|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Многомерные случайные величиныВ главе рассматриваются: - понятие многомерной случайной величины и ее закон распределения; - функция распределения многомерной случайной величины; - плотность вероятности двумерной случайной величины; - ковариация и коэффициент корреляции. Типовые задачи
Пример 5.1 Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y) задан в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Найти: а) законы распределения одномерных случайных величин X и Y; б) условные законы распределения случайной величины X при условии Y = 2 и случайной величины Y при условии X = 1; в) вычислить P(Y< X). Решение а) Случайная величина X может принимать значения: Х = 1 с вероятностью P1 = 0,10 + 0,25 + 0,30 + 0,15 = 0,8; X = 2 с вероятностью P2 = 0, 10 + 0,05 + 0,00 + 0,05 = 0,2, т.е. ее закон распределения
Аналогично закон распределения
б) Условный закон распределения Х при условии, что Y = 2. получим, если вероятность pij, стоящие в последнем столбце табл.5.2, разделим на их сумму, т.е. p (Y = 2) = 0,2. Получим
Аналогично для получения условного закона распределения Y при условии Х = 1 вероятности pij, стоящие в первой строке табл. 5.2, делим на их сумму, т.е. на p (X = 1) = 0,8. Получим
в) Для нахождения вероятностей Р (Y < Х) складываем вероятности событий pij из табл. 5.2, для которых yj < хi. Получим Р (Y < Х) = 0,10 + 0,25 + 0,10 + 0,05 + 0,00 = 0,5
Пример 5.2 Двумерная случайная величина распределена равномерно в круге радиуса R = 1 (рис. 5.5). Определить: а) выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X, У); б) плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих X и Y; в) вероятность того, что расстояние от точки (X, Y) до начала координат будет меньше 1/3. Решение а) По условию Постоянную С можно найти из соотношения (5.18): Проще это сделать, исходя из геометрического смысла соотношения (5.18), означающего, что объем тела, ограниченного поверхностью распределения φ (х, у) и плоскостью Оху, равен 1. В данном случае, это объем цилиндра с площадью основания πR2 = π*12 = π и высотой С (рис. 5.6), равный п*С = 1, откуда С = 1/π. Следовательно, Найдем функцию распределения F (x, y) по формуле (5.17): (5.21) Очевидно, что этот интеграл с точностью до множителя 1/π совпадает с площадью области D – области пересечения круга с бесконечным квадрантом левее и ниже точки M (x, y) (рис.5.7). Опустим расчеты интеграла (5.21) для различных х и у,но отметим очевидное, что при x ≤ -1, -∞ < y < ∞ или при -∞ < х < ∞, у < - 1 F(x,y) = 0, так как в этом случае область D – пустая, а при x >1, у > 1 F (х,у) = 1, так как при этом область D полностью совпадает с кругом х2 + у2 < 1, на котором совместная плотность φ(х,у) отлична от нуля. б) Найдем функции распределения одномерных составляющих X и Y. По формуле (5.19) при -1< х < 1 Итак, Аналогично Найдем плотности вероятности одномерных составляющих Х и Y. По формуле: График плотности φ1 (х) показан на рис. 5.8. Аналогично в) Искомую вероятность , т.е. вероятность того. Что случайная точка (X,Y) будет находится в круге радиуса R1 = 1/3 (см. рис. 5.5), можно было найти по формуле: , но проще это сделать, используя понятие «геометрической вероятности», т.е.
Пример 5.3 По данным примера 5.3 определить: а) условные плотности случайных величин X и У; б) зависимы или независимы случайные величины X и Y; в) условные математические ожидания и условные дисперсии. Решение а) Найдем условную плотность φy (x) по формуле (5.22), учитывая, что φ2 (y) ≠ 0.
График φy (x) при y = 1/2 показан на рис. 5.11. Аналогично б) X и Y – независимые случайные величины, так как φ (x, y) ≠ φ1 (x) φ2 (y) или φy (x) ≠ φ1 (x), φх (y) ≠ φ2 (y). в) Найдем условное математическое ожидание Mx (Y), учитывая, что . Аналогично Этот результат очевиден в силу того, что круг x2 + y2 ≤ 1 (рис.5.5) симметричен относительно координатных осей. Таким образом, линия регрессии Y по X совпадает с осью Ох (Мх (Y) = 0), а линия регрессии X по Y – с осью Оу (Му (Х) = 0). Найдем условную дисперсию Dx (Y): (Тот же результат можно получить проще – по формуле дисперсии равномерного закона распределения: ) Аналогично Таким образом, по мере удаления от начала координат дисперсия условных распределений уменьшается от 1/3 до 0.
Пример 5.4 По данным примера 5.2 определить ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин Х и Y. Решение В примере 5.2 были получены следующие законы распределения одномерных случайных величин:
и
Найдем математические ожидания и средние квадратические отклонения этих случайных величин: , , Для нахождения математического ожидания M(XY) произведения случайных величин X и Y можно было составить закон распределения произведения двух дискретных случайных величин (с вероятностями его значений из табл. 5.2), а затем по нему найти M(XY) Закон распределения (XY) имеет вид:
Но делать это вовсе не обязательно. M(XY) Можно найти непосредственно по табл. 5.2 распределения двумерной случайной величины (X,Y) по формуле: , где двойная сумма означает суммирование по всем nm клеткам таблицы (n – число строк, m – число столбцов): Вычислим ковариацию Kxy по формуле: Kxy = – axay = 0,5-1,2*0,5 = -0,1. Вычислим коэффициент корреляции ρ по формуле: т.е. между случайными величинами X и Y существует отрицательная линейная зависимость; следовательно, при увеличении (уменьшении) одной из случайных величин другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться (увеличиваться).
Пример 5.5 По данным примера 5.3 определить: а) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y; б) коррелированы или некоррелированы эти случайные величины. Решение а) Вначале найдем математические ожидания ах= М{Х) и ay= M(Y) по формулам: Аналогично ау = 0 (то, что ах = ау = 0, очевидно из соображения симметрии распределения в круге, из которой следует, что центр его массы лежит в начале координат). По формуле (5.34) ковариация: Соответственно коэффициент корреляции . б) Так как р = 0, то случайные величины X и Y некоррелированы. Убеждаемся в том, что из некоррелированности величин еще не вытекает их независимость.
Пример 5.6 Найти плотность вероятности случайной величины Y = 1- X 3, где случайная величина X распределена по закону Коши с плотностью вероятности . Решение По условию y = f (x) = 1- x 3, откуда . Производная (по абсолютной величине): . Плотность вероятности:
Пример 5.7 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = 2-3 sinX, если плотность вероятности случайной величины X есть φ (х) = cosX на отрезке [-π/2, π/2]. Решение По формуле (5.57) Дисперсия D(Y) = M(Y2) – : .
Пример 5.8 Найти закон распределения суммы двух случайных величин, распределенных равномерно на отрезке [0; 1]. Решение Пусть Z = X+Y, где φ1 (x)= 1 при 0 ≤ х ≤ 1 и φ2(у) = 1 при 0 ≤ у ≤1. По формуле (5.49) плотность вероятности: Если z < 0, то для 0 ≤ x ≤ 1 z - x < 0; если z > 2, то для 0 ≤ x ≤ 1 z - x > 1, следовательно, в этих случаях φ2 (z - x) = 0 и φ (z) = 0. Пусть 0 ≤ z ≤ 2. Подынтегральная функция φ2 (z - x) будет отлична от нуля только для значений х, при которых 0 ≤ z - x ≤ 1 или, что то же самое, при z -1 ≤ x ≤ z. Если 0 ≤ z ≤ 1, то . Если 1 ≤ z ≤ 2, то . Объединяя все случаи, получим: (5.60) Закон распределения (5.60) называется законом распределения Симпсона или законом равнобедренного треугольника (рис. 5.16). Вычисление φ(z) можно было провести и иначе: вначале найти функцию распределения F(z), а затем – ее производную, т.е. φ(z) = F' (z). Преимущество такого подхода состоит в возможности использования геометрической интерпретации функции F (z) как площади SD области D – части квадрата (со стороной, равной 1), лежащей левее и ниже прямой у = z - х (рис. 5.17).
Действительно (см. рис. 5.17), при 0 ≤ z ≤1 SD = z2/2 (площадь заштрихованного треугольника со стороной z), а при 1 ≤ z ≤ 2 SD = 1 - (2 - z)2/2 (площадь квадрата без площади незаштрихованного треугольника, сторона которого, как нетрудно показать, равна (2 – z). Следовательно, и выражение (5.60) для φ(z) получается дифференцированием F(z). Задания
5.1. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X,Y) задан в табл. 5.3. Таблица 5.3
Найти: а) законы распределения одномерных случайных величин Х и Y; б) условные законы распределения случайной величины X при условии Y = 2 и случайной величины Y при условии Х = 1; в) вероятность P(Y > X). 5.2. Рассматривается двумерная случайная величина (X,Y), где X – поставка сырья, Y – поступление требования на него. Известно, что поступление сырья и поступление требования на него могут произойти в любой день месяца (30 дней) с равной вероятностью. Определить: а) выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (Х,У), б) плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих X и Y; в) зависимы или независимы X и Y; г) вероятности того, что поставка сырья произойдет до и после поступления требования. 5.3. Двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри квадрата R с центром в начале координат. Стороны квадрата равны корень2и составляют углы 45° с осями координат. Определить: а) выражение совместной плотности двумерной случайной величины (X,Y); б) плотности вероятности одномерных составляющих X и Y; в) их условные плотности; г) зависимыили независимы Х и Y. 5.4. Даны плотности вероятности независимых составляющих двумерной случайной величины (X,Y):
Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины. В примерах 5.14–5.16 определить: а) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y, б) коррелированы или некоррелированы эти случайные величины. 5.5. Использовать данные примера 5.10. 5.6. Использовать данные примера 5.11. 5.7. Использовать данные примера 5.12. 5.8. Случайная величина X распределена на всей числовой оси с плотностью вероятности φ (х) = 0,5е-│Х│. Найти плотность вероятности случайной величины Y = X2 и ее математическое ожидание. 5.9. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону, т.е. N (0,1). 5.10. Двумерная случайная величина определяется следующим образом. Если при подбрасывании игральной кости выпадает четное число очков, то Х = 1, в противном случае X = 0; Y = 1, когда число очков кратно трем, в противном случае Y=0. Найти: а) законы распределения двумерной случайной величины (X, Y) и ее одномерных составляющих; б) условные законы распределения Х и Y. 5.11. Двумерная случайная величина (X, Y) распределена с постоянной совместной плотностью внутри квадрата ОАВС, где O(0;0), A(0;1), B(1;1), С(1;0). Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X, Y). 5.12. Поверхность распределения двумерной случайной величины (X, Y) представляет прямой круговой конус, основанием которого служит круг с центром в начале координат и с радиусом 1. Вне этого круга совместная плотность двумерной случайной величины (X, Y) равна нулю. Найти выражения совместной плотности φ (х, у), плотностей вероятностей одномерных составляющих φ1 (x), φ2 (y), условных плотностей φx (y), φy (x). Выяснить, являются ли случайные величины X и Y. зависимыми; коррелированными. 5.13. Двумерная случайная величина (X, Y) распределена по закону Найти: а) коэффициент А; б) вероятность попадания случайной величины (X, Y) в пределы квадрата, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину 2. Установить, являются ли величины X и Y зависимыми; найти φ1 (х), φ2(y). 5.14. Совместная плотность двумерной случайной величины (X, У) имеет вид Найти: а) постоянную С; б) плотности вероятности одномерных составляющих; в) их условные плотности; г) числовые характеристики ах, ау, D(Х), D(Y), ρ. 5.15. Найти совместную плотность двумерной случайной величины (X, Y) и вероятность ее попадания в область D – прямоугольник, ограниченный прямыми х = 1, х = 2, у = 3, у = 5,если известна ее функция распределения (X, Y):
5.16. Задана совместная плотность двумерной случайной величины (X, Y): . Найти функцию распределения F (x, y). 5.17. Имеются независимые случайные величины X и Y. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами ах = 0, . Случайная величина Y распределена равномерно на интервале (0;1). Найти выражения совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X, Y). 5.18. Совместная плотность двумерной случайной величины (X, Y) задана формулой:
Найти ax, ay, , , ρ. 5.19. Независимые случайные величины X, Y распределены по нормальным законам с параметрами ax = 2, ay = -3, = 1, = 4. Найти вероятности событий: а) (X < ax)(Y < ay); б) Y < X -5; в)(│ X │< 1)(│ Y │< 2). 5.20. Задана плотность вероятности φ (х) случайной величины Х, принимающей только положительные значения. Найти плотность вероятности случайной величины Y, если: а) Y = e-x; б) Y = ln X; в) Y = X 3; г) Y = 1/ X 2; д) Y = . 5.21. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-π/2; π/2). Найти плотность вероятности случайной величины Y = sin X. 5.22. Случайная величина распределена по закону Релея с плотностью вероятности
Найти закон распределения случайной величины Y = . 5.23. Случайная величина Х распределена по закону Коши с плотностью вероятности . Найти плотность вероятности обратной величины Y = 1/ X. 5.24. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y= 2х 5.25. Имеются две случайные величины X и Y, связанные соотношением Y = 2 – ЗХ. Числовые характеристики случайной величины X заданы ах= -1; D(X) = 4. Найти: а) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y; б) ковариацию и коэффициент корреляции случайной величин Х и Y. 5.26. Случайная величина X задана плотностью вероятности φ(x) = cosx в интервале (0, π/2); вне этого интервала φ(x) = 0. Найти математическое ожидание случайной величины Y= X2. 5.27. Случайная величина X распределена с постоянной плотностью вероятности в интервале (1;2) и нулевой плотностью вне этого интервала. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = 1 /x 5.28. Непрерывная случайная величина X распределена в интервале (0;1) по закону с плотностью вероятности Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y= X2. 5.29. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром Х = 2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y= e-X. 5.30. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами а = 0, σ 2 = 5. Найти математическое ожидание случайной величины Y =1 - ЗХ2 + 4Х3. 5.31. Имеются две независимые случайные величины X и Y. Величина X распределена по нормальному закону с параметрами ах= 1, = 4. Величина Yраспределена равномерно в интервале (0;2). Найти: а) М(Х - У), D(Х - Y); б) M(X2), M(Y2). ГЛАВА Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.041 сек.) |