АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Потенційна енергія деформації при згинанні

Читайте также:
  1. Дефект маси і енергія зв'язку атомних ядер
  2. Дефект маси ядра. Енергія зв’язку ядра. Питома енергія зв’язку
  3. Деформації в політико-управлінській сфері
  4. Дотичні напруження при поперечному згинанні.
  5. Енергія і спектри молекул
  6. Енергія та робота річок
  7. Енергія ядерної реакції
  8. Нормальні напруження при чистому згинанні.
  9. Порядок виконання проектувального розрахунку при згинанні.
  10. Смена градусів атомів в періодах та групах. Енергія іонізації і спорідненість до електрона, їх зміна в періодах та групах. Електронегативність (ЕН), відносна шкала ЄП.
  11. ТРАВНА СИСТЕМА І ТРАВЛЕННЯ. ОБМІН РЕЧОВИН ТА ЕНЕРГІЯ

Чисте згинання (). Потенційна енергія деформації при чистому згинанні визначається роботою внутрішніх згинальних моментів на кутовому переміщенні перерізу.

Рис. 2.10.

Розглянемо стержень при чистому згинанні (рис.2.10а). Виділимо елемент стержня довжиною (рис.2.10б). При статичному навантаженні нейтральна вісь викривляється по радіусу ρ кола, крайні перерізи повертаються на кут . У межах виконання закону Гука залежність між моментом та кутом повороту при статичному навантаженні лінійна (рис.2.10в). Елементарна робота внутрішніх зусиль визначається площею трикутника, тобто . Але робота чисельно дорівнює потенційної енергії деформації , тобто . З рис.2.10б випливає, що , таким чином, . Кривизна нейтральної осі , тоді . Повна потенційна енергія стержня є інтеграл по довжині стержня:

(2.12)

Поперечне згинання (). Як показують розрахунки для стержнів, у яких відношення довжини до висоти перерізу більше , потенційна енергія деформації від поперечної сили складає від потенційної енергії деформації згинаючого моменту . Тому при визначенні потенційної енергії деформації при згинанні враховується тільки потенційна енергія деформації від згинального моменту , що визначається виразом (2.12).

3. Переміщення при прямому згинанні. Розрахунки на жорсТкість при згинанні.

3.1 Диференціальне рівняння вигнутої осі.

Одержимо диференціальне рівняння вигнутої осі при прямому згинанні (площина дії навантажень збігається з однією з головних осей інерції). Прямолінійна вісь балки під дією зовнішніх навантажень (рис.3.1) перетворюється в плоску гладку криву і називається пружною лінією (вигнутою віссю балки).

Рис.3.1.

Прогин балки - це переміщення центра ваги перерізу по нормалі до первісної осі. Максимальний прогин називається стрілою прогину і позначається f. Кут повороту перерізу - це поворот перерізу щодо первісного положення.

Тангенс кута нахилу дотичної до вигнутої осі є перша похідна від функції : . Для малих кутів () рівняння кутів повороту можна записати у вигляді: .

Диференціальне рівняння вигнутої осі балки одержимо за допомогою рівняння Навье, у якому кривизна нейтральної осі при згинанні визначається, як: . З іншого боку, з курсу аналітичної геометрії відомо, що кривизна плоскої кривої визначається як: . Дорівнявши праві частини цих двох залежностей, одержимо нелінійне диференціальне рівняння відносно прогину :

(3.1)

Для малих переміщень (у межах пружних деформацій), коли, наприклад, , квадратом першої похідної в порівнянні з одиницею можна зневажити. З обліком того, що знаки другої похідної і згинаючого моменту збігаються, одержимо диференціальне рівняння другого порядку, що і називається диференціальним рівнянням вигнутої осі балки для малих переміщень:

. (3.1а)

Послідовно інтегруємо двічі й одержуємо рівняння для кутів повороту та прогинів:

, (3.2)

, (3.3)

де і - довільні постійні інтегрування, що визначаються з граничних умов.

Приклад 1. Розглянемо консольну балку, навантажену на вільному торці зосередженою силою (рис.3.2).

Згинальний момент у перерізі : . Запишемо диференціальне рівняння пружної лінії балки: . Інтегруючи двічі це рівняння, одержимо відповідно до (3.2), (3.3):

 

Рис. 3.2.

 

;

.

Запишемо та виконаємо граничні умови. При кут повороту ,тобто , відкіля: . При прогин ,тобто: , відкіля: .

З урахуванням значень і рівняння пружної лінії та кутів повороту запишуться як:

; .

Найбільші прогин та кут повороту виникають на початку координат при :

, відкіля: ;

, відкіля: .

При розрахунках на жорсткість максимальні прогини балок повинні зіставлятися з прогином , що допускається. Тоді умова жорсткості при згинанні консольної балки прийме вигляд:

. (3.4)

Звідси визначається осьовий момент інерції , на підставі чого проектуємо переріз. Прогин, що допускається, вибирається в залежності від відповідальності конструкції з діапазону , де - проліт балки.

Безпосереднє інтегрування диференціального рівняння пружної лінії виявляється громіздким навіть у простих випадках. Тому для визначення переміщень у балках більш прийняті енергетичні методи, що приводять до простих залежностей.

 

3.2 Енергетичні методи визначення переміщень.

Введемо позначення й основні поняття.

Згинальний момент від зовнішнього навантаження позначим як . Згинальний момент від одиничної сили (моменту) - чи . Переміщення (прогин, кут повороту) від зовнішнього навантаження позначається , де перший індекс i зв'язаний з точкою чи напрямком переміщення; другий індекс j зв'язаний з причиною, що викликала переміщення. Лінійне переміщення (прогин) від одиничної сили та кутове переміщення від одиничного моменту позначаємо , де індекс i – точка балки і напрямок переміщення; індекс j - причина, що викликала одиничне переміщення.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)