РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Арифметика комплексных чисел

Для цепей переменного тока, так же как и для цепей постоянного тока, справедливы законы Кирхгофа. Поэтому все основанные на их использовании методы расчета цепей применимы и для цепей переменного тока. Однако токи, сходящиеся в узле, так же как и напряжения, действующие на элементах контура, суммируются геометрически, т. е. складываются соответствующие векторы.

В этом случае электротехническая задача может быть сведена к задаче геометрической, к расчету треугольников.

Такой метод требует точного построения векторной диаграммы, что невозможно без проведения предварительных расчетов токов и напряжений приемника.

Символический метод расчета электрических цепей основан на описании векторов комплексными числами, что позволяет заменить геометрическое сложение векторов суммированием комплексных чисел, соответствующих векторам.

В данный момент времени положение вращающегося вектора на плоскости можно описать двумя методами:

1) задавая его проекции на оси координат.

2) задавая его длину (в математике длина вектора называется модулем) и угол, который вектор образует с положительным направлением горизонтальной оси.

Положение вектора на комплексной плоскости можно записать (рис. 12):

.

Сомножители 1 перед a и j перед b указывают, на какие оси спроектирован вектор. Подчеркивание снизу символа A означает комплексную величину.

Такая форма записи называется алгебраической и удобна для проведения операций сложения и вычитания. Например, требуется сложить два вектора: и . Имеем:

.

Из рисунка 12видно, что проекции вектора A на оси равны:

a=Acosj, b=Asinj,

где А – модуль или длина вектора A (обратите внимание, что этот символ не имеет никаких подчеркиваний).

Тогда:

A =Acosj + jAsinj = A(cosj + jsinj).

Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Учитывая, что cosj + jsinj = e^jj, получаем:

A =A e^jj.

Такая форма записи комплексного числа называется показательной, она удобна для умножения и деления. Например, требуется перемножить и разделить векторы: A =5 e^j30, В =10 e^-j90. Имеем:

,

.

Для перехода от показательной формы записи к алгебраической и, наоборот, от алгебраической к показательной воспользуемся треугольником, выделенным на рисунке 12, и применим теорему Пифагора:

Например:

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ АКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ R,
КОНДЕНСАТОРА С И ИНДУКТИВНОСТИ L

Рассмотрим цепь с активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями, включенными последовательно (рис.13).

Рис.13. Последовательное соединение элементов цепи.

Для анализа схемы разложим напряжение сети U на три составляющие:
U_R - падение напряжения на активном сопротивлении,
U_L - падение напряжения на индуктивном сопротивлении,
U_C - падение напряжения на емкостном сопротивлении.

Ток в цепи I будет общим для всех элементов:

Следует отметить, что напряжения на отдельных участках цепи не всегда совпадают по фазе с током I.
Так, на активном сопротивлении падение напряжения совпадает по фазе с током, на индуктивном оно опережает по фазе ток на 90° и на емкостном - отстает от него на 90°.
Графически это можно показать на векторной диаграмме (рис. 14).

Рис. 14. Векторная диаграмма

Изображенные выше три вектора падения напряжений можно геометрически сложить в один (рис. 15).

Рис. 15. Сложение трех векторов напряжения.

В таком соединении элементов возможны активно-индуктивный или активно-емкостный характеры нагрузки цепи. Следовательно, фазовый сдвиг имеет как положительный, так и отрицательный знак.
Интересным является режим, когда = 0.
В этом случае

Такой режим работы схемы называется резонансом напряжений.
Полное сопротивление при резонансе напряжений имеет минимальное значение:
, и при заданном напряжении U ток I может достигнуть максимального значения.
Из условия определим резонансную частоту

Явления резонанса напряжений широко используется в радиотехнике и в отдельных промышленных установках.

Задача3. Электрическая цепь, показанная на рис. 3.1. питается от источника синусоидального тока с частотой 200 Гц и напряжением 120 В. Дано: R = 4 Ом, L = 6,37 мГн, C = 159 мкФ.

Вычислить ток в цепи, напряжения на всех участках, активную, реактивную, и полную мощности. Построить векторную диаграмму, треугольники сопротивлений и мощностей.

Рис. 3.1.

1. Вычисление сопротивлений участков и всей цепи

Индуктивное реактивное сопротивление

X_L = 2πf L = 2×3,14×200×6,37·10^-3 Ом.

Емкостное реактивное сопротивление

X_C = 1 / (2πf C) = 1 / (2×3,14×200×159·10^-6) Ом.

Реактивное и полное сопротивления всей цепи:

X = X_L - X_C = 3 Ом; Ом.

2. Вычисление тока и напряжений на участках цепи

Ток в цепи

I = U / Z = 120 / 5 А.

Напряжения на участках:

U₁ = R I = 96 В; U₂ = X_L I = 192 В; U₃ = X_C I = 120 В.

3. Вычисление мощностей

Активная мощность

P = R I² = U₁ I = 2304 Вт.

Реактивные мощности:

Q_L = X_L I² = U₂ I = 4608 ВАр; Q_C = X_C I² = U₃ I = 2880 ВАр.

Полная мощность цепи

ВА.

4. Расчет цепи методом комплексных чисел

Запишем в комплексном виде сопротивление каждого элемента и всей цепи

R = 4e^j0° = 4 Ом; X_L = 8e^+j90° = j8 Ом; X_C = 5e^-j90° = -j5 Ом.

Z = R + j(X_L - X_C) = 4 + j(8 - 5) Ом.

На комплексной плоскости в масштабе: в 1 см – 2 Ом, построим треугольник сопротивлений (рис. 3.2. а).

Рис. 3.2.

Из треугольника определим величину полного сопротивления Z и угол фазового сдвига φ

Ом;

.

В показательной форме полное сопротивление всей цепи запишется в виде

Z = Ze^+jφ = 5e^+j37°Ом.

Примем начальную фазу приложенного к цепи напряжения за нуль и определим по закону Ома ток в данной цепи

Í = Ú / Z = 120e^+j0° / 5e^+j37° А.

Следовательно, в данной цепи ток отстает по фазе от напряжения на угол φ. Зная величину тока I, определим мощности для отдельных элементов и всей цепи.

P = 2304 Вт; Q_L = 4608 ВАр; Q_C = 2880 ВАр.

.

Треугольник мощностей в масштабе: в 1 см – 1000 Вт (ВАр); (ВА), построим (рис. 3.2. б) на основе выражения для полной мощности

S² = P² + (Q_L - Q_C)².

Для построения векторных диаграмм по току и напряжениям примем начальную фазу тока равной нулю, т.к. ток I в данной схеме является одним и тем же для всех элементов в цепи.

Í = Ie^+j0° / 24e^+j0°А.

Запишем выражения для напряжений в комплексной форме

Ú₁ = R Í = 96e^+j0° В; Ú₂ = X_L Í = 192e^+j90°В;

Ú₃ = X_C Í = 120e^-j90° В; Ú = Z Í = 120e^+j37° В.

Выберем масштабы для векторной диаграммы: в 1 см – 6 А; в 1 см – 50 В. Векторная диаграмма напряжений строится на основе второго закона Кирхгофа для данной цепи

Ú = Ú₁ + Ú₂ + Ú₃.

Векторная диаграмма цепи показана на рис. 3.2. в. При последовательном соединении элементов построение диаграммы начинают с вектора тока Í, по отношению к которому ориентируются вектора напряжений на участках цепи: напряжение на активном сопротивлении Ú₁ совпадает с ним по направлению, напряжение на индуктивности Ú₂ опережает его на 90°, на емкости отстает на 90°. Полное напряжение Ú строится как их векторная сумма.

Поиск по сайту: