Автокорреляция остатков. Критерий Дарбина- Уотсона

Для каждого момента (периода) времени t = 1: N значение компоненты e_t для аддитивной модели определяется как

,

где - сумма циклической и трендовой компонент, а для мультипликативной модели:

где - произведение циклической и трендовой компонент.

Ошибки измерений нам неизвестны, а известны лишь эмпирические остатки.

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьших квадратов остатки e_t должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов часто встречаются ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков может быть вызвана следующими причинами, имеющими различную природу. Во-первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых, в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включённых в модель.

Либо модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно в виду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний.

Существует два наиболее распространённых метода определения автокорреляции остатков. Первый метод – это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина – Уотсона.

Дж. Дарбин и Г. Уотсон построили таблицы, дающие нижние и верхние пределы порогов значимости. Эти таблицы достаточны для большинства конкретных ситуаций. Рассмотрим логические основания критерия.

Выражение

(1.10.1) [3]

представляет собой «отношение фон Неймана», применённое к остаткам оценки. Этот критерий имеет эффективность аналогичную таковой для критерия r₁, первого коэффициента автокорреляции остатков. Из предыдущей главы известно, что этот критерий будет особенно мощным, если ошибки следуют авторегрессинному процессу первого порядка. Таким образом, он, по-видимому, хорошо приспособлен для экономических моделей.

Значение d в выборке зависит одновременно от последовательности z_t и от значений e_t(для t = 1,2,...,N). Однако Дарбин и Уотсон показали, что для заданных значений e_t значение d обязательно заключено между двумя границами d _U и d _L, не зависящими от значений, принимаемых z_t, и являющимися функциями лишь чисел N, именно d _L Ј d Ј d_U.

Для некоторых значений последовательности z_t границы d _U и d _L могут достигаться. Интервал [d _L,d _U ] является, следовательно, наименьшим из возможных, если не принимать во внимание точные значения z_t.

Границы d _U и d _L представляют случайные величины, распределение которых можно определить с помощью точных гипотез относительно распределения e_t.

Для практического использования таблицы полученное значение d^* следует сравнить с d₁ и d₂.

а) Если d^* < d₁, то вероятность столь малого значения наверняка меньше a. Гипотеза независимости отбрасывается.

б) Если d^* > d₂, то вероятность столь малого значения наверняка больше a. Гипотеза независимости не отбрасывается.

в) Если d ₁ Ј d^* Ј d ₂ , то приведённые таблицы оставляют вопрос открытым. Возможно, что гипотезу независимости при уровне значимости a следует отбросить. Однако этого нельзя узнать без изучения закона распределения вероятностей d для последовательности переменных z_t. Практически в этом случае часто довольствуются указанием на то, что значение d^* попадает в область неопределённости критерия.

В настоящее время принято приводить значение d^* вместе с регрессиями для временных рядов и указывать на расположение этого значения относительно d ₁ и d _2.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина – Уотсона.

Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, то есть к моделям авторегрессии. Для тестирования на автокорреляцию остатков моделей авторегрессии используется критерий h Дарбина.

Во-вторых, методика расчёта и использования критерия Дарбина - Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы.

В-третьих, критерий Дарбина – Уотсона даёт достоверные результаты только для больших выборок.

Поиск по сайту: