Геометричний спосіб обчислення інтеграла Максвела-Мора. Спосіб перемножування епюр

Рис. 3.5.

Правило Верещагіна. Використовуючи геометричну інтерпретацію визначення інтегралу як значення площі, інтеграл Мора для визначення переміщень у балках постійного перерізу можна обчислити за допомогою спеціальної операції над епюрами відповідних згинальних моментів.

В результаті одержимо:

, (3.6)

де - площа вантажної (від зовнішнього навантаження) епюри ; - ордината, узята з одиничної епюри під центром ваги вантажної епюри.

Правило знаків. Якщо епюри, що перемножуються, лежать по одну сторону (обидві нагорі або внизу), добуток позитивний; якщо епюри, що перемножуються, лежать по різні сторони - добуток негативний.

Якщо епюра від зовнішнього навантаження кусочно-лінійна на ділянках, а одинична епюра завжди кусочно-лінійна, результат перемножування не залежить від порядку використання співмножників, тобто:

, (3.7)

де - площа епюри від зовнішнього навантаження; - площа епюри від одиничного навантаження; - ордината під центром ваги одиничної епюри, узята з епюри від зовнішнього навантаження.

Якщо епюри і складаються з декількох ділянок, то перемножування здійснюється по ділянках, а результат підсумовується, тобто:

. (3.8)

Відзначимо, що в розглянутих задачах епюри вантажних та одиничних згинальних моментів складаються з досить простих площ: прямокутник, трикутник, параболічний трикутник і т.д. У таблиці приведені площі w та координати центрів ваги z_c плоских фігур, що зустрічаються в епюрах.

При рішенні конкретних задач доцільно використовувати правило трапеції для перемножування лінійних епюр і правило Симпсона-Карнаухова для перемножування будь-яких епюр (у більшості випадків нелінійних).

Рис.3.6.

Правило трапеції (тільки для лінійних епюр – рис.3.6а). У тому випадку, коли на ділянці епюра від зовнішнього навантаження лінійна, перемножування епюр можна виконати за правилом трапеції. Результат перемножування лінійних епюр на ділянці довжиною дорівнює:

.

Правило знаків: якщо ординати, що перемножуються, одного знака (лежать по одну сторону), одержуваний добуток позитивний, якщо знаки ординат різні - добуток негативний.

Правило Симпсона - Карнаухова (для лінійних епюр і епюр, описуваних квадратною параболою-рис.3.6б). Результат добутку наступний:

.

Тут - крайні ординати вантажної епюри (нелінійної) на ділянці; - крайні ординати одиничної епюри (лінійної) на ділянці; і - середні ординати епюр на ділянці. Правило знаків при перемножуванні ординат аналогічно правилу трапеції.

Приклад 3. Для консольної балки, навантаженої зовнішніми силами, як показано на рис.3.7, визначити прогин та кут повороту на кінці консолі в перерізі .

1.Визначаємо опорні реакції.

; .

; .

Перевірка: .

2.Записуємо вирази і , будуємо відповідні епюри.

: ; .

: . Поперечна сила змінює знак при .

.

Рис.3.7.

; .

: ; .

3.У точці прикладаємо одиничну силу, будуємо епюру , визначаючи ординати на границях кожної ділянки.

4.Перемножуючи епюри і , визначаємо шуканий прогин:

Тут на першій ділянці перемножування епюр виконано за правилом Верещагіна; на другій - Симпсона, на третій - трапеції. Знак мінус указує на те, що під дією зовнішнього навантаження переріз переміщується угору.

5.У точці прикладаємо одиничний момент, будуємо епюру . Перемножуючи її по ділянках з вантажною епюрою, визначаємо кут повороту перерізу .

Тут на першій ділянці перемножування виконане за правилом Верещагіна, на другій - Симпсона, на третій - трапеції. Результат обчислень позитивний, отже, напрямок кута повороту перерізу збігається з напрямком одиничного моменту.

3 4. ЗАГАЛЬНІ ВКАЗІВКИ ПО ВИКОНАННЮ РОЗРАХУНКОВО-ПРОЕКТУВАЛЬНИХ РОБІТ

Поиск по сайту: