Закон больших чисел и предельные теоремы

В главе рассматриваются:

- неравенство Маркова;

- неравенство Чебышева;

- теоремы Чебышева и Бернулли;

- центральная предельная теорема.

Типовые задачи

Пример 6.1

Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течении часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор:

а) превысит 400;

б) будет не более 500.

Решение

а) По условию М (Х) = 300. По формуле (6.1.) Р (Х > 400) ≤ , т.е. вероятность того, что число вызовов превысит 400, будет не более 0,75.

б) По формуле (6.3) Р (Х ≤ 500) ≥ = 0,4, т.е. вероятность того, что число вызовов не более 500, будет не менее 0,4.

Пример 6.2

Сумма всех вкладов в отделение банка составляет 2 млн.руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 тыс.руб., равна 0,6. Что можно сказать о числе вкладчиков?

Решение

Пусть Х – размер случайно взятого вклада, а n – число всех вкладов. Тогда из условия задачи следует, что средний размер вклада М (Х) = тыс.руб. Согласно неравенству Маркова (6.3):

или

Учитывая, что Р (Х ≤ 10) = 0,6, получим , откуда n ≤ 500, т.е. число вкладчиков не более 500.

Пример 6.3

Средний расход воды на животноводческой ферме составляет 1000 л в день, а среднее квадратичное отклонение этой случайной величины не превышает 200 л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000 л, используя:

а) неравенство Маркова;

б) неравенство Чебышева.

Решение

а) Пусть X – расход воды на животноводческой ферме (л). По условию М(Х) = 1000. Используя неравенство Маркова (6.3), получим Р(Х < 2000) > 1*1000/2000 = 0,5, т.е. не менее, чем 0,5.

б) Дисперсия D(X) = а² < 200². Так как границы интервала 0 < X < 2000 симметричны относительно математического ожидания М(Х) = 1000, то для оценки вероятности искомого события можно применить неравенство Чебышева (6.6):

т.е. не менее, чем 0,96. В данной задаче оценку вероятности события, найденную с помощью неравенства Маркова (р ≥ 0,5), удалось уточнить с помощью неравенства Чебышева (Р > 0,96).

Пример 6.4

Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число бракованных среди 2000 деталей находится в границах от 60 до 100 (включительно). Уточнить вероятность того же события с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Объяснить различие полученных результатов.

Решение

По условию вероятность того, что деталь бракованная, равна Р = 1 – 0,96 = 0,04. Число бракованных деталей X - т имеет биномиальный закон распределения, а его границы 60 и 100 симметричны относительно математического ожидания а = М(Х) = пр = 2000*0,04 = 80.

Следовательно, оценку вероятности искомого события

можно найти по формуле (6.6):

,

т.е. не менее чем 0,808.

Применяя следствие (2.13) интегральной теоремы Муавра-Лапласа, получим

,

т.е. вероятность искомого события приближенно равна 0,979.

Полученный результат Р ≈ 0,979 не противоречит оценке, найденной с помощью неравенства Чебышева – Р > 0,808. Различие результатов объясняется тем, что неравенство Чебышева дает лишь нижнюю границу оценки вероятности искомого события для любой случайной величины, а интегральная теорема Муавра–Лапласа дает достаточно точное значение самой вероятности Р (тем точнее, чем больше п), так как она применима лишь для случайной величины, имеющей определенный, а именно – биномиальный закон распределения.

Пример 6.5

Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более трех средних квадратических отклонений (по абсолютной величине) – (правило трех сигм).

Решение

По формуле (6.6), учитывая, что D(X) = σ², получим:

,

т.е. не менее, чем 0,889. Напомним, что для нормального закона правило трех сигм выполняется с вероятностью Р, равной 0,9973, т.е. Р = 0,9973. Можно показать, что для равномерного закона распределения Р = 1, для показательного – Р = 0,9827 и т.д. Таким образом, правило трех сигм (с достаточно большой вероятностью его выполнения) применимо для большинства случайных величин, встречающихся на практике.

Пример 6.6

По данным примера 2.8 с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине).

Решение

Полагая п = 1000, р = 0,87, q = 0,13, по формуле (6.7):

т.е. не менее, чем 0,929.

Замечание

Если математическое ожидание М(Х) > А или дисперсия случайной величины D(X) > е², то правые части неравенств Маркова и Чебышева в форме соответственно (6.3) и (6.6) будут отрицательными, а в форме (6.1) и (6.4) будут больше 1. Это означает, что применение указанных неравенств в этих случаях приведет к тривиальному результату: вероятность события больше отрицательного числа либо меньше числа, превосходящего 1. Но такой вывод очевиден и без использования данных.

Пример 6.7

Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения ламп во всей партии не более чем на 5 ч (по абсолютной величине), если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7 ч.

Решение

Пусть X_i – продолжительность горения электролампы, взятой из i -го ящика (ч). По условию дисперсия D(X_i) < 7² = 49. Очевидно, что средняя продолжительность горения отобранных ламп равна (X₁+X₂+...+X₂₀₀)/200, а средняя продолжительность горения ламп во всей партии (М(Х₁) + M(X₂) +...+M(X₂₀₀))/200=(a₁+a₂+...+a₂₀₀)/200.

Тогда вероятность искомого события по формуле (6.12):

,

т.е. не менее, чем 0,9902.

Пример 6.8

Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более, чем на 1 (по абсолютной величине), если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 5?

Решение

Пусть Xi – результат i -го измерения (i = 1,2,...,n); а – истинное значение величины, т.е. M(Xj) = a при любом i. Необходимо найти п, при котором

В соответствии с (6.12) данное неравенство будет выполняться, если

, откуда и ,

т.е. потребуется не менее 500 измерений.

Задания

6.1. Среднее изменение курса акции компании в течение одних биржевых торгов составляет 0,3%. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более, чем на 3%.

6.2. Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов день. Оценить вероятность того, что сегодня в отделении банка будет обслужено:

а) не более 200 клиентов,

б) более 150 клиентов.

6.3. Электростанция обслуживает сеть на 1600 электроламп, вероятность включения каждой из которых вечером равна 0,9. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число ламп, включенных в сеть вечером, отличается от своего математического ожидания не более чем на 100 (по абсолютной величине). Найти вероятность того же события, используя следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

6.4. Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,08. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.

6.5. Среднее значение длины детали 50 см, а дисперсия – 0,1. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не менее 49,5 и не более 50,5 см. Уточнить вероятность того же события, если известно, что длина случайно взятой детали имеет нормальный закон распределения.

6.6. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более двух средних квадратических отклонений (по абсолютной величине).

6.7. В течение времени t эксплуатируются 500 приборов. Каждый прибор имеет надежность 0,98 и выходит из строя независимо от других. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что доля надежных приборов отличается от 0,98 не более чем на 0,1 (по абсолютной величине).

6.8. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 2000 студентов заключена в границах от 0,66 до 0,74.

6.9. Бензоколонка N заправляет легковые и грузовые автомобили. Вероятность того, что проезжающий легковой автомобиль подъедет на заправку, равна 0,3. С помощью неравенства Чебышева найти границы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,79, находится доля заправившихся в течение 2 ч легковых автомобилей, если за это время всего заправилось 100 автомобилей.

6.10. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона – безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10 000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9 до 11% (включительно).

6.11. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70% числа заложенных яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, ожидать, что отклонение числа вылупившихся цыплят от математического ожидания их не превышало 50 (по абсолютной величине)? Решить задачу с помощью:

а) неравенства Чебышева;

б) интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

6.12. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,1 не более чем на 0,01 (по абсолютной величине). Уточнить ответ с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра – Лапласа.

6.13. В целях контроля из партии в 100 ящиков взяли по одной детали из каждого ящика и измерили их длину. Требуется оценить вероятность того, что вычисленная по данным выборки средняя длина детали отличается от средней длины детали во всей партии не более чем на 0,3 мм, если известно, что среднее квадратическое отклонение не превышает 0,8 мм.

6.14. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0,03?

ГЛАВА

Поиск по сайту: