Производные и дифференциалы высших порядков

В математике широко используются производные функции высших порядков. Это оправдывается хотя бы тем, что физический смысл второй производной представляет собой ускорение тела. В самом деле, если вторую производную функции ввести как производную от производной, то есть

,

и учесть, что физический смысл первой производной есть скорость, то вторая производная, очевидно, показывает скорость изменения этой скорости, то есть ускорение.

Аналогично можно ввести понятия третьей, четвертой и так далее производных: , …..

За редким исключением производные высших порядков вычисляются последовательно, то есть для получения пятой производной необходимо вначале найти первую, затем вторую, третью и четвертую производные, и после этого пятую производную.

Пример 1.

, , , …

На примере 1 было показано, как находить старшие производные для явно заданной функции.

Пример 2. Вычислим вторую производную неявной функции

Определим вначале первую производную, дифференцируя обе части равенства по , или

.

Дифференцируем полученное уравнение еще раз

,

тогда

.

После приведения подобных членов

определяем

.

Из полученного выражения можно исключить первую производную, которую определим из ранее полученного уравнения , после приведения подобных членов тогда

.

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить

7.24. , 7.25. .

Определим вторую производную для параметрически заданной функции, для чего выведем необходимую для этого формулу. Ранее была получена формула для первой производной функции , которая имела вид . Дифференцируем обе части равенства по , тогда

.

Итак,

.

Пример. Дана функция . Определить .

В соответствии с полученной формулой находим

, ,

, ,

Очевидно,

.

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить

7.26. , 7.27. , 7.28. .

Дифференциалы высших порядков

По аналогии с производными введем понятие дифференциала второго порядка, обозначив его :

.

Этот дифференциал не обладает инвариантностью формы записи. Покажем это. Очевидно,

.

Если функция простая, то есть, независимая переменная, то аргумент и его приращение никак не связаны между собой, другими словами может быть любым числом из области существования функции тоже, следовательно, при дифференцировании по ведет себя как постоянная тогда

.

Когда функция сложная , имеется связь между ее промежуточным аргументом и его приращением поскольку и , и зависят от . В выражении для производной, а следовательно, и дифференциала появляется второе слагаемое

.

Еще больше дополнительных членов появляется в третьем дифференциале сложной функции и так далее.

§ 7.8. Формула Тейлора

Рассмотрим полученную ранее формулу для приращения дифференцируемой функции . Для точек и она примет вид

, в этом случае и формулу можно привести к виду

.

Таким образом, функцию приближенно с погрешностью можно представить в виде линейной относительно функции , вносимая погрешность является бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с . Возникает вопрос, нельзя ли приближенно представить эту функцию в виде многочлена более высокой степени, если да, то какова погрешность этого представления.

Пусть раз дифференцируемая функция, то есть имеющая производных, предположим, что

,

где остаточный член, показывающий отличие от многочлена ой степени в правой части формулы. Определяем коэффициенты этого многочлена. Полагаем . Тогда при выполнении условия . Дифференцируем эту функцию поочередно раз, тогда

,

,

,

,

……………………………….

.

Подсчитаем вычисленные производные при . При выполнении условий из формулы для первой производной имеем , из формулы для второй производной следует , формула для третьей и четвертой производных приводит к

, ,… .

Подставляем полученные коэффициенты в формулу, в результате

.

Проанализируем, что следует из условий, налагаемых на остаточный член. Из условия следует, что , то есть бесконечно малая при . Поскольку , где ,

,

следовательно, при бесконечно малая, более высокого порядка малости, чем . Совершая аналогичную процедуру с остальными условиями на производные остаточного члена, выясняем, что в вышеприведенной формуле остаточный член при является бесконечно малой, более высокого порядка малости, чем . Тогда

.

Такое представление остаточного члена показывает, что остаточный член есть бесконечно малая, более высокого порядка малости, чем .

Полученная формула используется для приближенного вычисления значения функции с помощью полинома. Имеется несколько вариантов остаточных членов, более приспособленных для установления количества сохраняемых в формуле членов, обеспечивающих наперед заданную точность приближенного вычисления (аппроксимации) функции. Сведения о них имеются в литературе, указанной в списке.

Широко используется частный случай формулы Тейлора – формула Маклорена

,

представляющая разложение функции в окрестности нулевой точки.

Пример 1. Рассмотрим функцию . Нетрудно заметить, что любая производная этой функции равна самой функции, а . В соответствии с формулой Маклорена

.

Пример 2. Рассмотрим функцию . Очевидно, и т.д.

Тогда

и так далее.

Первые члены формулаы Маклорена принимают вид

Поиск по сайту: