Наближення з перетворенням Фур'є (1D)

Ми обмежимося тут в одновимірному випадку. вимірювання від невідомої функції z (х) повинна бути наближена

в [-π, π] за наступною аналітичної функції:

Використання (3-53) і (3-54), ми можемо представити цю функцію у вигляді

Тут ми використовуємо співвідношення (*.1) - (. * 3) з прикладу 3.2.1.4. Як було показано вище, ми отримуємо рівняння для розрахунку коефіцієнтів, де коефіцієнт задається як невід'ємної і залежить від безперервного, але невідомої функції z (х).

Таким чином, ці рівняння також повинні бути "переведені" в дискретної формі, заснованої на даних вимірювань

Це може бути зроблено шляхом застосування добре відомі рівняння (правило трапеції):

Якщо інтервал [-π, π] ділиться на N - 1 інтервалів з вузлами -π = x1,

х2,.,,, ХN = π рівняння (3-58) можуть бути застосовані для кожного інтервалу окремо.

остаточна сума призводить до

Якщо ідентичні довжини h = xi +1 −xi, i = 1 ... N− 1вибирають для інтервалів, ми Отримувати

Таким чином, ми можемо сформулювати загальне правило для обчислення дискретного коефіцієнтів від відповідного перетворення Фур'є-1D, які можуть бути використані для функціональної наближення вимірювань[ z (x 1) ,..., z (xN)] = [ z 1 ,..., zN ] в інтервалі

[-π, Π]. Очевидно, лінійна комбінація ортогональних тригонометричних функцій використовуваний. Нехай [ z (x 1) ,..., z (xN)] = [ z 1 ,..., zN ]бути вимірювання в [-π, π]. ці

Дані можуть бути апроксимовані за допомогою наступної лінійної комбінації ортогональних тригонометричні функції:

Для відповідних коефіцієнтів і це дає:

Для звичайного розтину інтервалу [-π, π], таких як (3-58??) рівнянь

(3-59) може бути спрощена

Примітка: припущення, що вимірювання приймати значення з інтервалу

[-π, Π] не є непереборною обмеженням. Якщо

[Z1,.,,, Zn] належать будь-якому інтервалі [а, Ь], ми можемо застосувати наступну трансформацію попереднє х-координат:

За допомогою цих нових координатах перетворення Фур'є для вимірювань

[ z (x 1) ,..., z (xN)]=[ z 1 ,..., zN ] може бути обчислена.

Нарешті, бек-перетворення повинні бути зроблені для того, щоб наблизити оригінальні вимірювання лінійної комбінації ортогональних функцій тригонометричними:

Кількість 2n + 1 коефіцієнтів Фур'є вибирається незалежно З числа N з даних вимірювань.

Тепер ми покажемо, перетворення Фур'є для простий набір з даних

Приклад 3.2.1.1. Приклад 3.2.1.5 Розглянемо наступні часові виміри від

Приклад 3.2.1.1:

Очевидно, що ці точки не належать інтервалу [-π, π], так до координат

перетворення (3-60) слід проводити:

С (* 0,1) в інтервалі [1, 10] перетворюється в [-π, π]. По-перше, ми п = 3 в

(3-59) і розрахувати сім коефіцієнти для аналітичного уявлення:

Завдяки рівновіддаленості х ми можемо використовувати рівняння (3-59?) І з N = 4 and x 1

Аналогічно, ми маємо: а2 = -0,0667, Ь2 = -0,1732, а3 = -0,0333, b3 = 0, і

в кінці кінців

після retransformation

ми отримаємо аналітичну апроксимацію через перетворення Фур'є для даних вимірювань

(Див 3.16).:

Детальніше про перевірку обгрунтованості перетворення Фур'є процедури можна знайти, наприклад, в Bracewell (1978) і Хеммінга (1973). Заміна синусоїдальні і косинусоидальной функції в ортогональній системі на інтервал [-π, π] з прикладу 3.2.1.4 іншими значимих функцій, визначених для повна речова вісь, що також ортогональні і виконувати деякі додаткові важливо математичні вимоги призводить до деяких корисним узагальнень перетворень Фур'є.

Сплески один з цих узагальнень, і тепер ми обговоримо основну ідею для

побудови 1D-сплесках.

Поиск по сайту: