Определите относительную погрешность результата серии косвенных измерений

Датчики

ДАТЧИКИ - это УСМИ, которые своим чувствительным элементом реагируют на воздействие измеряемой величины и осуществляют преобразование этого воздействия в форму, удобную для последующего усиления, регистрации, обработки (как правило в электрические сигналы).. К метрологическим характеристикам относятся:1. Чувствительность - это изменение выходного сигнала при изменении входного сигнала на единицу. Например, чувствительность термопары определяется формулой 2. Предел чувствительности - минимальное значение изменения входного сигнала, которое можно зарегистрировать с помощью датчика.3. Динамический диапазон - диапазон входных неэлектрических величин от предела чувствительности до максимального значения, регистрируемого датчиком без искажения.4. Погрешность - разность между измеренным и действительным значением величины.5. Время реакции (инерционность) показывает, на сколько величина выходного сигнала датчика отстает по времени (по фазе) от входного. Виды: Электрические,фотоэлектрические,рентгеновские,биоуправляемые активные(термопары, тензодатчики, индукционные, полупроводниковые вентильные фотоэлементы),биоуправляемые пассивные(резистивные, емкостные, индуктивные и контактные).

Устройства УОРМИ.Классификация,назначение. Устройства отображения и регистрации медицинской информации (УОРМИ) позволяют получать в графической или иной форме характеристики параметров контролируемого объекта. Устройства отображения осуществляют временное представление информации, а устройства регистрации позволяют длительное время хранить информацию и многократно обращаться к ней для последующей обработки и более глубокого анализа.

Надежность медицинской аппаратуры: вероятность безотказной работы. Способность изделия не отказывать в работе в заданных условиях эксплуатации и сохранять свою работоспособность в течение заданного интервала времени характеризуют обобщающим термином надежность. Способность аппаратуры к безотказной работе зависит от многих причин, учесть действие которых практически невозможно, поэтому количественная оценка надежности имеет вероятностный характер. Так, например, важным параметром является вероятность безотказной работы. Она оценивается экспериментально отношением числа N работающих (не испортившихся) за время t изделий к общему числу N_o испытывавшихся изделий: P(t) = N(t)/ N_o

Интенсивность отказов,характеристики 3х периодов работы медицинской аппаратуры. Другим количественным показателем надежности является интенсивность отказов λ(t). Этот показатель равен отношению числа отказов dN за время dt к произведению времени dt на общее число N работающих элементов: λ = ‒ dN/ N dt. Характеристики 3х периодов работы медицинской аппаратуры: I ‒ период приработки, когда «выжигаются» дефектные элементы изделия, проявляются скрытые пороки, возникающие в процессе изготовления деталей. Интенсивность отказов при этом может быть достаточно велика;II–период нормальной эксплуатации, интенсивность отказов значительное время может сохранять постоянное значение. На этот период следует планировать нормальную эксплуатацию аппаратуры;I I I ‒ период старения, интенсивность отказов возрастает со временем благодаря влиянию старения материалов и износа элементов.

Связь между вероятностью безотказной работы и интенсивностью отказов. Между вероятностью безотказной работы Р и интенсивностью отказов λ существует связь. Установим ее для 2-го периода, λ = const. Запишем дифференциальное уравнение, вытекающее из формулы dN/ N = - λ dt интегрируя и подставляя нижние пределы (начальное число N_o испытывавшихся изделий в момент t=0) и верхние пределы (число N безотказно работающих изделий в момент времени t). Получаем λ ;Так как N/ N_o= Р. То имеем: Р(t) = ехр (-λt).Таким образом, при постоянной интенсивности отказа вероятность безотказной работы убывает с течением времени по экспоненциальному закону.

Оценка безопасности и защита от ультразвука. Как научные, так и профессиональные интересы обязывают ученых выяснить, какую опасность для пациента и оператора представляет использование ультразвука. В настоящее время невозможно выделить один или даже несколько физических параметров, которые служили бы в качестве адекватных количественных характеристик, позволяющих предсказать конечный биологический эффект. В отсутствие адекватной информации, на основе которой должны быть установлены максимально допустимые дозы при применении ультразвука в медицине, было бы полезным выдвинуть некоторые критерии для правильного применения ультразвука. ряд критериев может быть обобщен следующим образом:1Оператор должен использовать минимальные интенсивности и экспозиции, позволяющие получить у пациентов желаемый клинический эффект;2Обслуживающий персонал не должен облучаться без необходимости;3Все процедуры должны выполняются хорошо обученным персоналом или под его руководством. В целях предотвращения профессиональных заболеваний у лиц, работающих на ультразвуковых установках, когда возможен контакт с источниками ультразвуковых колебаний, для защиты рук обязательно необходимо применение 2 пар перчаток: наружных резиновых и внутренних – хлопчатобумажных.

Назначение, блок-схема и принцип действия УЗго эхолокатора. Для обнаружения различных объектов, определения глубины на кораблях и подводных лодках устанавливаются эхолокаторы. Принцип действия такого прибора основан на излучении и последующем улавливании отраженного от препятствия ультразвукового сигнала. Эхолокация может быть основана на отражении сигналов различной частоты — радиоволн, ультразвука и звука. Первые эхолокационные системы направляли сигнал в определённую точку пространства и по задержке ответа определяли её удалённость при известной скорости перемещения данного сигнала в данной среде и способности препятствия, до которого измеряется расстояние, отражать данный вид сигнала. Обследование участка дна таким образом при помощи звука занимало значительное время.

№2. Обработка результатов прямого измерения

Для уменьшения влияния сл

учайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины:

x₁, x₂, x₃,... x_n. (2)

Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx. В таком случае мы можем записать результат измерений в виде

µ = ± Δx (3)

Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде

l = (8.34 ± 0.02) мм, (P = 0.95)

Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм.

Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.

Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

(4)

где Δx – отклонение от величины истинного значения;

σ – истинная среднеквадратичная ошибка;

σ ²– дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

Рис.16

Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0, кроме того, она является четной.

На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx₁ и Δx₂ (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx₁,Δx₂).

Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)

, (5)

где – n число измерений.

Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞.

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

. (6)

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ

σ = lim S. (7)
_{n → ∞}

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина

. (8)

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.

Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:

, (9)

Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.

В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.

Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом
Стьюдента t.

Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

Δx = · t. (10)

где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;
– среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 2.

Из сказанного следует:

1. Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.

2. При n → ∞ → 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение μ, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

1. Результат каждого измерения запишите в таблицу.

2. Вычислите среднее значение из n измерений

= Σ x _i / n.

3. Найдите погрешность отдельного измерения

.

4. Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений

(Δx ₁)², (Δx ₂)²,..., (Δx _n)².

5. Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического

6. Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95).

7. Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.

8. Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)

Δx = · t.

9. Если величина погрешности результата измерения Δx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора δ, то в качестве границы доверительного интервала возьмите

.

Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

10. Окончательный результат запишите в виде

.

11. Оцените относительную погрешность результата измерений

.

№3Обработка косвенных измерений

В лабораторной практике большинство измерений – косвенные и интересующая нас величина является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин:

N = ƒ (x, y, z,...) (13)

Как следует из теории вероятностей, среднее значение величины определяется подстановкой в формулу (13) средних значений непосредственно измеряемых величин, т.е.

¯ N = ƒ (¯x, ¯y, ¯z,...) (14)

Требуется найти абсолютную и относительную ошибки этой функции, если известны ошибки независимых переменных.

Рассмотрим два крайних случая, когда ошибки являются либо систематическими, либо случайными. Единого мнения относительно вычисления систематической ошибки косвенных измерений нет. Однако, если исходить из определения систематической ошибки как максимально возможной ошибки, то целесообразно находить систематическую ошибку по формулам

(15) или

, (16)

где

частные производные функции N = ƒ(x, y, z,...) по аргументу x, y, z..., найденные в предположении, что все остальные аргументы, кроме того, по которому находится производная, постоянные;
δx, δy, δz – систематические ошибки аргументов.

Формулой (15) удобно пользоваться в случае, если функция имеет вид суммы или разности аргументов. Выражение (16) применять целесообразно, если функция имеет вид произведения или частного аргументов.

Для нахождения случайной ошибки косвенных измерений следует пользоваться формулами:

(17) или

, (18)

где Δx, Δy, Δz,... – доверительные интервалы при заданных доверительных вероятностях (надежностях) для аргументов x, y, z,.... Следует иметь в виду, что доверительные интервалы Δx, Δy, Δz,... должны быть взяты при одинаковой доверительной вероятности P₁ = P₂ =... = P_n = P.

В этом случае надежность для доверительного интервала Δ N будет тоже P.

Формулой (17) удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ(x, y, z,...) имеет вид суммы или разности аргументов. Формулой (18) удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ(x, y, z,...) имеет вид произведения или частного аргументов.

Часто наблюдается случай, когда систематическая ошибка и случайная ошибка близки друг к другу, и они обе в одинаковой степени определяют точность результата. В этом случае общая ошибка ∑ находится как квадратичная сумма случайной Δ и систематической δ ошибок с вероятностью не менее чем P, где P – доверительная вероятность случайной ошибки:

.

При проведении косвенных измерений в невоспроизводимых условиях функцию находят для каждого отдельного измерения, а доверительный интервал вычисляют для получения значений искомой величины по тому же методу, что и для прямых измерений.

Следует отметить, что в случае функциональной зависимости, выраженной формулой, удобной для логарифмирования, проще сначала определить относительную погрешность, а затем из выражения Δ N = ε ¯ N найти абсолютную погрешность.

Прежде чем приступать к измерениям, всегда нужно подумать о последующих расчетах и выписать формулы, по которым будут рассчитываться погрешности. Эти формулы позволят понять, какие измерения следует производить особенно тщательно, а на какие не нужно тратить больших усилий.

При обработке результатов косвенных измерений предлагается следующий порядок операций:

1. Все величины, находимые прямыми измерениями, обработайте в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. При этом для всех измеряемых величин задайте одно и то же значение надежности P.

Если случайная и систематическая ошибки по величине близки друг к другу, то сложите их по правилу сложения ошибок. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

4. Результат измерения запишите в виде:

N = ƒ (¯x, ¯y, ¯z,...) ± Δƒ.

Определите относительную погрешность результата серии косвенных измерений

_{ε =} Δƒ _{· 100%.}
¯¯ƒ¯

№ 23 предел разрешения уз эхолокатора

Поиск по сайту: