 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Полное приращение и полный дифференциал
Пусть Р(х, у) и Р1(х1, у1) – точки области D, в которой задана функция z=f(x, y). Найдем изменение функции при переходе из точки Р в точку Р1. Разность значений функции в точках Р и Р1 называется полным приращением функции z = f(x, y) в точке Р и обозначается Δ z(x, y) или Δ f(P):
Δ z(x,y) = Δ f(P) = f(P1) − f(P) = f(x1, y1) − f(x,y).
Обозначим приращение аргументов х и у при переходе из точки Р в точку Р1 через Δ х и Δ у: Δ х = х1 − х, Δ у = у1 − у. Следовательно,
Δ z(x,y) = f(x + Δ x, y + Δ y) − f(x,y).
Геометрически эта разность дает приращение аппликаты графика функции z = f(x, y) при переходе из точки Р в точку Р1. Используя понятие полного приращения функции, можно дать определение непрерывности функции в точке, равносильное данному ранее определению 6.
Теорема 1. Для того, чтобы функция z = f(x, y) была непрерывна в точке Р0(х0,у0), необходимо и достаточно, чтобы полное приращение функции Δ z(P0) стремилось к нулю при Δ x и Δ y, стремящихся к нулю.
Определение 2. Функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке Р(х, у), если ее полное приращение Δ z(Р) можно представить в виде:
Δ z(Р) = А Δ x + В Δ y + γ, (3)
где А и В не зависят от Δ x и Δ y, а γ = γ (х, у, Δ x, Δ y) - бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем ρ = 
при ρ → 0.
Таким образом, полное приращение дифференцируемой функции представимо в виде двух слагаемых, одно из них (А Δ x + В Δ y) линейно зависит от Δ x и Δ y, а другое (γ) – мало′ по сравнению с ρ (γ= о (ρ)) при ρ → 0. Отметим, что ρ равно расстоянию между точками Р1 и Р, поэтому условие ρ → 0 (Δ x → 0 и Δ у → 0 одновременно) равносильно условию Р1 → Р.
Слагаемое А Δ x + В Δ y в (3) при ρ ≠ 0 составляет главную часть полного приращения функции и, как отмечалось выше, линейно зависит от Δ x, Δ y. Выражение А Δ x+В Δ y называется полным дифференциалом функции z = f(x, y) и обозначается dz или df(x, y). В случае ρ = 0 полагают dz = 0.
Определение 3. Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно Δ x и Δ y, т. е.
df(x, y) = А Δ x + В Δ y.
Из равенства (3) и теоремы 1 следует, что всякая дифференцируемая функция непрерывна.
Кроме того, из условия дифференцируемости функции в точке следует, что в данной точке существует полный дифференциал. Следующая теорема устанавливает связь между понятием дифференцируемости (дифференциалом) и частными производными.
Теорема 2. Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке Р(х, у), то в этой точке существуют частные производные z ′ x, z ′ y и справедливо равенство:
dz(x, y) = z ′ x Δ x + z ′ y Δ y. (4)
Отметим, что, в отличие от функции одной переменной, обратная теорема неверна: из существования частных производных еще не следует дифференцируемость функции. Однако если предположить, что частные производные не только существуют, но и непрерывны, то функция будет дифференцируемой. Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Если функция z = f(x, y) имеет частные производные в некоторой окрестности точки Р(х, у), которые непрерывны в точке Р(х, у), то полное приращение представимо в следующем виде:
Δ f(Р) = f ′ x Δ x + f ′ y Δ y + αΔ x + βΔ y,
где α и β стремятся к нулю при Δ х → 0 и Δ у → 0.
Легко показать, что γ = α Δ х + β Δ у = ο (),следовательно, теорема 3 дает достаточное условие дифференцируемости функции в точке.
Приращения Δ х и Δ у независимых переменных х и у функции z = f(x, y) (как и в случае функции одной перерменной) будем называть их дифференциалами обозначать dx и dу, соответственно. Тогда согласно формуле (4) выражение полного дифференциала примет вид:
dz = f ′ x dx + f ′ y dy или dz = 
. (5)
В отличие от полного дифференциала функции z = f(x, y) выражения d xz = 
dx и dy z = 
dy называют частными дифференциалами этой функции.
Предыдущие рассуждения и определения соответствующим образом обобщаются на функции любого конечного числа переменных. Например, полный дифференциал функции f(х1, х2,..., хn) определяется равенством:
т. е. равен сумме частных дифференциалов по всем переменным.
Все известные правила нахождения дифференциалов остаются справедливыми для функций нескольких переменных. В частности, для любых дифференцируемых функций u = u(P) и v = v(P) и константы с справедливы следующие формулы:
Поиск по сайту: