АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Разные задачи

Читайте также:
  1. I. Постановка задачи маркетингового исследования
  2. I. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ
  3. II. Основные задачи и функции Отдела по делам молодежи
  4. II. Цели и задачи конкурса
  5. V2: Предмет, задачи, метод патофизиологии. Общая нозология.
  6. Б. На отдельной тетради решить контрольные задачи.
  7. Бухгалтерский учет его функции, задачи и принципы.
  8. В-третьих, международная торговля способствует конкуренции на внутренних рынках и позволяет потребителям покупать самые разнообразные товары со всего мира по разумным ценам.
  9. Введение в психологию человек. Определение психологии человека как науки. Задачи и место психологии в системе наук.
  10. Введение. Цели и задачи БЖД
  11. ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА МСС ПРОДУКЦИИ.
  12. Виды бухгалтерского учета, их значение, характеристика и выполняемые задачи.

 

1. Пусть . Доказать неравенство

.

Доказательство. Так как , то . Рассмотрим функцию . Так как при – верно при , то функция является убывающей на промежутке . Следовательно, если , то . Что и требовалось доказать.

2. Доказать, что никакая прямая не может пересекать график функции более чем в двух точках.

Доказательство [ ]. Воспользуемся теоремой Ролля: Если функция , непрерывная на отрезке и дифференцируемая в интервале , принимает на концах этого отрезка равные значения , то в интервале существует точка , такая, что . Геометрически теорема Ролля означает следующее: если крайние ординаты кривой равны, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна оси абсцисс.

 

Если предположить, что графики и имеют три точки пересечения (см. рис.), абсциссы которых обозначим через , то по теореме Ролля внутри интервалов и существуют точки , в которых (сущест-вует касательная, параллельная хорде). Но функция является монотонной (при всех ) и поэтому не может иметь значение, равное , в двух различных точках . Значит, наше предположение неверно, и любая прямая не может пересекать график функции более чем в двух точках. Что и требовалось доказать.

3. Пусть . Доказать, что уравнение

не имеет корней.

Доказательство. Имеем при любых постольку, поскольку – верно. Кроме того, функция убывающая, так как . Поэтому, в силу вышесказанного, получим , что и означает, что данное уравнение корней не имеет. Что и требовалось доказать.

4. Докажите, что .

Доказательство. Запишем неравенство в виде

, где .

Рассмотрим функцию . Найдем ее производную:

при постольку, поскольку при . Следовательно, возрастает при и, значит, справедливы следующие неравенства:

и и .

Так как все части неравенств положительны, то их можно почленно перемножить. Получим

, что и требо-валось доказать.

5. Решить неравенство

.

Решение. Перепишем неравенство в виде:

. Рассмотрим функцию . Ее производная . Следовательно, функция убывает на своей области определения. Наше неравенство можно переписать в виде: , но это возможно, только если , так как в этом случае логарифмическая функция будет убывать.

Ответ: .


Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)