Теорема 1. (Об эквивалентности пар на плоскости ). Две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие равные по величине и по знаку моменты, эквивалентны

Для доказательства рассмотрим две пары (P⃗,P′) и (F⃗,F′), лежащие в одной плоскости и имеющие равные по величине и по знаку моменты (Рис.1).

Рис.1

Продолжим линии действия сил пар до их пересечения в точках С и С'.

На основании следствия из аксиомы 3 действие сил P⃗ и P′ не изменится, если эти силы перенести в эти точки, то есть (P⃗,P′)∼(P1,P′1).

Воспользовавшись аксиомой 4, заменим силу P1→ составляющими S⃗ и T⃗, направленными, соответственно, вдоль линии действия силы F⃗, и по прямой СС'. Аналогично поступим с силой Р1′→, заменив ее составляющими S′→ и T′→.

По построению T⃗ =−T′→, поэтому согласно аксиоме 2: (T⃗,T′→)∼0 и в соответствии с аксиомой 3 эту систему можно исключить.

Таким образом,

(P⃗,P′→)∼(P1→,P′1→)∼((S⃗,T⃗),(S′→,T′→))∼((S⃗,S′→),(T⃗,T′→))∼(S⃗,S′→)

,

, то есть пары сил (P⃗,P′→) и (S⃗,S′→) эквивалентны.

Остается доказать эквивалентность пар $(\vec{S}, \vec{S'})\text{ и }(\vec{F}, \vec{F'}). Поскольку эти пары имеют равные плечи, они будут эквивалентны, если будут равны их моменты.

По условию теоремы моменты пар (P⃗,P′→) и (F⃗,F′→) равны. Таким образом:

M(F⃗,F′→)=M(P⃗,P′→)=M(P1→,P′1→)=MC(P1→)

В силу теоремы Вариньона:

MC(P1→)=MC(S⃗)+MC(T⃗)=MC(S⃗)

, поскольку линия действия силы T⃗ проходит через точку С и ее момент равен нулю. Итак:

M(F⃗,F′→)=MC(S⃗)=M(S⃗,S′→)

, а значит пары (S⃗,S′→) и (F⃗,F′→) будут эквивалентны.

Таким образом: $(\vec{P}, \vec{P'}) \sim (\vec{S}, \vec{S'}) \sim (\vec{F}, \vec{F'}), и теорема доказана.

Рассмотрим следствия этой теоремы, которые также можно рассматривать как свойства пар сил в дополнение к свойствам, рассмотренным в «Пара сил и ее свойства».

Следствия:

1. Действие пары сил на ТТ не меняется при ее перемещении в своей плоскости.

2. Действие пары сил на ТТ не изменится, если одновременно изменить плечо и силы пары, сохранив неизменным ее момент.

Рассмотрим в частности пару, представленную силами ±P=M2ε, приложенными к балке в точках x=xM±ε (Рис.2а). Плечо такой пары, равно 2ε, а ее момент равен M. При изменении (будут меняться плечо и силы пары, но величина ее момента останется равной первоначальному значению.

Определение 1. Моментом называется система, полученная из пары сил ±P=M2ε, при ε→0.

Таким образом, термин «момент» имеет в ТМ два значения:

1. момент как произведение силы на ее плечо и

2. момент как система, полученная из пары сил в соответствии с определением 1.

Отметим, что при таком предельном переходе плечо пары стремится к нулю, а силы пары – к бесконечности. Полученный в соответствии с определением 1 момент фактически является таким же самостоятельным объектом в механике, как и сила, и в дальнейшем мы будем обозначать его так, как показано на рис.2б.

Рис.2

Если для абсолютно твердого тела последний момент эквивалентен паре сил, показанной на рис.2а, то в механике деформируемого теладействие такого сосредоточенного момента, приложенного в точке х=х_М, существенно отличается от действия пары сил.

Поиск по сайту: