процеси, які ведуть до зростання ентропії, до вирівнювання температур.

Коефіцієнт корисної дії (ККД) теплової машини

, (15.1)

де — кількість теплоти, яку дістає робоче тіло від нагрівника; — кількість теплоти, яка передається робочим тілом холодильнику. ККД ідеального циклу Карно

, (15.2)

де — температура нагрівача; — температура холодильника.

Холодильний коефіцієнт холодильної машини

, (15.3)

де — кількість теплоти, яка відбирається від охолоджуваного тіла за цикл; - робота, виконувана над робочим тілом за цикл; - кількість теплоти, яка передається навколишньому середовищу.

Холодильний коефіцієнт ідеального, оберненого циклу Карно

, (15.4)

де - температура середовища, якому передається теплота; - температура охолоджуваного тіла.

Приріст ентропії при переході термодинамічної системи із стану 1 у стан 2

. (15.5)

Ентропія і термодинамічна ймовірність (статистична вага) пов'язані співвідношенням , де - стала Больцмана.

Методичні вказівки

1. Приступаючи до вирішення задачі з даної теми, перш за все необхідно з'ясувати характер процесу, що протікає в газі (зрозуміло, якщо про це не сказано в умові). Як правило, це не викликає труднощів у разі изохорного (V = const) або ізобарного (p = const) процесу.

Для здійснення ізотермічного процесу ( = const) розширення або стиснення газу необхідний достатній теплообмін між газом і навколишнім середовищем. Цьому сприяють велика теплопровідність стінок посудини, в якій знаходиться газ, і повільне протікання процесу. Навпаки, умовою адіабатичного процесу розширення або стиснення газу є відсутність теплообміну між газом і навколишнім середовищем. Ця умова на практиці виконується тим точніше, чим менше теплопровідність стінок посудини, що містять газ, і чим швидше протікає процес.

2. В ізохорному та ізобарному процесах кількість теплоти, отримана газом, завжди пов'язана із зміною його температури:

,

де = при ізохорному процесі і С = Ср при ізобарному (при цьому Ср > ). Оскільки обидві мольні теплоємності Ср і — величини позитивні, знаки приростів dQ і dT завжди співпадають. Отже, при нагріванні (dT > 0) газ одержує тепло (dQ > 0) і, навпаки, при охолоджуванні (dT < 0) газ віддає тепло (dQ < 0).

Разом з тим при ізотермічному та адіабатичному процесах не існує зв'язку між приростом температури газу і кількістю теплоти, надоної їм, із тієї причини, що в першому процесі відсутня зміна температури (dT = 0), хоча газ при цьому одержує або віддає тепло. А в другому процесі, навпаки, газ не одержує і не віддає тепла (dQ = 0), хоча при цьому змінюється його температура.

3. Тут розглянуті задачі, пов'язані зі зворотнім циклом Карно, і задачі на розрахунок зміни ентропії. В останніх використовуються найважливіші властивості ентропії: 1) ентропія є функцією стану; 2) ентропія складної системи дорівнює сумі ентропій її частин (властивість аддитивності).

4. Розраховувавши зміну ентропії тіла, слід пам’ятати, що тут означає кількість теплоти, отриману тілом. Тому, якщо тіло віддає тепло, величину , слід ставити в (15.5) із знаком «—».

5. Якщо перехід тіла з початкового стану в кінцевий здійснюється декількома послідовно протікаючими процесами, то повна зміна ентропії, дорівнює сумі алгебри змін ентропії у кожному процесі.

6. Співвідношення (15.5) виражає зміну ентропії тільки у зворотному процесі. Спосіб розрахунку зміни ентропії у незворотному процесі розглянутий у задачі № 14.8.

Поиск по сайту: