Алгебраические структуры

Алгебраические структуры определяются множеством элементов и конечным набором заданных на этом множестве алгебраических операций.

Пусть Х – множество. n-арной алгебраической операцией на Х называется отображение j: Хn ®Х.

Задать n-арную операцию на множестве Х – это значит задать правило, которое любому упорядоченному набору из n элементов множества Х ставит в соответствие однозначно определенный элемент того же множества Х.

Группы

Множество G объектов произвольной природы, на котором задано действие умножения (или сложения), то есть для любых двух элементов f, g Î G их произведение (сумма) fg также принадлежит G, называется мультипликативной (аддитивной) группой, если выполняются следующие условия:

1. Выполнен закон ассоциативности для всех f, g, h из G

(f g) h = f (g h).

2. Во множестве G существует единичный элемент e такой, что для любого gÎG

eg = ge = g.

3. Для любого g из G существует обратный элемент g -1 из G такой, что

gg-1 = g -1g = e.

Группа G называется абелевой или коммутативной, если для любых f, gÎG выполнен закон коммутативности, то есть

fg = gf.

Элементы группы, для которых выполняется последнее равенство, называются перестановочными. В каждой группе существуют перестановочные элементы, например, единичный элемент является перестановочным с любым элементом. Совокупность элементов, перестановочных с любым элементом группы, называется ее центром. Ясно, что центр любой группы содержит единичный элемент.

Не все коммутативные бинарные операции ассоциативны. Например, если в качестве “умножения” * использовать среднее арифметическое двух вещественных чисел, то эта коммутативная операция неассоциативна. Действительно,

(a*a)*b=a*b=(a+b)/2,

a*(a*b)=a*((a+b)/2)=(3a+b)/4.

Если рассматриваемое множество обладает только свойством 1, то это множество является полугруппой, если множество обладает свойствами 1 и 2, то оно является полугруппой с единичным элементом или моноидом.

Примеры полугрупп. Множество натуральных чисел с операцией сложения <N,+> - коммутативная полугруппа (нет нейтрального элемента).

Множество натуральных чисел с операцией умножения <N,*> - коммутативная полугруппа с единицей (коммутативный моноид). (нет обратных для всех элементов не равных 1)

Примеры групп: <Z, +>- коммутативная (абелева) группа. 0 – единичный элемент, для любого n есть обратный –n.

Все отличные от нуля рациональные числа и все отличные от нуля действительные числа образуют коммутативные группы по умножению.

В группе возможно сокращение справа и слева. Если ax=ay или xa=ya, то x=y. Действительно, умножая слева первое равенство на a-1, получим

a -1ax=a -1ay, то есть ex=ey, x=y.

Подмножество Н группы G называется подгруппой, если H вместе с каждой парой элементов содержит и их произведение, обратные элементы и единичный элемент. Аналогично определяется подгруппа аддитивной группы. Каждая группа имеет в качестве подгруппы себя и единичный элемент.

Примеры подгрупп. Множество {+1, -1} является подгруппой мультипликативной группы Q*. Группа целых чисел по сложению Z+ содержит подгруппу четных чисел.

Центр группы G является ее подгруппой. Действительно, если а, b принадлежат центру группы, то для всех элементов x группы G имеет место равенство ax = xa. Умножая слева и справа это равенство на a-1, получим равенство

a-1axa-1 = a-1xaa-1,

с учетом равенства a-1a=aa-1=e получим xa-1 = a-1x, то есть центр вместе с каждым элементом содержит и обратный элемент. Умножим обе части равенства ax = xa на b. Получим bax = bxa. В силу перестановочности a, b меняем местами a и b в левой части равенства и меняем местами b и x, затем b и а в правой части равенства. получаем abx = xab, то есть центр вместе с элементами a,b содержит их произведение.

Кольца

Кольцом называется алгебра Х с двумя ассоциативными операциями - "сложение" (+) и "умножение" (*), которая удовлетворяет следующим аксиомам:

1. <X, +> - коммутативная группа (по сложению).

2. <X, *> - полугруппа (по умножению).

3. для любых элементов x, y, z Î X имеют место равенства:

(x+y)z=xz+yz

z(x+y)=zx+zy

Если при этом существует нейтральный элемент (единица) для «умножения», то кольцо называется с единицей. Если операция «умножения» коммутативна, то кольцо коммутативное.

Примеры колец.

Множество целых чисел с операциями умножения и сложения <Z, +, *> - коммутативное кольцо с единицей.

Множество рациональных чисел с операциями умножения и сложения <Q, +, *> - коммутативное кольцо с единицей.

Кольцо называется областью целостности (или целостным кольцом), если из равенства аb = 0 следует, что хотя бы один из сомножителей а или b равен нулю. В противном случае, то есть если ab = 0 при а ¹ 0, b ¹ 0, элементы а и b называются делителями нуля. Пример: кольцо вычетов по модулю 35. Для а=10, b=21 имеем ab = 210º0 (mod 35).

Примером целостного кольца является кольцо классов вычетов по простому модулю. Сокращение равенств ax = ay, xa = ya на элемент a возможно лишь в том случае, если a не является делителем нуля. Например, в кольце Z/35Z справедливо равенство 5×2 = 5×9, но 2¹9.

Число обратимых элементов кольца вычетов по модулю n равно j(n) (если элемент кольца Z/nZ имеет неединичный НОД с n, то он необратим).

Конечные поля.

Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обладает обратным относительно операции умножения, называется полем.

Примеры полей:

а) поле рациональных чисел Q (бесконечное);

б) поле вещественных чисел R (бесконечное);

в) поле комплексных чисел C (бесконечное);

г) поле вычетов по модулю простого числа р Z/рZ (конечное), обозначаемое Fp.

Если мы будем проводить цепочку сложений единичных элементов поля 1+1+1+..., то возможны два случая: после конечного числа р сложений сумма в первый раз станет нулевой либо она не станет нулевой после конечного числа сложений. В первом случае говорят, что поле имеет характеристику р, во втором - что поле имеет характеристику 0. Характеристика поля может быть только простой. Поле не имеет делителей нуля.

В полях характеристики р имеют место равенства:

(a+b)p = ap +bp,

(a-b)p = ap - bp.

Доказательство. Разложим (a+b)p по формуле бинома:

(a+b)p = ap + (p(p-1)/2)ap-1b+...+ (p(p-1)/2)abp-1 +bp.

Здесь все слагаемые, кроме первого и последнего, делятся на простое число p, то есть сравнимы с нулем по модулю p и поэтому могут быть опущены. Предложение доказано.

Это утверждение допускает обобщение: вместо показателя p можно ставить показатель pf, f - натуральный показатель.

Поиск по сайту: