ОЛММР с гетероскедастичными остатками

Исследовать линейную модель множественной регрессии на наличие/отсутсвие гетероскедастичности в регрессионных остатках. Проверить внешние признаки гетероскедастичности: с помощью графического анализ поведения регрессионных остатков в зависимости от объясняющей переменной. Применить статистические критерии для выявления гетероскедастичности.

ОЛММР с гетероскедастичными остатками называется, ЛММР _i=β₀+β₁x_i1+…+β_kx_ik+ε_i, для которой нарушено 4 условие Гауса – Маркова, а именно:

1. x₁, x₂,…,x_{k –} детерминированные (неслучайные) переменные

2. Ранг ∑_х = k+1. Среди признаков нет линейно зависимых.

3. Мε_i =0, i=1,n. Нет систематических ошибок в измерении .

4. Дε_i= Мε_i ²=σ ². Гетероскедастичность регрессионных остатков.

5. Cov(ε_i; ε_j)=М(ε_{i *} ε_j)=0, i≠j. i=1,n, j=1,n

Внешние признаки гетероскедастичности регрессионных остатков:

Если с увеличением значения факторного признака х регрессионные остатки по абсолютной величине увеличиваются или уменьшаются, то это свидетельствует о наличии гетероскедастичности.

Существуют различные критерии, с помощью которых выявляют гетероскедастичность регрессионных остатков.

Полученное после устранения мультиколлинеарности уравнение регрессии проверим на наличие гетероскедастичности. Начнем с графического метода выявления гетероскедастичности. Для этого проранжируем Y и Х по x1, т.к. именно эту объясняющую переменную мы исследуем на гетероскедастичность. Построим график зависимости X_i от ε_i.

Рисунок 4- Зависимость ε_i от x₁

На графике видно, что при увеличении значений x_i (ось ОХ) заметна небольшая тенденция к снижению регрессионных остатков ε_i.

Но, чтобы убедиться в наличии или отсутствии гетероскедастичности проведем эмпирическую оценку уравнению регрессии, при помощи теста Голдфелда – Квандта.

Шаги теста:

1 Проранжируем значения Y и Х4 по Х₁.

2 Разобьем выборку на подвыборки размерностью в 10 наблюденных значений (n=47, n’=n”≈ =16).

3 Построим уравнение регрессии y’ по n’ наблюдениям:

’=6,4+1,306x₁’-0,0005 x₄’

И y” по n”:

”=6,3+0,85 x₁”-2,3x₄”

4 Оценим регрессионные остатки

Q’=(ē’)^т _* ē’= =112,23 Q”=(ē”)^т _* ē”= =25,88

Q’> Q”- обратная зависимость.

6 Найдем F_н

. F_н = 4,3.

7 Проверим гипотезу Н₀: σ²₁=σ²₂=…=σ²_n (отсутствует гетероскедастичность). И ей противоположная Н₁: σ²_i ≠ σ²_j (присутствует гетероскедастичность). F_н = 4,3 > F_кр. = 2,44, следовательно гипотеза Н₁ принимается, в регрессионной модели присутствует гетероскедастичность.

Рисунок 5- Зависимость ε_i от X₄

На графике видно, что при увеличении значений X_i (ось ОХ) заметна небольшая тенденция к снижению регрессионных остатков ε_i.

Шаги теста:

1 Проранжируем значения Y и Х1 по Х4.

2 Разобьем выборку на подвыборки размерностью в 10 наблюденных значений (n=47, n’=n”≈ =16).

3 Построим уравнение регрессии y’ по n’ наблюдениям:

’=9,22+0,62x₁’+0,0001 x₄’

И y” по n”:

”=4,68+1,14 x₁”-0,00013x₄”

4 Оценим регрессионные остатки

Q’=(ē’)^т _* ē’= =108,8 Q”=(ē”)^т _* ē”= =16,6

Q’> Q”- обратная зависимость.

6 Найдем F_н

. F_н = 6,5.

7 Проверим гипотезу Н₀: σ²₁=σ²₂=…=σ²_n (отсутствует гетероскедастичность). И ей противоположная Н₁: σ²_i ≠ σ²_j (присутствует гетероскедастичность). F_н = 6,5>F_кр. = 2,44, следовательно гипотеза Н₁ принимается, в регрессионной модели присутствует гетероскедастичность.

Поиск по сайту: