РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт – ЭНИН

Кафедра – Теоретической и промышленной теплотехники

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

Отчет по лабораторной работе № 1

по курсу «Математическое моделирование и расчеты теплотехнических систем»

Выполнил студент гр. 5Б12 ________ _______ А.С. Солодкин

^{Подпись Дата И.О.Фамилия}

Проверил доцент ________ _______ С.В. Сыродой

^{Подпись Дата И.О.Фамилия}

Томск – 2013

Цель работы: решение нелинейных уравнений методом простых итераций, анализ полученных результатов, оценка точности метода.

Задание: Решить нелинейное уравнение x² - x³ + 3 = 0 методом простых итераций при x є (1;2) с точностью δ=0.01, δ=0.001.

Теоретическая часть:

Пусть с точностью необходимо найти корень уравнения f(x) = 0, принадлежащий интервалу изоляции [a,b]. Функция f(x) и ее первая производная непрерывны на этом отрезке.

Для применения этого метода исходное уравнение f(x) = 0 должно быть приведено к виду x = φ(x)

В качестве начального приближения x₀ выбираем любую точку интервала [a,b].

Далее итерационный процесс поиска корня строится по схеме:

x₁ = ƒ(x₀),

x₂ = ƒ(x₁),

………..

x_n = ƒ(x_n-1)

В результате итерационный процесс поиска реализуется рекуррентной формулой. Процесс поиска прекращается, как только выполняется условие

f(x) ε

или число итераций превысит заданное число N.

Решение:

На основе полученных теоретических данных составим блок-схему для решения для данной задачи:

-

+

По данной блок-схеме составим программу для решения поставленной задачи:

program iteracii;

uses crt;

var y, x, e:real;
k:integer;

begin clrscr;

k:=0; {начальное «зануление» счетчика}

writeln(‘введите точность вычислений и начальное приближение’);

readln(e,x);

while k<10000 do {создание предела итераций для случая расходящегося выражения y(величина k выбирается, исходя из сложности вычисления)}

Begin

k:=k+1; {отсчет итераций}

write(k, ‘ ‘); {вывод промежуточных значений порядка итерации}

y:=exp(1/3*ln(x*x+3); {вычисление следующего значения приближения}

writeln(y:10:5); {вывод промежуточного значения приближений}

x:=y; {сохранения промежуточного значения итерации с целью вычисления последующих}

writeln((x*x-x*x*x+3):10:5); {вывод промежуточных значений функции}

if (abs(x*x-x*x*x+3)<e) then break; {проверка условия точности}

end;

writeln(‘значение конечного приближения’, y:10:5);

writeln(‘число итераций’, k);

End.

Полученные результаты:

k – порядок итерации, у – значение приближения, f(x) – значение функции при данном приближении

Таблица 1

для δ=0.01 и x₀=1.1

Таблица 2

для δ=0.001 и x₀=1.1

Вывод: В ходе работы получены следующие решения для уравнения

x² - x³ + 3 = 0 с различной степенью точности:

для δ=0.01 и x₀=1.1 (см. Таблица 1):

f(x) = 0.00944 δ; x = 1.86229; k = 6

для δ=0.001 и x₀=1.1 (см. Таблица 2):

f(x)= 0.00043 δ; x = 1.86364; k = 9

Анализируя полученные данные, можно сказать, что данный метод весьма удобен для решения уравнений с небольшой степенью точности, что связано с небольшим числом итераций, возникающих в ходе решения. Также можно отметить, что вычисления можно сократить путем более точного выбора начального приближения, т.к. подобное действие сократит число итераций. Рассмотрев два решения уравнения с различной степенью точности, необходимо заметить, что увеличение точности вычислений приводит и к увеличению числа итераций в связи с усложнением расчетов.

Поиск по сайту: