Случайные величины

В главе рассматриваются:

- понятие случайной величины, непрерывной случайной величины;

- закон распределения дискретной случайной величины;

- математическое ожидание дискретной случайной величины;

- дисперсия дискретной случайной величины;

- функция распределения случайной величины;

- плотность вероятности;

- мода, медиана, квантили и моменты случайных величин.

Типовые задачи

Пример 3.1

По многолетним статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной величины X – числа мальчиков в семье из 4 детей. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение

Число мальчиков в семье из п = 4 представляет случайную величину Х смножеством значений X= т = 0, 1, 2, 3, 4, вероятности которых определяются по формуле Бернулли:

, где q = 1-p

В нашем случае n = 4, p = 0,515, q = 1-p = 0,485

Вычислим

;

;

;

;

.

(Здесь учтено, что = 1, = 4, , , = 1)

Ряд распределения имеет вид

Убеждаемся, что

Математическое ожидание М{Х) и дисперсию D(X)можно найти, как обычно, по формулам (3.3) и (3.11). Но в данном случае, учитывая, что закон распределения случайной величины X биномиальный, можно воспользоваться простыми формулами (4.2) и (4.3):

M(X) = np = 4*0,515 = 2,06,

D(X) = npq = 4*0,515*0,485 = 0,999.

Пример 3.2

Радист вызывает корреспондента, причем каждый последующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что корреспондент примет вызов, равна 0,4. Составить закон распределения числа вызовов, если:

а) число вызовов не более 5;

б) число вызовов не ограничено.

Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение:

а) Случайная величина X – число вызовов корреспондента – может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5. Обозначим событие Ai – i -й вызов принят (i = 1, 2, 3, 4, 5). Тогда вероятность того, что первый вызов принят, P(X=1)=P(A₁)=0,4.

Второй вызов состоится лишь при условии, что первый вызов не принят, т.е.

Аналогично

Пятый вызов при любом исходе (будет принят, не принят) I последний. Поэтому

(Вероятность Р(Х=5) можно найти и иначе, учитывая, что последний вызов будет или принят, или нет, т.е.

)

Ряд распределения случайной величины X имеет вид

Проверяем, что

По формуле (3.3) вычислим математическое ожидание:

Так как M(X) – нецелое число, то находить дисперсию D(X) проще не по основной формуле (3.11), а по формуле (3.16), т.е. D(X) = M(X²) – а².

Вычислим

Теперь D(X) = 7,2784 – 2,3056² = 1,9626

б) Так как число вызовов не ограничено, то ряд распределения случайной величины Х примет вид

Проверяем, что

(использовали формулу суммы сходящегося (│q│< 1) геометрического ряда: при a = 1, q= 0,6)

По формуле (3.4) вычислим математическое ожидание

Для вычисления суммы полученного ряда воспользуемся формулой:

(т.е. сумма данного ряда является производной сходящегося геометрического ряда при│q│=│x│<1). При х = 0,6.

, т.е. M(X) = 0,4*6,25 = 2,5

По формуле (3.12) вычислим дисперсию: D(X) = M(X²) – a².

Вначале найдем

Для вычисления суммы полученного ряда рассмотрим сумму ряда

S₁(x) при │х│< 1:

S₁(x) при х = 0,6:

, т.е. M(X²) = 0,4*25=10

Теперь D(X) = 10-2,5² = 3,75.

Пример 3.3

Среди 10 изготовленных приборов 3 неточных. Составить закон распределения числа неточных приборов среди взятых наудачу четырех приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение

Случайная величина X – число неточных приборов среди четырех отобранных – может принимать значения i - 0, 1, 2, 3.

Общее число способов выбора 4 приборов из 10 определяется числом сочетаний . Число способов выбора четырех приборов, среди которых i неточных приборов и 4- i точных (i = 0, 1, 2, 3), по правилу произведения определится произведением числа способов выбора i неточных приборов из 3 неточных на число способов выбора 4- i точных приборов из 7 точных , т.е. * . Согласно классическому определению вероятности

(i = 0, 1, 2, 3).

Учитывая, что = 1, = 3, = = 3, = 1,

, , ,

.

Вычислим

т.е. ряд распределения будет такой:

Убеждаемся в том, что

Математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X) вычисляем по формулам (3.3) и (3.16):

,

и

.

Пример 3.4

Ряд распределения дискретной случайной величины состоит из двух неизвестных значений. Вероятность того, что случайная величина примет одно из этих значений, равна 0,8. Найти функцию распределения случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,2, а дисперсия 0,16.

Решение

Ряд распределения имеет вид

,

где p_i = 0,8, а p₂ = 1-p₁ = 1-0,8 = 0,2.

По условию

или

Решая полученную систему, находим два решения:

и

Записываем выражение функции распределения:

или

Пример 3.5

Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго – 0,8, для третьего -0,75 и для четвертого – 0,7. Составить закон распределения случайной величины X – числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.

Решение

Задача может быть решена несколькими способами.

Первый способ: Пусть – событие, состоящее в том, что k -й станок не потребует (потребует) внимания рабочего в течении часа. Тогда, очевидно:

;

.

Аналогично находим

;

,

т.е. закон (ряд) распределения случайной величины Х имеет вид:

(3.38)

Второй способ состоит в том, что заданы законы (ряды) распределения альтернативных случайных величин X _k (k =1,2,3,4), выражающих число станков, не потребующих внимания рабочего в течение часа (это число для каждого станка равно 1, если этот станок не потребует внимания рабочего, и равно 0, если потребует):

X₁: X₂: X₃: X₄:

Необходимо найти закон распределения суммы этих случайных величин, т.е. Х = Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄. Суммируя последовательно Х₁ + Х₂ = Z, Х₁ + Х₂ + Х₃ = Z + X₃ = U, Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ = U + X₄ = X, получим

Z = Х₁ + Х₂:

U = Z + X₃:

и, наконец, распределение X = U + X₄, т.е. получили (3.38).

Третий способ: Распределение Х можно получить чисто механически, перемножив биномы (двучлены):

, (3.39)

причем каждый из пяти полученных коэффициентов при z^k (k = 0, 1, 2, 3, 4) в функции φ₄(z) будет выражать соответствующие вероятности P(X = k). Действительно, преобразовав (3.39), получим

,

где коэффициенты – это вероятности значений случайной величины Х (3.38).

Пример 3.6

В 1-й урне содержится 6 белых и 4 черных шара, а во 2-й –3 белых и 7 черных шаров. Из 1-й урны берут на удачу два шара и перекладывают во 2-ю урну, а затем из 2-й урны берут наудачу один шар и перекладывают в 1-ю урну. Составить законы распределения числа белых шаров в 1-й и 2-й урнах.

Решение

Найдем закон распределения случайной величины X – числа белых шаров в 1-й урне.

Пусть Ai( ) – событие, состоящее в извлечении из первой урны i -го белого (черного) шара (i = 1, 2), а В( ) - извлечение из 2-й урны белого (черного) шара после того, как в нее из 1-й урны переложили два извлеченных шара. В соответствии с условием число X белых шаров в 1-й урне может быть равным 4, 5, 6 или 7. Вероятность того, что в 1-й урне останется 4 белых шара, будет равна вероятности совместного осуществления трех событий: из 1-й урны извлечены первый шар -белый, второй шар – белый, из 2-й урны извлечен черный шар (после того как в нее переложили два белых шара), т.е.

Рассуждая аналогично, получим

;

;

.

Итак, закон распределения

Убеждаемся в том, что

Распределение числа Y белых шаров во 2-й урне можно найти аналогично, но проще это сделать, если учесть, что X+Y=9 (при любых значениях x_i и y_j). Поэтому закон распределения случайной величины Y = 9-X есть

Пример 3.7

Дана функция распределения случайной величины X:

а) найти плотность вероятности φ (х);

б) построить графики φ (х) и F (x);

в) убедится в том, что Х – непрерывная случайная величина;

г) найти вероятности P (X = 1), P (X < 1), P (1 ≤ X < 2) (две последние вероятности показать на графиках φ (х) и F (x));

д) вычислить математическое ожидание М (Х), дисперсию D(X), моду M₀ (X) и медиану M_e (X).

Решение

а) Плотность вероятности

б) Графики φ (x) и F(x) изображены на рис.3.20 a и б.

в) Случайная величина X – непрерывная, так как функция распределения F (x) непрерывна, а ее производная – плотность вероятности φ (x)– непрерывна во всех точках, кроме одной (х = 2).

г) Р (Х = 1) = 0 как вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины.

Р (Х < 1) можно найти либо по определению функции распределения, либо по формуле (3.21) через плотность вероятности φ (x):

(ордината графика F (1) – см. рис. 3.20б)

или

(площадь под кривой распределения φ (x) на отрезке [0,1] – см.рис.3.20а).

Р( 1 ≤ X ≤ 2) можно найти либо как приращение функции распределения по формуле (3.20), либо по формуле (3.22) через

(приращение ординаты графика F (x) на отрезке [1,2] – рис.3.20б) – или

(площадь под кривой распределения φ (x) на отрезке [1,2] – рис. 3.20а)

д) По формуле (3.25) математическое ожидание

плотность вероятности φ (x).

Если представить распределение случайной величины Х в виде единичной массы, распределенной по треугольнику (рис. 3.20а), то значение М (Х) = 4/3означает абсциссу центра массы треугольника.

По формуле (3.27) дисперсия D(X) = M (X²) – a2.

Теперь

Плотность вероятности φ (x) максимальна при х = 2 (см. рис. 3.20а), следовательно, М₀(Х) = 2.

Медиану М_е(Х) = b найдем из условия F (b) = , т.е. , откуда b = M_e (X) = , или через плотность вероятности

, т.е. , откуда b = M_e (X) =

Задания

3.1. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов.

3.2. Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, и вычислить математическое ожидание этой случайной величины.

3.3. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша при пяти сделанных покупках. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.4. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

3.5. Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено 4 ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.6. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.7. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.8. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

3.9. Произведено два выстрела в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8, вторым – 0,7, Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины и построить ее график. (Каждый стрелок делает по одному выстрелу.)

3.10. Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.

3.11. Дан ряд распределения случайной величины:

Найти функцию распределения этой случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,4, а дисперсия равна 0,84.

3.12. Из пяти гвоздик две белые. Составить закон распределения и найти функцию распределения случайной величины, выражающей число белых гвоздик среди двух одновременно взятых.

3.13. Из 10 телевизоров на выставке 4 оказались фирмы «Сони». Наудачу для осмотра выбрано 3. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы «Сони» среди 3 отобранных.

3.14. Среди 15 собранных агрегатов 6 нуждаются в дополнительной смазке. Составить закон распределения числа агрегатов, нуждающихся в дополнительной смазке, среди пяти наудачу отобранных из общего числа.

3.15. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Составить закон распределения случайной величины – числа импортных из четырех наудачу выбранных телевизоров. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

3.16. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.17. Экзаменатор задает студенту вопросы, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырех либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос равна 2/3. Составить закон распределения числа заданных студенту вопросов.

3.18. Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Составить закон распределения числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.19. Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся поступающим в институт. Найти математическое ожидание этой случайной величины.

3.20. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания или до израсходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,6, при каждом последующем – уменьшается на 0,1. Необходимо:

а) составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником;

б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.21. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.22. Имеются 4 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

3.23. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. Составить закон распределения числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. Найти математическое ожидание и функцию распределения этой случайной величины.

3.24. Дана функция распределения случайной величины X

Найти:

а) ряд распределения;

б) М(Х) и D(X);

в) построить многоугольник распределения и график F(x).

3.25. Даны законы распределения двух независимых случайных величин

и

Найти вероятности, с которыми случайные величины принимают значение 3, а затем составить закон распределения случайной величины ЗХ– 2Y и проверить выполнение свойств математических ожиданий и дисперсий: M (ЗХ- 2Y) = 3 М(Х) - 2M(Y),D(ЗХ- 2Y) = 9D(X) + 4D(Y).

3.26. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них:

а) для первого

б) для второго

Необходимо:

а) составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками;

б) проверить свойство математического ожидания суммы случайных величин.

3.27. Одна из случайных величин задана законом распределения

а другая имеет биномиальное распределение с параметрами п = 2, р = 0,6. Составить закон распределения их суммы и найти математическое ожидание этой случайной величины.

3.28. Случайные величины X и Y независимы и имеют один и тот же закон распределения:

Составить закон распределения случайных величин 2X и X+Y. Убедиться в том, что 2X ≠X+Y, но М(2Х) = M(X+Y).

3.29. По данным примера 3.52 убедиться в том, что X² ≠ XY. Проверить равенство M (XY) = [ М (Х)] ².

3.30. Два стрелка сделали по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7. Необходимо:

а) составить закон распределения общего числа попаданий;

б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.31. Пусть X, Y, Z – случайные величины: X – выручкафирмы, Y – ее затраты, Z = Х - Y – прибыль. Найти распределение прибыли Z, если затраты и выручка независимы и заданы распределениями:

3.32. Пусть X – выручка фирмы в долларах. Найти распределение выручки в рублях Z=X*Y в пересчете по курсу доллара Y, если выручка X не зависит от курса Y, а распределения X и Y имеют вид

3.33. Сделано два высокорисковых вклада: 10 тыс. руб. в компанию А и 15 тыс. руб. – в компанию В. Компания А обещает 50% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,2. Компания В обещает 40% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,15. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год, и найти ее математическое ожидание.

3.34. Дискретная случайная величина X задана рядом распределения

Найти условную вероятность события X<5 при условии, что Х>2.

3.35. Случайные величины Х₁, Х₂ независимы и имеют одинаковое распределение

а) Найти вероятность события X₁+X₂> 2.

б) Найти условную вероятность P_X1=1[(X ₁ +X₂) > 2 ].

3.36. Распределение дискретной случайной величины X задано формулой р(Х = к) = Ск², где к = 1, 2, 3, 4, 5. Найти:

а) константу С;

б) вероятность события | Х– 2|<1.

ГЛАВА

Поиск по сайту: