Практическое занятие

Тема. N – мерный арифметический вектор. Линейные операции над векторами (сложение, умножение на число, линейная комбинация векторов). Линейная зависимость и независимость систем векторов. Ранг и базис системы векторов, пространства . Представление вектора в данном базисе , координаты вектора. Скалярное произведение, ортогональность векторов.

Арифметическим вектором называется всякая упорядоченная совокупность из чисел: и обозначается . Числа называются компонентами вектора , число компонент называется его размерностью. Векторы и называются равными, если они одной размерности и их соответствующие элементы равны: , . Суммой (разностью) векторов и одной размерности, называется вектор той же размерности, для которого: , . Произведением вектора на число называется вектор той же размерности, для которого: , . Линейной комбинацией векторов и одной размерности, называется вектор той же размерности ( и - произвольные числа), для которого: , . Скалярным произведением векторов и называется число, определяемое формулой: . Два вектора и называются ортогональными, если .

Множество всех -мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям (аксиомам) называется пространством арифметических векторов (векторным пространством) и обозначается . Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа , не равные одновременно нулю, такие, что (где - нулевой вектор). Если равенство выполняется, только при , то система называется линейно независимой. Базисом системы векторов называется упорядоченная система векторов , удовлетворяющая условиям: 1) , ; 2) система линейно независима; 3) для любого вектора найдутся числа , такие, что . Коэффициенты , однозначно определяемые вектором , называются координатами вектора в базисе , а формула называется разложением вектора по базису . Рангом системы векторов называется число векторов в любом из её базисов и обозначается или . В пространстве базисом является всякая упорядоченная система из линейно независимых векторов: . Ранг пространства равен и называется его размерностью. Координаты одного и того же вектора в двух базисах и связаны соотношением: , где матрица , столбцами которой являются коэффициенты разложения векторов по базису : , , называется матрицей перехода от базиса к базису . Понятие ранга матрицы используется для исследования линейной зависимости системы векторов и нахождения её ранга. Ранг системы векторов равен рангу матрицы, столбцами которой являются координатные столбцы векторов системы. Система векторов будет линейно зависима, если её ранг меньше числа векторов в системе.

В задачах 1.59-1.60 найти линейные комбинации векторов, если заданы арифметические векторы: ,

1.59 а) ; б) . 1.60 а) ; б) .

В задачах 1.61-1.62 найти вектор из уравнений.

1.61 , где , , .

1.62 , где , , .

В задачах 1.63-1.68 выяснить, являются ли следующие системы арифметических векторов линейно зависимыми или линейно независимыми.

1.63 , . 1.64 , .

1.65 , , . 1.66 , , .

1.67 , , , .

1.68 , , , .

1.70 Представить вектор как линейную комбинацию векторов и :

а) ; б) ; в) .

1.71 Найти все значения при которых вектор линейно выражается через векторы :

а) , , , ; б) , , , ;

в) , , , ; г) , , , .

1.73 Найти какой-нибудь базис системы векторов и выразить через этот базис остальные векторы системы:

а) , , ;

б) , , , .

1.74 Показать, что векторы образует базис в и вычислить координаты вектора в этом базисе.

1.75 Найти координаты вектора в базисе :

а) , , , ; б) , , , ;

в) , , , , ;

г) , , , , , .

1.76 Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе :

а) , б) , в) , г) ,

; ; ; .

В задачах 1.88-1.90 найти ранг системы векторов

1.88 , , , , .

1.89 , , , .

1.90 , , .

1.123.1 Вычислить скалярное произведение векторов и выяснить будут ли они ортогональными.

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответы.

1.59 а) (1,4,-7,7); б) (4,6,-35,-1) 1.60 а) (70,40,-20,-16); б) (51,26,37/2,-23/2)

1.61 1.62 1.63 Независима. 1.64 Зависима. 1.65 Независима. 1.66 Зависима. 1.67. Независима. 1.68 Зависима. 1.70 а) ; б) ; в) . 1.71 а) ; б) -любое число; в) ; г) такого не существует. 1.73 а) ; б) . 1.74 1.75а) ; б) ; в) ;г) 1.76 а) ; б) ; в) ; г) . 1.88 3 1.89 3 1.90 2 1.123.1 а) , да; б) , нет; в) , нет; г) , да.

Поиск по сайту: