Теорема 2. ( Об эквивалентности пар в пространстве ). Две пары, лежащие в параллельных плоскостях и имеющие равные по величине и по знаку моменты, эквивалентны

Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая:

Лемма. Равнодействующая двух параллельных и равных по модулю сил равна их сумме, а ее линия действия проходит посредине между точками их приложения (Рис.3).

Рис.3

Для доказательства леммы достаточно к системе двух сил (P1,P2), приложенных соответственно в точках A и B, о которых идет речь в теореме, добавить уравновешенную систему сил (T1,T2), а затем воспользоваться аксиомой параллелограмма:

(P1,P2)∼((P1,P2),(T1,T2))∼((P1,T1),(P2,T2))∼(R1,R2)∼(R12)

, где P1=P2=P,R12=2⋅P, а AС = BC.

Переходя к доказательству теоремы, рассмотрим две пары сил (P1,P2) и (F1,F2), имеющие равные моменты и лежащие в параллельных плоскостях П₁ и П₂ соответственно (Рис.4).

Рис.4

Построим в плоскости П₂ отрезок CD, равный и параллельный отрезку АВ и приложим в точках C и D две системы уравновешенных сил: (S1,S2)∼0 и (T1,T2)∼0, выбрав силы S и T равными по модулю и параллельными силам P⃗.

На основании аксиом 2, 3 и последней леммы:

(P1, P2)∼((P1,P2),(S1,S2),(T1,T2))∼((P1,T1),(P2,S2),(S1,T2))∼∼((R1,R2),(S1,T2))∼(S1,T2)

, поскольку R1∼(P1,T1) и R2∼(P2,S2) также образуют уравновешенную систему сил, которую можно исключить.

Таким образом, мы получили две пары сил: (S1, T2) и (F1, F2), которые лежат в одной плоскости и имеют равные по величине и по знаку моменты. В силу предыдущей теоремы 1 они будут эквивалентны, откуда следует, что

(P1, P2)∼(S1,T2)∼(F1,F2)

Теорема доказана.

Следствие. Действие пары сил на ТТ не изменится при ее перемещении в параллельную плоскость, расположенную в пределах этого тела.

Сложение пар на плоскости и в пространстве.

Сложение пар.

Пусть даны две пары с моментами m ₁и m ₂, расположенные в пере­секающихся плоскостях (рис.16).

Сделаем у пар плечи одинаковыми, равными а = АВ. Тогда модули сил, образующих первую пару, должны быть равны: , а об­разующих вторую пару: .

Эти пары показаны на рис.16, где . И расположены они в своих плоскостях так, что плечи пар совпадают с прямой АВ на линии пересе­чения плоскостей.

Рис.16

Сложив силы, приложенные к точкам А и В, построением паралле­лограммов, получим их равнодействующие . Так как , то эти силы и будут образовывать пару, мо­мент которой , где – радиус-вектор точки В, совпадающий с АВ.

Так как , то момент полученной пары

.

Следовательно, в результате сложения пар, расположенных в пере­секающихся плоскостях, получится пара сил. Момент её будет равен векторной сумме моментов слагаемых пар.

При сложении нескольких пар, действующих в произвольных плоско­стях, получим пару с моментом

.

Конечно, эта результирующая пара будет располагаться в плоско­сти перпендикулярной вектору .

Равенство нулю результирующей пары будет означать, что пары, действующие на тело, уравновешиваются. Следовательно, условие рав­новесия пар

=0.

Это является необходимым и достаточным условием равновесия систем пар.

Если пары расположены в одной плоско­сти, векторы моментов их будут параллельны. И момент результирующей пары можно опре­делить как алгебраическую сумму моментов пар.

Поиск по сайту: