ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Устойчивость – это способность системы возвращаться в предшествующее установившееся состояние после внезапного изменения внешних воздействий. Различают устойчивость “в малом” (статическая устойчивость); “в большом” (динамическая устойчивость).

Объект нейтрален, т.к. после внешнего воздействия он приходит в новое равновесное состояние, которое существенно отличается от предыдущего.

Объект неустойчив.

Поведение любой системы описывается линейно или линеаризовано к диф. уравнению, решение которого относительно одной из переменных может быть записано следующим образом:

где p – корень характеристического уравнения.

САР будет устойчива, если все корни характеристического уравнения будут вещественными отрицательными, либо комплексными, но с отрицательной вещественной частью.

Критерий устойчивости – это правила, которые позволяют судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения.

- Алгебраические критерии

- Частотные критерии (которые используют частотные хар-ки).

По виду характеристического уравнения можно сразу сформулировать необходимый признак устойчивости системы:

Если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то это является необходимым условием устойчивости системы. Причем для системы 1 и 2-го порядка положительность коэффициентов является достаточным условием.

КРИТЕРИЙ РАУСА

К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ, а также простота анализа для систем небольшого (до 3) порядка. К недостаткам можно отнести ненаглядность метода, по нему сложно судить о степени устойчивости, о её запасах.

Число строк в таблице Рауса равняется n+1. В первых двух строках записываются коэффициенты характеристического уравнения в соответствии с их индексами. Коэффициентам с отрицательными индексами соответствуют нули.

- -			……………….	……   ……

Формулировка критерия Рауса:

Для устойчивости САР необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты 1-го столбца были положительными. Если не все коэффициенты 1-го столбца положительны, то число корней уравнения лежащих в правой полуплоскости равно числу переменных знаков в первом столбце таблицы. Если то это указывает на наличие пары чисто мнимых корней и это будет граница колебательной устойчивости. Если коэффициент a₀=0, то в ноль обращается и это будет граница апериодической устойчивости.

Диагональные миноры критерия Гурвица могут определяться независимо друг от друга и в этом заключается основное достоинство. Для применения критерия Рауса необходимо постепенное заполнение таблицы, однако для систем высокого порядка объем вычислений оказывается гораздо меньше чем для критерия Гурвица.

КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА

Достоинством метода является простота, недостатком - необходимость выполнения операции вычисления определителя. Критерий Гурвица позволяет судить об отсутствии правых корней характеристического уравнения по знакам диагональных миноров в определителе Гурвица.

По главной диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения начиная с a_n-1 по a₀ в порядке убывания. Затем столбцы дополняются коэффициентами характеристического уравнения: вверх – в порядке убывания индексов; вниз – в порядке их увеличения. Члены столбцов с индексами больше чем n и меньше 0 принимаются равными нулю.

Необходимым и достаточным условием отсутствия правых корней является положительность всех корней и диагональных миноров.

Важным условием устойчивости является положительность последнего диагонального минора. Если a₀=0, то система имен нулевой корень и находится на границе апериодичности устойчивости. Если , то система имеет пару мнимых корней и находится на границе колебательной устойчивости.

Поиск по сайту: