Однорідні Пуассонові поля

Вважатимемо що поле є однорідним полем Пуассона, якщо воно має наступні властивості:

1. Випадковий число точок N (S₁),..., N (S_n) в непересічних множинах S₁,..., S_n, є стохастично незалежним, це означає, що

P(N (S₁)=k₁,…, N (S_n)=k_n)=P (N (S₁)=k₁)*….*P (N (S_n)=k_n)

2. Випадкове число точок N (S) в наборі розподілу Пуассона з параметром λν (S). З ν (S) обсяг (площа) набору дається. Отже, λ означає середнє значення випадкового числа точок в наборі з обсягом, рівним один. Розподіл Пуассона для числа точок відповідає

Для моделювання однорідних Пуассонових полів наступна властивість має важливе значення: якщо набір включає рівно n точок, то ці точки є рівномірно і незалежно розподілені в цьому наборі.

Властивості незалежності(1) і (2), описані вище, дають можливість обчислити деякі умовні ймовірності. Одна з яких призводить до важливої ​​функції, яка називається D -функцією або, точніше, D (r), яка описує розподіл середньої відстані r від найближчих сусідів до точки точкового процесу. Ми обговорюємо статистичну оцінку для цієї функції для того, щоб краще пояснити її суть. Якщо n точок, розташованих в точках x₁,..., х_n дані в оглядовому вікні, оцінки D (r) функції D (r) можуть бути розраховані наступним чином:

(3-101)

, , ,…, ),

В (3-101) ознака D_i,i = 1,..., n описує відстань до найближчих сусідів точки, розташованої на x_i, i = 1,..., n. В загальному випадки підсумовуються, там де ці відстані менші або дорівнюють r.

Теоретичний розрахунок функції D (r) для однорідних Пуассонових точкових полів призводить до

D(r)=1-exp(-λπr²), r ≥ 0 (3-102)

Щільність цієї функції відповідає

d(r)= 2λπ exp(-λπr²), r ≥ 0 (3-103)

Більш детальну інформацію про формули (3-102) і (3-103) можна знайти в Стоян і Стоян (1994).

Іншою важливою характеристикою є так звана k -функція. Вона точно визначена і середнє проходить з λk (r), що вказує на середнє число точок у колі радіусом r з центром в точці точкового поля. Точка в центрі цього диска не враховується. Для однорідного Пуассонового поля справедливо наступне [див. Стоян і Стоян (1994)]:

K (r)=πr², r ≥ 0 (3-104)

Для деяких додатків доцільно стандартизувати функцію K, що веде до L -функції, яка визначається як

(3-105)

Для однорідних Пуассонових полів це призводить до (див графік 3,36.):

Графік. 3.36 Емпірична L-функція для даних з прикладу 3.3.2.1 (суцільна лінія) і L-функції Пуассонового поля (пунктир)

Моделювання полів Пуассона є важливим завданням, оскільки воно застосовується в області статистики та дає "стартову точку" для моделювання більш складних структур: наприклад, кластерних процесів Неймана-Скотта. На сьогодні, існує багато програмних засобів, які забезпечують моделювання точкового поля. Деталі про алгоритм цього моделювання можна знайти в Stoyan and Stoyan (1994).

Тепер ми розглянемо деякі статистичні підходи для однорідних полів Пуассона. "Статистичні" тут означає, що є реалізація - набір розрізнених точок - невідомого точкового процесу і потрібно оцінити деякі його характеристики. Слід зазначити, що тут, на відміну від "класичної статистики", але подібно до геостатистики, для оцінки використовується одна реалізація. Тому потрібно накласти деякі обмеження для отримання оцінки. Прийнявши однорідне поле, ми можемо оцінити його інтенсивність у вікні спостереження W по частині точок у вікні N (W) і в області вікна ν (W):

(3-106)

Для неоднорідного поля рівняння (3-106) не використовується цей метод, але є інші способи, щоб оцінити функцію інтенсивності [див. Stoyan and Stoyan (1994)].

Є різні методи, які дозволяють нам визначити, чи належить точка до реалізації однорідного поля Пуассона. Розглянемо дві групи методів. Перша описує так звані квадратні методи підрахунку, а друга базується на L-функції. Розглянемо тепер, як ці методи працюють.

Група 1: Метод дисперсійного індексу

По-перше, оглядове вікно розділене на k підобластей рівної площі. Потрібно обрахувати кількість точок N_i, i=1,…,k у кожній області. Якщо припустити, що поле Пуассона (Гіпотеза), N_i, i=1,…,k незалежно і однаково розподілені за зсереднім по області рівній λν (W) / k. Для того щоб перевірити цю гіпотезу, розраховують наступну характеристику (перевірочне значення):

(3-107)

Якщо

або (3-108)

то гіпотеза Пуассона відкидається з імовірністю α помилок типу I.

Позначимо -квантіль ²-розподілу з b ступенями свободи. Stoyan and Stoyan (1994) рекомендують використовувати k>6 і λν(W)/k>1. У разі відхилення процесу пропонуються наступні дві причини: точки не входять в групи або їх модель показує регулярність, більшу очікуваної для реалізації однорідного поля Пуассона.

Зауваження: так званий тест Грейга-Смита—це вдосконалена версія тесту дисперсійного індексу. Докладніше можна знайти в Stoyan and Stoyan (1994).

Група 2: Тести L-функції

Розрахуємо емпіричну L-функцію. Такі тести оцінюють відхилення від розподільних властивостей поля Пуассона в кращий спосіб. Тест базується на основі властивості (3-105). Таким чином, в якості аналізованого значення ми приймаємо наступне:

(3-109)

і припущення про наявність властивостей Пуассона, то наступний вираз може бути використаний в якості оцінки L-функції або емпіричної L-функції в (3-109):

(3-109’)

Якщо властивості Пуассона не виконуються, слід використовувати узагальнене співвідношення між L- і K-функціями (3-105). Неупередженим є також оцінювання для λK(r),λ²K(r) [див. Stoyan and Stoyan (1994) обговорення їх переваг та недоліків]. Практично, оцінку L-функції можна виконати в два етапи. На першому інтенсивність і λK(r) оцінюються за (3-106) і

(3-109’’)

На другому, оцінка для L-функції визначається за (див. рис. 3.36):

(3-110)

Гіпотеза Пуассона заперечується тим фактом, що це не є реалізація процесу Пуассона, якщо аналізоване значення Т стає "надто великим" або більшим, ніж "граничне значення". Це граничне значення може змінюватися для інших оцінок L.

Якщо ця версія L-тесту є неприйнятною, може бути використаний Монте-Карло L-тест:

Імітується 999 реалізацій однорідного поля Пуассона у вікні спостережень з n точок, які задані макетом точок, що аналізується. Емпіричні L-функції оцінюються для кожного зразка, і відповідні аналізовані значення розраховуються (3-109):

(3-111)

Ми розраховуємо порядок цих 999 значень і значення T для заданого макету точок 1000 впорядкованих значень:

(3-111’)

Якщо індекс значення Т, що належить до реальної моделі в цій серії (3-111’) є більшим, ніж 950 або 990, то гіпотеза поля Пуассона повинна бути відхилена з ймовірністю α помилок типу I.

Примітка: Використання тестів Монте-Карло для знаходження критерію згоди для будь-якої точки процесу.

Приклад 3.3.2.1 (продовження) По-перше, ми перевіримо гіпотезу поля Пуассона для даних

з прикладу 3.3.2.1 методом індексу дисперсії. Оглядове вікно на рис. 3.34 розділене на десять субобластей площею 20 × 20 квадратних метрів. Число точок N_i, i=1,…,10 у кожній області вважається:

Для того щоб перевірити цю гіпотезу, розраховується наступна характеристика (тестове значення):

(*.2)

Гіпотеза Пуассона не відкидається з імовірністю α = 0,05 помилок типу І, тому що

(*.3)

Ми можемо зробити висновок, що точки не роз ташовані більш регулярно, ніж потрібно для реалізації однорідного поля Пуассона.

По-друге, обчислимо емпіричну L-функцію. Інтенсивність можна оцінити за (3-106):

(*.4)

Ми використовуємо матриці відстаней для розрахунку λK(r) за (3.109). Для цього, ми обчислюємо число сусідніх на відстанях менше, ніж r метрів для кожної точки. Ці числа підсумовуються по всіх точках даних і діляться на кількість n = 76 цих точок. Використовуючи (3-110), отримуємо емпіричну L-функцію, показану на рис. 3.36.

Поведінка цієї функції для великих r є нехарактерною для реалізації поля Пуассона. Застосування Монте-Карло L-тесту, що базується на обчисленні (3-111) і (3-111’), призводить до відхилення гіпотези поля Пуассона з імовірністю α = 0,05 помилок типу I, що підтверджує той факт, що L-тести більш чутливі, ніж тести індексу дисперсії.

Тепер ми обговоримо деякі деталі, що стосуються неоднорідних полів Пуассона: їх характеристики, статистичні дані та моделювання.

3.3.2.2 Неоднорідні поля Пуассона

Якщо щільність точок в області змінюється, але незалежність властивістей аналогічна до однорідних полів Пуассона, ми говоримо про неоднорідні поля Пуассона. Замість інтенсивності λ, використовується функція інтенсивності λ (х) або міра інтенсивності Λ. Таким чином, друга властивість неоднорідних полів Пуассона змінюється, і тепер відповідає:

2’. Кількість точок N (S) в наборі S відповідно до розподілу Пуассона з параметром Λ (S). Λ (S) описує середню кількість точок у наборі S. Ця міра інтенсивності Λ є дифузною; тобто, немає різноманітних точок. Якщо щільність λ (х) існує з

тоді така щільність називається функцією інтенсивності.

Статистика для неоднорідних полів є складнішою, ніж для однорідних. Однією з проблем є визначення відповідної функції інтенсивності. Є параметричні і непараметричні підходи. Параметричні підходи засновані на методі максимальної імовірності, а непараметричні виражаються за допомогою простої оцінки функції інтенсивності:

(3-112)

З b(x, h) в (3-112) (b виходить з "кулі") диск з центром в х та радіусом h. Вибір придатного параметру h з користю це нетривіальна задача. Для великих h локальні коливання можуть бути затухаючими та зникаючими; для малих h є дуже багато локальних впливів. Тому, це одна з тих псевдоматематичних проблем, які швидше за все, відносяться до категорії «філософських» питань. Остаточна відповідь, про поле, що розглядається, не може бути дана без будь-яких додаткових припущень. Але можна виконувати перевірку різних значень h, доки не будуть отримані правдоподібні результати.

У більш загальному підході використовуються різні функції ядра для оцінки функції щільності. І на кінець, ми говоримо про Matern Cluster Fields. Подальші моделі точкових процесів та детальну інформацію про відповідні статистичні методи можна знайти в Stoyan and Stoyan (1994).

Поиск по сайту: