АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Условия применимости метода Ньютона и оценки сходимости

Читайте также:
  1. CAPM - модель оценки долгосрочных активов
  2. E. которая не обладает гибкостью и не может адаптировать свои свойства к окружающим условиям
  3. G. Ожидаемые результаты и способы их оценки
  4. I. Базовая модель оценки ценных бумаг.
  5. I. Общие критерии оценки рефератов и их структура
  6. I.6.1.Кризис административно-командной системы в условиях завершения восстановления народного хозяйства после окончания Отечественной войны.
  7. II. Механизмы и условия социализации личности
  8. II. Порядок подготовки, защиты и оценки квалификационной работы
  9. II. Порядок проведения оценки качества звучания.
  10. III. Для углубленной оценки санитарного состояния почвы и способности ее к самоочищению исследуют показатели биологической активности почвы.
  11. III. Третий этап – Работа банка с кредитной заявкой клиента с целью оценки его кредитоспособности.
  12. IV. Требования к условиям реализации основной образовательной программы начального общего образования

 

 

Вопрос о сходимости последовательности, построенной по формуле (4.22), исследован достаточно полно. Чаще всего используется следующие результаты.

 

Теорема 4.3 Пусть сохраняют свой знак на . Тогда для любой точки и удовлетворяющей условию последовательность , построенная по формуле (4.22), сходится к точному значению корня и для погрешности и справедливы оценки:

 

, (4.25)

 

, (4.26)

 

где .

 

С доказательством сходимости последовательности можно ознакомиться в книгах [5], стр.211-212; [7], стр. 393 – 394 или [10], стр. 239 – 241; вывод формул (4.25) и (4.26) имеется в [5], стр. 207 – 208, вывод формулы (4.25) в [3], стр. 101.

 

Оценка (4.25) позволяет считать метод Ньютона методом второго порядка, а оценка (4.26), являясь апостериорной оценкой погрешности в качестве критерия остановки процесса вычислений. Следовательно, если требуется вычислить значение корня с точностью , то достаточно вести расчет до тех пор, пока

. (4.27)

Как только условие (4.27) перестанет выполняться, процесс прекращают и полагают .

 

К достоинствам метода Ньютона относятся простота, логическая стройность и высокая скорость сходимости ([3], стр. 115).

Однако он имеет и существенные недостатки ([3], стр. 115).

1) Метод Ньютона обладает локальной сходимостью, т. к. областью его сходимости является небольшая окрестность корня и, следовательно, важно правильно выбрать начальное приближение , достаточные условия были сформулированы нами в теореме 4.3. Неудачный выбор начального приближения может дать расходящуюся последовательность или привести к аварийному останову, если на очередной итерации .

2) Необходимость вычислять , что сопряжено определенными трудностями в тех случаях, когда нельзя найти аналитическое выражение для производной, а вычислить приближенное значение с высокой точностью достаточно затруднительно ([3], стр. 115).

3) Если же численное значение вблизи корня мало, то процесс вычислений может оказаться долгим.

 

В связи с этим были разработаны различные модификации метода Ньютона. Описания соответствующих алгоритмов и их характеристики можно найти, например, в [3], стр. 116 – 125, в [5], стр. 217 – 226.

 

Кроме того используются и так называемые гибридные методы, с описанием некоторых из которых можно ознакомиться, например, в [5], стр. 227 – 241.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)