Теоретичні відомості. Серед парних регресій найбільш поширеною і простою в практиці моделювання є парна лінійна регресія

Серед парних регресій найбільш поширеною і простою в практиці моделювання є парна лінійна регресія.

Парні лінійні регресійні моделі встановлюють лінійну залежність між двома змінними. При цьому одна із змінних вважається залежною змінною (у) та розглядається як функція від незалежної змінної (х). У загальному вигляді проста лінійна регресійна модель записується наступним чином

(2.1)

де u – випадкові відхилення (залишки).

Для того, щоб мати явний вигляд залежності (4.1), необхідно знайти (оцінити) невідомі параметри .

(2.2)

Для побудови економетричної моделі використаємо метод найменших квадратів (МНК). МНК полягає у наступному: теоретична лінія повинна перебувати на оптимальній віддалі від фактичних значень. Математично

. (2.3)

де - параметри прямої.

Необхідною умовою існування мінімуму є рівність нулю часткових похідних функціоналу Q по

. (2.4)

Розкриємо дужки і отримаємо систему нормальних рівнянь

. (2.5)

Невироджена система нормальних рівнянь має єдиний розв'язок, який можна знайти за формулою

, (2.6)

де - вектор параметрів моделі;

- матриця статистичних даних факторної ознаки;

- вектор статистичних даних результуючої ознаки.

Щільність зв'язку між факторною і результативною ознаками можна знайти за допомогою коефіцієнта кореляції

(2.7)

та коефіцієнта детермінації

, (2.8)

де - середнє значення відповідно ;

- фактичні значення і-го спостереження;

- теоретичні значення і-го спостереження.

Якщо , то щільність зв'язку велика, коли - зв'язок відсутній. Якщо , то можна зробити висновки, що зв'язок щільний.

Відповідь на питання про адекватність побудованої моделі може дати критерій Фішера (F-критерій).

Для цього розраховується величина F

(2.9)

де - ступені вільності;

m – кількість незалежних змінних;

n - кількість спостережень.

За статистичними таблицями F-розподілу з ступенями вільності k₁ та k₂ при заданому рівні ймовірності знаходимо значення . Якщо , то побудована регресійна модель адекватна статистичним даним генеральної сукупності. В протилежному випадку необхідно визначитися:

чи достатня статистична база;

- чи вірно обрана модель для опису економічного процесу

та провести коректування моделі.

Якщо встановлено, що із заданою ймовірністю економетрична модель адекватна спостережувальним даним і соціально-економічні умови за період прогнозування змінюються за закономірностями, що мають місце і в базовому періоді, то точкова оцінка прогнозу знаходиться за формулою

. (2.10)

Важливо також знайти інтервали довіри. Інтервали довіри – це інтервали, у які з певною заданою ймовірністю потрапляє дійсне значення залежної змінної. Такий інтервал довіри для прогнозного значення знаходимо за формулою

, (2.11)

де

. (2.12)

(2.13)

Для оцінки еластичності результуючої ознаки при будь-якому значенні факторної ознаки використовується коефіцієнт еластичності

(2.14)

Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо фактор зміниться на 1%.

Хід роботи:

1. Будуємо однофакторну модель виду у=а0+а1*х. Для цього спочатку знаходимо всі потрібні нам дані, в тому числі й параметри регресії а0 та а1.

Х=

Вектор статистичних даних результуючої ознаки:

У=

X^Т=

у_t=5,678008+1,913696*х

2. Перевіряємо щільність зв’язку між факторами за допомогою коефіцієнта кореляції та коефіцієнта детермінації.

Необхідні для цього дані наведені нижче:

Коефіцієнт кореляції становить:

Розраховую коефіцієнт детермінації. Дані для цього наведені нижче.

R²= 164,4334/19,13181

R²= 0,897345 – коефіцієнт детермінації

Коефіцієнти детермінації і кореляції наближаються до одиниці, значить щільність зв’язку велика.

3. Оцінюю надійність моделі за допомогою критерію Фішера.

1. Оцінюю надійність моделі за допомогою критерію Фішера.

Здійснивши розрахунки знаходжу критерій Фішера:

F= 11,64509

F>F_кр 11,64509 >4,67 значить побудована регресійна модель адекватна статистичним даним генеральної сукупності.

Оцінка прогнозу знаходжу за формулою 2.10. у_р= 21,37031

2. Знаходжу прогнозне значення та інтервал довіри для прогнозу.

σ_зал= 1,213127

t= 2,16

∆ŷ_р= 2,886695

Отже, інтервал довіри має вигляд 18,48362 ≤ у ≤ 24,25701

3. Визначаю коефіцієнт еластичності в точці прогнозу.

E= 5,678008*16/(5,678008+1,913696*16)= 2,5029

Оскільки коефіцієнт еластичності становить 2,5029, то при зміні фактора на 1% показник зміниться на 2,5029%.

4. Навести графічну інтерпретацію моделі.

Висновок: на цій лабораторній роботі, я навчився будувати лінійну економетричну модель виду у=а0+а1*х та досліджувати її адекватність. В процесі даної роботи я перевірив істотність зв’язку між факторами за допомогою коефіцієнта кореляції і коефіцієнта детермінації; оцінив надійність моделі за допомогою критерію Фішера, знайшов прогнозне значення та інтервал довіри для прогнозу, визначив коефіцієнт еластичності в точці прогнозу та навів графічну інтерпретацію моделі.

Поиск по сайту: