статистический анализ MR-модели с помощью таблицы ДА

SS=SSr+SSe SS=∑(yi-y)²SSr=∑(yi-y)² SSe=∑(yi-yi)² проверка значимости модели. Модель называется значимой если факторы входящие в модель ок-т существенное или знач-е влияние на переменную (у). yi=βo+β1x1+…+βp1xi,p-1+Ԑi Ho:β1=…=βp-1=0-модель незначима. Fcp= MS_R/ MS_E=R²/1-R²*(n-p)*(p-1) находим критические зн-я F-критерия F_T(α,p-1,n-p) если Fф> F_T гипотеза Но отвергается и модель считается значима, Fф≤F_T гипотезу Но принимаем, модель незначима(у зависит от других х). проверка адекватности. Модель называется адекватной, если расчетные (полученные по модели зн-я переменной у хорошо соглашаются с реальными наблюдениями). Используем империческое правило, если Fф>4 F_T то модель адекватна и пригодна для прогноза. Коэффициент множественной корреляции R и коэффициент дотерминации R². R= SSr/ SS= 1- SSe/SS R²=1- SS_R/SS хар-т степень лин.стахостической связи м/у у и независ.переменными х1…хр-1. T-критерий. Но:βi=0(i=1,p-1). Фактор хi не ок-т существенное влияние на перем. У. t_bi=bi/Ϭ_bi=βi/Ϭ_bi ритическое зн-е t-статистики из таблицы: tT(α,n-p) если |tbi|>tT=> Ho отвергается, |tbi|≤tT Но принимается, bi не ок-т влияние на у.

22. смешанные меры качества модели. Назовем меру, которая определяет степень пригодности модели для прогноза и яа-ся(внутр.мерой) функцией внут.меры Ϭ². Ошибка прогноза с учетом систематического сдвига. На практике при сравнении моделей с различным числом регрессеров невозмодного соблюдением условия. MY=Xβ=>дисперсия вкл. систем.сдвиг(Δ²). D(Yk)=S²(1/n+X^T_k(X^TX)^-1*Xk)+Δ² Δ-систематическое смещение мат.о. прогноза,нужно оценить 1 из смещенных мер такого вида предлагал Меллоус, введена мера: Ср= SS_e/ S²+2р-n, где р-кол-во параметров, n-кол-во наблюдений, SS_e-остатки ∑квадратов отклонений, S²-остаточная дисперсия полной модели. При сравнении моделей оптимальной считается та у которой минимальное значение меры Ср.

23. внешние меры качества. Предполагалось, что в любой модели для прогноза-вычисляем У. однако в ряде случаев исследовали только оцениваемые коэффициенты βi=(i=0,p-1). Эти модели-параметрическими. Для последних в качестве внутренних мер дополнительно логично использовать станд.ошибку коэффициента Ϭbi. Правда такой анализ имеет смысл делать только для структур одиноковой размерности. Под внешними мерами будем понимать меры, формированным по данным не исполь при получении модели. 1)меры устойчивости βi. Используются для прогноза моделей и параметрических моделей. Полный ряд делим на несколько серий,эти серии получают модели одного состава и размерности. В конкретных для моделей разных серий и этой модели, принимаемая соот. критерий. FT(α,1,n-p), Fx1>FT-зн-е х1 влияет на у.целесообразно. Fx2<FT-не значим х2 не ок-т влияния на у. не целесообразно.

24. понятие о частных коэффициентах корреляции. Они характеризуют тесноту связи м/у результатом и соот. Фактором при при уст. Частный уоэффициент корреляции позволяет проводить ранжировку факторов. Влиянии других факторов.

A) r_yx1x2 при устранении х2 =r_yx1-r_yx2*r_x1x2/ (1-ryx²₂ )(1-r²_x1x2)

Б) r_yx2*x1=r_yx2-r_yx1*r_x1x2/ (1-y_x²₁)(1-r_x1x²₂).

25. частные коэффициенты эластичности MR-модели. Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели рассчитываются по формулам:

Черта над символом, как и ранее, означает среднюю арифметическую. Частные коэффициенты эластичности показывают, насколько процентов изменится результативный признак, если значение одного из факторных признаков изменится на 1%, а значение другого факторного признака останется неизменным.

26.уравнение регрессии в стандартизованном масштабе. уравнение регрессии в стандартизированном масштабе: y₀=β₁x⁰₁+β₂x⁰₂+…+β_px⁰_p+Ԑ Применяя метод МНК к моделям множественной регрессии в стандартизованном масштабе, после определенных преобразований получим систему нормальных уравнений вида

Решая системы методом определителей, находим параметры — стандартизованные коэффициенты регрессии (бета - коэффициенты). Сравнивая коэффициенты друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. В этом заключается основное достоинство стандартизованных коэффициентов в отличие от обычных коэффициентов регрессии, которые несравнимы между собой. В парной зависимости стандартизованный коэффициент регрессии связан с соответствующим коэфициентом уравнения зависимостью

Это позволяет от уравнения в стандартизованном масштабе переходить к регрессионному уравнению в натуральном масштабе переменных:

27. основные предположения РА о выборке. Запишим модель РА в матричном виде У=ХВ+Ԑ и рассмотрим все прелположения(гипотезы) РА-МНК относительно этой модели. Предположение о выборке. У яв-с выборочным случайным вектором следовательно для 2.1 сущ генеральная сов-ть значений У V N->∞ и выборка V n, отобранная определенным образом для изучения. Свойства: 1.1= V наблюдений достаточен 1.2=при организации наблюдений обеспечивается случайный выбор 1.3=ряд наблюдений однороден 1.4= отсутствуют грубые промахи.

28. основные предположения РА о векторе β. По оцениваемому параметру β принимаются гипотезы: 2.1=адекватная наблюдениям модель(2.1) линейна по элементам вектора β 2.2=на вектор β не положено ограничений,т.е. о векторе β априо ничего неизвестно 2.3= вектор β сод-т аддитивную пост. Βо 2.4= элементы β вычислены с пренебрежимо малой компьютерной ошибкой.

29. основные предположения РА о матрице Х. 3.1=регрессоры х0…хр-1 яв-ся лин-незавсимыми векторами матрицы Х или справедлива запись rank X=p. 3.2=элементы матрицы Х не яв-ся СВ.

30. основные предположения РА о векторе Ԑ. 4.1=ошибки Ԑi-случ.ошибки,адекватно входящими в модель (2.1), например, yi=βo+∑βjxij)(1+Ԑi) в этом случае характер остальных предположений на вектор Ԑ изменится. 4.2=ошибки Ԑi распределены по норм.закону. если это так, то МНК-оценки в условиях т.Гаусса-Маркова дополнительно обладают свойствами: яв-ся эффект-ми для всех классов несмещенных оценок(а не только в классе лин.оценок). кроме того возможно применение статистик для интервального оценивания, проверки соблюдения ряда гипотез и качества модели, заключения о статистической независимости. 4.3= ошибки Ԑi не сод-т систематического смещения. При такой гипотезе систематические ошибки вызванные неучтенными эффектами войдут в βо. 4.4= ошибки Ԑi имеют пост-ю дисперсию т.е. наблюдения у1…уn не коррелированы и при справедливости 4.2 статистически независимы.

31. основные предположения РА о векторе У. гипотезы 2-4 яв-ся гипотезами о векторе У.

5.1=метод поиска оптимального набора регрессеров {xi:i=1,p;p1<p} для У яв-ся точным. Очевидно,при однокритериальном поиске оптимальной модели из 2^р-1 возможных точным яв-ся метод полного перебора. До сих пор рассматривалась MR-модель для 1 отклика У. возникает ситуации, когда откликов несколько. Так называемая многооткликовая регрессия, будем считать регрессионные модели независимыми друг от друга. 5.2=для многооткликовой регрессии правомерно применение МНК к каждой из регрессий в отдельности.

32. следствия невыполнения гипотез РА. На практике гипотезы 1-5 не выполняются, поэтому МНК-оценки не обладают требуемыми свойствами наилучших лин.оценок(НЛО):свойствами несмещенности, эффективности, состоятельности. Нарушение каждого из условий РА-МНК приводит к тому же иному виду ошибок. По степени влияния на окончательные результаты следует в первую очередь обратить внимание на возможные нарушения 3.1,2.1,4.2. Нарушение 3.1 для моделей, параметры которых подлежат физической интерпритации:оценки оказываются неэффективными,неустойчивыми, по отношению к наблюдениям, а при сильной корреляции регрессеров интерпритация компанент βj-бессмысленной. Модели прогноза при зависимых xj теряют в точностии предсказания. При нарушении условия 2.1 требует слуйчай избыточности модели. При этом вектор β остается несмещенным ошибки его компанент и прогноза У. заметным образом возврастают. Нарушение условия 4.2 создает проблемы при поиске оптимальной модели по t-статистике и F-статистике а так же и при построении интервальных оценок.

33. анализ соблюдения предположения по вектору β и процедуры адаптации. Выполняется по остаткам. E=Y-Xβ e=Y-Y ei=yi-yi вместо остатков используют шкалированные остатки. Di=ei/S S=Ϭ-стандартная ошибка наблюдений. di≈N(0,1) и строют графики зависимости остатков di от У и (xj,j=1,p-1) и вычислят статистический критерий. Пусть для пустулированной модели У=ХВ+Ԑ построена MR-модель получена МНК-оценка с β, остатками di, внутренние и возможно внешние меры качества. Нарушение 2.1 когда лин.модель адекватна в целом для прогноза, но может быть улучшена путем устранения избыточных регрессеров или введение значимых факторов. ПРИЗНАКИ: 1) при избыточности наличие слагаемых в модели t≤t_T. t критерий Стьюдента. 2) при недоопределенности тренды на графиках остатков (α,У;xj), j=1,p-1, отличаются от горизонтальной равномерной полосы. К 1) если модель избыточна логично устранить незначительные переменные и пересчитать заново β коэффициенты. При одновременном нарушении 2.1 и 3.1 простой выбор незначительных переменных-рисковая процедура, метод пошаговой регрессии. По 2) при недоопределенности модели(не хватает регрессеров)-искать пропущенные факторы _хк, х²,t…если модель сразу неадекватна-перейти к другому классу лин.баз.функций или нелин.модель по β. Yi=bo+b1xi1+…+b8xi8 |tb1|>tт следовательно b1-значим. Нарушение 2.2 специальных признаков нарушения не существует косвенные признаки нарушения 3.1 значимые коэффициенты парной корреляции адаптация путем учета ограничений на β приводит к решению задачи на поиск экстремумы функции с лин или нелин. ограничениями. Нарушение 2.3 о необходимости устранения βо судит исходя из существа процесса или из результатов сравнения по внеш.критериям качества, если модель не сод-т аддетивной постоянной βо, то не всякая регрессионная процедура применена для вычислительной обработки.

34. анализ соблюдения предположения по матрице Х и процедуры адаптации. Нарушение 3.1 Xj(j=0,p-1) мультиколлинеарности, сложной зависимости случай зависимости xj друг от друга-мультиколлинеарностью(обнаруживается по коэффициентам парной корреляции rij м/у xj). Адаптация к 3.1 на каждом этапе процесса моделирования. При сильной мультиколлинеарности наиболее эффективным способом способом снижения операция центрирования. При строгой мультиколлинеарности может повлеч оценивание параметров(смещенное). Если модель используется для прогноза вывести несколько коррелирующих(дублирующих) членов, удаление из структуры 1 из 2 регрессеров, имеющих зн-е rij 0,8-0,9. p≤20-40 по шаговую регрессию удалить из структуры из каждой пары по 1 х и сравнивая по табличному значению, который меньше удаляем. Нарушение 3.2 судить по косвенному признаку-резкому различию внеш и внут точностью прогноза. При нарушении 3.2 и наличие информации xij образования 1 из вычислительных схем условий регрессии-РА.

35. анализ соблюдения предположения по вектору Ԑ и процедуры адаптации. Нарушение 4.1 Об аддитивности Ԑ происхдит при перемещении по нелин.β модели к лин. И косвенно обнаруживается появлению гетероскедастичности на графике (d,Y) для преобразованной модели(явление увеличение или уменьшение дисперсии) от У или xj. Для полученных ошибок удолетворяющих т.Г-М преобразовать У и при необходимости xj. Нарушение 4.2 для проверки условия Ԑ≈Nn применим аналитический и графический способ. График (d,Y), d-шкалированные остатки тренд ±2Ϭ на 95% помимо адекватности модели свидетельствует о нормировании остатков е. предположение о нормализации нарушается если наблюдения обремененны аномальными выбросами (d,Y,xj)±3Ϭ присутствуют точки по условию 4.2 нарушением. колмагоров,смирнов… Нарушение 4.3 условие M(Ԑi)=0 не требует особого внимания при наличии βо в модели. Отличие от нуля d=∑ei/S средние шкалированные остатки. Нарушение 4.4 нарушение условия постоянства дисперсии проверяется по графикам остатков (d,Y,xj). Явление постоянства неоднородности дисперсии-гетероскедостичность.а явление постоянства-гомоскедастичность. Выбор схемы адаптации зависит от возможности описать неоднородность дисперсии аналитическими способами или от возможности оцениь дисперсии наблюдений. Если можно оценить модель ковариации D(Y) то схему взвешенного МНК. Нарушение 4.5 для проверки условия независимсти ошибок из-за неучетов фактора времени используют графики остатков (d,T). d-шкалированные остатки, Т-номер наблюдения. По виду кривых делается вывод о необходимости введения лин или нелин. Слагаемого по Т. Для выявления взаимных корреляций ei используется критерий дарвина-уотсона(D/DW). Анализируется зависимость вида Ԑt=ρԐ_t-1+Ԑ’t Ԑ’t≈N(0,Ϭ²) называется авторегрессией 1 порядка t-1 первый порядок t-1 t-2 второй порядок. Адаптация к нарушению выполняется введением фактора времени Т(Т²) если после этого остается авторегрессия фиксируется по D критерию прибегают к обобщенному МНК, используя оценку параметра авторегрессии ρ.

36. анализ соблюдения предположения по вектору У и процедуры адаптации. Нарушение 5.1 признаком яв-ся применение не полного метода перебора, но при полном однокритериальном приборе по ряду причин не удается получить структуру с МНК-оценками, обладавшими свойствами наилучших лин.оценок. тем не менее на первом этапе получить структуру оптимальную по наиболее важному для экспериментатора критерию. В этом случае при невозможности применить метод полного перебора рекомендуются методы псевдобулевой оптимизации, ветвей и границ, гинетичные алгоритмы по шаговой регрессии. Нарушение 5.2 соблюдение условия о независимости отклика Ук,к=1,К можно проверить по к парной корреляции r_yi и r_yj. При существенном нарушении 5.2 прибегают к: косвенный МНК, двушаговый МНК, трехшаговый МНК.

37.ОМНК. рассмотрим общий случай когда для матрицы У=ХВ+Ԑ выполняются все условия кроме 4.4 причем D(Ԑ)=Ὠ. Применяем МНК β несмещенной оценкой D(β) оказывается смещенной приведет к неэффективности оценок β. Ля получения наилучших лин.оценок необходимо воспользоваться ОМНК основанием которого яв-ся т.Айткена: в классе лин.несмещенных оценок β для обобщенной регрессии модели оценка βо=(Х^ТὨ^-1Х)^-1Х^Т*Ὠ*У имеет наимен.модель ковариации βо=(Х^ТὨ^-1Х)^-1. Следует отметить что D(Ԑ)=Ὠ мера R² не может быть использована для оценки качества модели. Для применения ОМНК знать матрицу Ὠ которая на практике обычно неизвестна. Приблежаем к ОМНК-«доступный» ОМНК в который на структуру Ὠ вводят дополнительные условия.

38. взвешенный МНК. Применим ОМНК для случая, когда матрица ковариаций Ὠ вектора ошибок Ԑ диагональна, иначе говоря, D(Ԑi)=Ϭ²i. (i=1,n). часто используют представления Ϭ²i= Ϭ²wi, где числа wi нормированы тк, что ∑wi=n. При wi=1(i=1,n) получаем обычный классический случай. Алгоритм ОМНК прост, т.к. он сводится к применению обычного МНК к избыточной системе уравнений yi/Ϭi=∑βi*(xij/Ϭi)+(Ԑi/Ϭj), (i=1,n), где M(Ԑi/Ϭj)=0, cov(Ԑi/Ϭi,Ԑj/Ϭj)=0 при i≠j. Приложение ВМНК приводит к снижению стандартных ошибок оценок β, по сравнению с ОМНК.

39. частный случай применения доступного ОМНК. Как правило ошибки Ϭi(i=1,n) неизвестны. Для их оценки есть условие:стандартное отношение ошибки пропорционально независимой переменной. Иногда алгоритм можно считать, что Ϭi прямо пропорционально 1 из переменных хi,т.е. Ϭ²i= Ϭ²х1i. Чтобы перейти к клас-ю случаю разделим каждое i-ое ур-е системы: yi=∑βixij+Ԑi,i=1,n. На x1i введем новые регрессоры x’1i=xij/xi1 и отклики Y’i=yi/xi1(i=1,n)(j=0,p-1). При таком преобразовании МНК-оценки β не измен.. Следует иметь в виду, что если xio=1, то МНК-оценки своб.члена и коэффициент при xi1=1, xri в новой модели будут оценками соот. Коэффициенты при xi1 и своб.члена в старой модели.

40. адаптация корреляции во времени. Ошибки Ԑi в моделях, построенных по выполненным в разное время наблюдениям часто коррелируют друг с другом. Запишим MR-модел заменяя I на t: yt=βo+β1xt1+…+βp-1xt,p-1+Ԑt, где t-момент времени(t=1,n). Самое простое предположение о виде зависимости Ԑt состоит в том, что случайная последовательность {Ԑt;t=1,n} образует авторегрессионный процесс 1 порядка Ԑt=pԐt-1+Ut, где {Ut,t=1,n}- последовательность независимых нормально распределенных СВ с нулевым средним и пост.дисперсией Ϭ², з-коэффициент корреляции м/у 2 соседними ошибками. Cov(Ԑt,Ԑt-m)=p^mϬ²_f где Ϭ²=Ϭ²m∫(1-p²) для всех Ԑt(t=1,n). Тогда матрицу ковариации запишим в виде:

Ԑ=Ϭ²t/1-p²(1 p p² … p^n-1)

P 1 p … p^n-2

… … … …

(p^n-1 p^n-2 p^n-3 … 1)

Рассмотрим теперь как оценить параметры модели при неизвестном заранее р(случай, когда зн-е р известно,редко). Наиболее считается алгоритм Кохрейна-Орнатта, этапы:1)система решаетcя обычным МНК, фиксируется вектор остатков е=(е1…еn). 2) МНК-оценка в регрессии ei=pe_i-1+U_t применяется ≈ρ. 3) выполняется преобразование y_t-ρy_t-1=βo(1-p)+β1(y_t1-ρy_t-1,1)+…+β_p-1(y_t,_p-1-ρy_t-1,p-1)+U_t. 4) фиксируется новый вектор е=Y-Xβ 5) повторяется с n2.

Рассмотрим подробнее критерий Дарбина-Уотсона(DW). DW=2(1-r). по ней видно что если м/у et и et-1 есть высокая положительная корреляция, то DW->0; отсутствие корреляции(r->0) означает, что DW->2. При высокой корреляции DW->4. Авторы текста кроме того ввели верхнюю и нижнюю границы текста и зоны неопределенности.

41. введение качественных(фиктивных) переменных. Допустим, что пропущено 1 или несколько значимых регрессеров. Переменные имеют качественный характер. Приизучении зависимости з/п от ряда факторов естественно нужно ввести переменную хк-высшее образование, где хк может принимать 0 или 1. При сдельной оплате труда можно ввести переменную квартал:принимаем 4 зн-я и т.д.,в литературе такие переменные -!фиктивные». пусть в модель для примера вводится хк(3 образования),решим 2 сп-ми:1)вкл в модель фиктивную переменную z и кэффициенты регрессии α: yi=∑βixij+αzi+Ԑi,i=1,n. α оценить одновременно с β-коэффициентом фактор ∑ зн-е 0мжно преписать, если не имеент высшего образования и 1-имеет его. Пусть имеется n(работник) наблюдений из n1-не имеет высшего образования, n2=n-n1-имеет. Z=-n2/ n1*n2*(n1+n2) отсутствует высшее образование, z=n1/ n1*n2*(n1+n2) присутствует. Принимаемая модель, мы считаем, что средня з/п есть: ∑βixij отсутствует, ∑βixij+α присутствует. Величина α как среднее изменение з/п при переходе от одного статуса в другой.

42. переход к линейной по β модели. До сих пор мы рассматривали модели лин.отличного параметра βi. Y=βo+β1zi+…+βpzp+Ԑ (1) где zi функции от осн.незавс.переменных х1…хкю много ситуаций где модель непригодна для описания. Любую модель, не имеющая вид (1)-нелин.модель относительно параметров βi. Y=e^β1+β₂t²+Ԑ некоторые нелин.м. приведены к лин.-м относительно параметров, такие модели-внутрене-лин-и. если модель к лин.виду привести невозможно-внутрене-нелин.-й.МНК в нелин.случаи. пусть пустулируется модель вида y=f(z1…zk;β1…βp)+Ԑ или в матричном виде: Y=f(z,β)+Ԑ;z=(z1…zk)^T;β=(β1…βp)^T. Можно записать в виде M(Y)=f(z,β), что мат.о. M(Ԑ)=0, что Ԑi некоррелированы, D(Ԑi)=Ϭ² b и распределены по ≈N. Введем n(наблюдений) yi,z1i…zki, i=1,n. Запишим yi=f(zi1…zki,β1…βp)+Ԑi или yi=f(zi,β)+Ԑi. Для решения задачи нелин.оценивания введем ∑кв.отклонений S(β)=∑(yi-f(zi,β))^2чтобы найти МНК-оценку β=> производную ф-ию ∑ по β (S(β) по β) получим р норм.уравнений,которые решены относительно β. ∑(yif(zi,β)* f(zi,β)/ βi=0, i=1,p. Нелин.МНК 3 методами:1)линсариация2)наискорейшего спуска3)Марнуардта.все это численные методы.

43. система лин.одновременных ур-й. пусть на основе предположений эк-а-теоретика сформулирована следующая макроэкономическая модель в виде 3 соотношений: y1=αo+α1(y3t-y1t)+Ԑ1 (1) y2=β1y3t-1+β2x2t+Ԑ2t (2) y3=y1t+y2t+x3t, t=1,n (3) где у1-потребление,у2-инвестиции,у3-НД,х1-подоходный налог,х2норма%как инструмент гос-о регулирования, х3-гос.закупки т/у для каждого момента времени. Модель (1)-(3) сод-т 2 ур-я объясняющие поведение потребителей и инвестеров, и одно тождество,причем во (2) используется запаздывание в1период для отображения воздействия НД на инвестиции. Использование в модели переменные подразделяются на эндогенные, экзогенные и предопределенные. Эндогенными -переменные,внутренние по отношению к рассм-й эк.системе. они-взаимозависимы и яв-ся осн.объектом рассмотрения. Экзогенными -переменные,задаваемые(планируемые для эк.задач) извне. Предполагается, что они независимы друг от друга и от ошибок Ԑ. Предопределенными-аргументы, объясняющие переменные вправых частях (1)-(3),вкл. Лаговые эндогенные переменные. В нашей модели у1-у3=эндог-е,х1-х3=экзог-е,х1-х3 и лаговая эндог-я переменная у3t-1 предопределенная переменная. Назначение модели 1-3-объяснение поведения эндогенных переменных в завиисимости от экзог-х и лаговых эндогенных переменных. Внешне незав-е ур-я. Обобщим 1 и3 пусть даны к MR-моделей:

У1=х1β1+Ԑ1

У2=х2β2+Ԑ2 (4)

…

Ук=хкβк+Ԑк

где ук^(n*1)-вектор зависимых переменных хк^(n*pk) матрица незав.переменных, β^(рк*1)-вектор незав.параметров, Ԑк^(n*1)-вектор ошибок, к=1,К. предлагается, что:M(Ԑ_k)=0, D(Ԑ)=M(Ԑ_kԐ^T₁)=Ϭij* In, k=1,K. Для каждой из К MR-моделей проведено одно и то же кол-во наблюдений n/ параметры этих моделей могут быть оценены МНК в условиях класс-й схемы по отдельности если провести совместную обработку этих условий, то конечные результаты совпадут с результатами по отдельности в 2 случаях: а) соблюдается 5.2, т.е. отклики ук=(к=1,К)- не взаимосвязаны или Ϭij=0, к≠I в соот. с (5). Рассмотрим общий подход к решению (4), когда (5) или условие 5.2 нарушается причем (4) внешне не зависит друг от друга. Введем обозначения:

У=(у1) Х=(х1 0 … 0) β=(β1) Ԑ=(Ԑ1) ∑=Ϭкj. K,j=1,K.

… (0 х2 … 0) … …

(ук) … (βк) (Ԑк)

(0 0 … хк)

Перепишим (4) в виде: Y=Xβ+Ԑ. Где для матрицы ковариаций Ԑ справедлива запись в виде произведения 2 матриц. M(ԐԐ^T)= Ω =∑ In. если применить ОМНК, то: βомнк=(X^TΩ^-1X)^-1X^TΩ^-1Y=(X^T(∑^-1 In)X)^-1X^T(∑^-1 In)Y (6) практически формулу (6) можно применить в том случае, если возможно как-то оценить невырожденную матрицу ∑, т.е. использовать доступный ОМНК. Для этого к каждому ур-ю системы (4) применяют МНК, получают векторы остатков ек(к=1,К). оценивают ковариации Ϭкj велечинами S_kj=(e^T_kej)/n. Эффективность оценки βомнк по сравнению с обычной оценкой β будет тем выше,чем сильнее корреляция м/у ошибками.

рассмотрим случай, когда отклики явно зависят друг от друга(ур-е (1)) или когда к явной записи приходят после предварительного анализа коэффициентов корреляции r_yky_j. Вернемся к 1 и без тождества 3. Ее можно рассматривать как простейшую систему в которой 1 и те же переменные могут одновременно играть роль откликов(объясняемых переменных) и роль регрессеров(объясняющих переменных). Систему 1,2 можно переписать в виде:

y1t-αo-α1(y3t-x1t)=Ԑt

y2t-β1y3,t-1-β2x2t=Ԑ2t (7)

ее обощением будет запись которая называется структурной формой:

β11y1t+β12y2t+…+β1kykt+α11x1t+α12x2t+…+α1pxpt=Ԑ1t;

β21y1t+β22y2t+…+β2kykt+α21x1t+α22x2t+…+α2pxpt=Ԑ2t;

…………………………………………………………………………………………. (8)

Βk1y1t+β22y2t+…+β2kykt+α21x1t+α22x2t+…+α2pxpt=Ԑkt

В (8) переменные y1…yk-эндог-и, а х1…хр-предопределенными,вкл как экзог-е, так и лагированные эндог-е переменные. Как обычно, t=1,n-номер наблюдения, Ԑkt(K=1,K. t=1,n)-случайные ошибки. Перехода привычной формой вида (1),(2) в каждом ур-и (8) соот. Β-коэффициент приравнять 1.

Введем обозначения(пиши вертикально):yt=(y1t…ykt), xt=(x1t…xpt), Ԑ=(Ԑ1t…Ԑkt).

Β=(β11…β1k) A=(α11…α1p)

……………. ……………… и перепишим(8) в виде: βy1+Axt=Ԑt(9) и соблюдаются условия:

(Βk1…βkk) (αk1…αkp)

1)M(Ԑ_t)=0 2)M(Ԑ^TԐ_T^T)=∑ 3)векторы Ԑ_T,Ԑ_S-некоррелированы, t≠s 4)матрица В невырождена 5)векторы xt-лин-независ-и, статистически независимы от Ԑ_T 6) система одновременных ур-й идентифицируема. Рассмотрим условие6. Перепишим систему (9) в ином виде, умножая обе ее части слева на β^-1: yt=-β^-1Axt+β^-1Ԑt=Cxt+µt (10) где С=-β^-1A, µt= β^-1Ԑt. Система (10)-приведенной формы модели,эл-ы матриц В и А-структурными коэффициентами а эл-ы м.С-приведенными коэффициентами. структурными коэффициентами в (9) идентифицируем, если он может быть вычислен ч/з коэффициенты приведенной формы(10), соот-о ур-е(9)-идентифицируемым, если идентифициеруемы все его коэффициенты. Можно сказать, что в общес случае(9) неидентифицируема, и превышение числа структурных коэффициентов над числом приведенных коэффициентов соот. (к^2-к), однако, если сущ. Априарные ограничения на структурные коэффициенты, некоторые из низ или некоторые ур-я могут быть идентифицируемы.

44. проблема идентификации модели. рассмотрим проблему идентификации только для 1(первого) ур-я (8) и для случая, когда часть структурных коэффициентов=0 будем считать экзогенными как экзогенные,так и предопределенные переменные. Запишим первое ур-е системы (8) в виде: (β11…β1к1 0…0)(у1)+(α11…α1р1 0…0)(х1)=Ԑ1 (11)

… …

У_к1 х_р1

У_к1+1 х_р1+1

… …

(У_к) (х_р)

Введем обозначения

У_*=(у1) У_**=(у_к1+1) Х_••=(Х_р1+1) β_*=(β₁₁) α_o=(α₁₁) X₀=(x₁)

… … … … … … (12)

(у_к1) (у_к) (х_р) (β_u1) (α₁p₁) (x_p1)

Тогда ур-е (11) запишим в виде

β^ТУ+α^ТХ=Ԑ

согласно разбиению (12) представим матрицу С^(к*р) из (10) в блочной форме С=(С_*,• С_*,••)

(С_**,• С_**,••)

А приведенную форму (10) в виде (у_*)=(С_*,• С_*,••)(х_•) +µ

(С_**,• С_**,••)(х_••)

Это даст нам возможность сформировать системы для определения коэффициентов β и α. Заметим, что ВС=-А, тогда для первых строк этих матриц можно записать

(β)^Т (С_*,• С_*,••)=-(α)^Т β^Т_**С_*,•=-α^Т_* (13)

(О_к-к1) (С_**,• С_**,••) (О_р-р1) переменная получим β^Т_**С_*,••=О_р-р1 (14)

В последнем случае получаем систему (р-р1) ур-й с (к1-1) неизвестными с учетом того, что 1 из элементов вектора β_*=1. После нахождения β_* из (14) можно определить коэффициенты α_*. Для решения (14) нужно чтобы число ур-й (р-р1) ≥(к1-1) (15). Условие (15) нужно для идентификации ур-я. Система (14) будет разрешена только в том случае, если будет соблюдаться условие: rank C_*,••=k₁-1 (16).

45. КМНК. Одной из вычислительных схем решения отдельных ур-й СОУ яв-ся КМНК. Пусть решается 1 ур-е (8), сjд-е к1эндогенных р1 экзогенных переменных, и пусть соблюдается все 6 условий и условие идентификации. K при у1=1. Алгоритм КМНК вкл. В себя:1)оценивание МНК коэффициентов приведенной формы (10) 2)решение систем (13),(14) путем замены элементов матрица С их МНК-оценками. Область применения КМНК довольна ограничена,т.к. чаще всего (15) выполняется со знаком >, т.е. число ур-й больше числа неизвестных. В этом случае возникает проблемы, как выбора вариантов оценок, так и алгоритмизации. Для решения проблемы применяют двухшаговый МНК.

46. 2НМНК. Пусть решается 1 ур-е (8), представленное в виде: y_1t=-β₁₂y_2t-…-β₁,_k1y_k1,₁-α₁₁x_1t-α₁₂x_2t-…-α₁,_p1x_p1,_t+Ԑ_1t, t=1,n. (17)

у₁=(у₁₁) Y₁=(y₂₁ … y_k1,1) X₁=(x₁₁ … x_p1,1) β1=(-β₁₂) α₁=(-α₁₁) Ԑ₁=(Ԑ₁₁) X=(x₁₁ … x_p,1)

(у₁₂) (y₂₂ … y_k1,2) (x₁₂ … x_p1,2) (-β₁₃) (-α₁₂) … (x₁₂ … x_p,2)

… … ……………… … … (Ԑ_1n) ……………..

(у_1n) (y_2n … y_k1,n) (x_1n … x_p1,n) (-β₁,_k1) (-α₁,_p1) (x_1n … x_p,n)

(17) перепишим в следующей форме: y1=Y1β+X1α1+Ԑ1. Из-за коррелированности элементов У1 с вектором ошибок Ԑ1 применение МНК приведет к смещенным и несостоятельным оценкам. Алгоритм 2ШМНК этапы:1)оцениваются коэффициенты приведенной формы обычным МНК У1=ХС1+М, где С1^{(р*(к1-1))-} матрица приведенных коэффициентов, М^(n*(k1-1)- матрица ошибок. Здесь каждый столбец матрицы У1 рассматривается совместно с 1 и тем же набором столбцов Х. 2) вычисляется прогноз У1=ХС1 3)вычсляются оценки структурных коэффициентов β1 и α1 в модели уt=Y1β1+X1α1+Ԑ1. После замены У1 на У1. Если условие (15) выполняется со знаком «=» и справедливо условие (16), то 2ШМНК-оценка совпадает с оценкой КМНК.

47. 3НМНК. 3НМНК можно применить в том случае, когда остатки в различных структурных ур-х (9) коррелируют друг с другом, т.е. их матрица ковариаций не яв-ся диагональной. По сути применение 3НМНК обозначает применение ОМНК к результатам 2НМНК. В соот. С этим отметим только основные этапы алгоритма: 1)оценивают коэффициенты СОУ с помощью 2ШМНК 2)вычисляют остатки для каждого структурного ур-я 3)получают матрицу ковариаций остатков 4)оценивают коэффициенты СОУ ОМНК. Естественно, матрица ковариаций ∑ для структурных остатков может быть приведена к блочно-диагональному виду, то процедуру 3НМНК удобнее применять отдельно для каждого блока.

48. полный перебор. Точным методом для однокорентального случая яв-ся метод полного перебора при котором расчеты ведутся для всех 2^р-1. Последние сравниваются и выбирают наименьшую по заданной мере. Проблемой при реал-и этого метода-чрезмерные затраты манатонного времени, что заставляет вместо1перебора использовать другие стратегии поиска,кол-во переплетенных структур порядка р.

49. метод включения. Начинаем с модели, содержащая βо и регрессор b наибольшей степени коррелирует с У, последовательно добавляет остальные регрессоры в порядке возрастания их частных коэффициентов корреляции с У. на каждом шаге вычисляют зн-я F-критерия для вкл регрессора хi. Fi=t²i и сравнивают с табличным. При выполнении неравенства Fi≤F_T вкл новых регрессоров прекращается.

50. метод исключения. На1этапе выполняются расчеты для исходной полной модели(все вкл), вкл вычисления Fi для каждого регрессора xi. Из набора Fi выбирают Ft с наименьшим зн-м и сравнивают с Ft.

51. метод включения с исключением. Рассмотрим при сильной мультиколлинеарности могут вкл в модель лишние члены, т.к. пееменные, введения в модель на ранней стадии,на более поздней и-за корреляции с переменными в моделе может ок-ся малоинформируемой. Этот недостаток устранится в методе предусм. Использование2 процедур:вкл и иск.. Выбирается из таблиц критич.зн-е Ft1-для вкл, Ft2-для искл.. на каждом этапе вкл проверяется не появилась ли в связи с этим в моделей незначительный фактор подлежащий исключению. Если метод полного перебора реал до р≤10 15, то применяется мв,ми,мви неограничено кол-во регрессеров в модели,т.к. число пербираемых вариантов порядка р. Точность идентификации при использовании последних методов относительно невелика, а при увеличении р она отадает. Практически эти методы польз до р≤20. Применяя мв и ми при мультикол-ти и мви при сильной. Использование ми и мв не всегда приводит к один.модели, а мви дает структуры несовп-е с результатами полного перебора после искл. незначительных факторов. Адаптация к 5.1. обычно условие 5.1 о коррентности методы поиска нарушается, если есть эффект мультиколлинеарности, кол-во регрессеров достаточно большое, перебор невозможен. При соблюдении 3.1 оптим.модель можно получить отображая те регрессеры, для которых ti≤t_T. Начиная с некоторого моменты в условиях мультикол-ти простое отбрасывание незнач.членов будет не коррел-о, с точки зрения оцен-я параметров и с позиции форм-я адекватной стр-ы,т.к. выведенный из модели регрессор может корр-ть с 1 или несколькими оставшимися и не будет ясности в том какой из них больше влияет на у=>набор регрессеров оптимальным.

Поиск по сайту: