АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Полное приращение и полный дифференциал

Читайте также:
  1. V. Полный опросник для больных неврозами по э. Берну (в модификации м. Е. Литвака)
  2. V2: ДЕ 32 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная
  3. V2: ДЕ 35 - Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производные высший порядков
  4. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  5. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  6. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  7. VI Дифференциальные уравнения
  8. Анализ резисторной дифференциальной системы
  9. Анализ трансформаторной дифференциальной системы
  10. Аналоговые перемножители на дифференциальных каскадах
  11. Библиотека инструкций по охране труда (полный список всех инструкций)
  12. Бланк методики «Культурно-ценностный дифференциал» 1 страница

 

Пусть Р(х, у) и Р1(х1, у1) – точки области D, в которой задана функция z=f(x, y). Найдем изменение функции при переходе из точки Р в точку Р1. Разность значений функции в точках Р и Р1 называется полным приращением функции z = f(x, y) в точке Р и обозначается Δ z(x, y) или Δ f(P):

 

Δ z(x,y) = Δ f(P) = f(P1)f(P) = f(x1, y1)f(x,y).

 

Обозначим приращение аргументов х и у при переходе из точки Р в точку Р1 через Δ х и Δ у: Δ х = х1х, Δ у = у1у. Следовательно,

 

Δ z(x,y) = f(x + Δ x, y + Δ y)f(x,y).

 

Геометрически эта разность дает приращение аппликаты графика функции z = f(x, y) при переходе из точки Р в точку Р1. Используя понятие полного приращения функции, можно дать определение непрерывности функции в точке, равносильное данному ранее определению 6.

Теорема 1. Для того, чтобы функция z = f(x, y) была непрерывна в точке Р0(х0,у0), необходимо и достаточно, чтобы полное приращение функции Δ z(P0) стремилось к нулю при Δ x и Δ y, стремящихся к нулю.

Определение 2. Функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке Р(х, у), если ее полное приращение Δ z(Р) можно представить в виде:

Δ z(Р) = А Δ x + В Δ y + γ, (3)

где А и В не зависят от Δ x и Δ y, а γ = γ (х, у, Δ x, Δ y) - бесконечно малая вели­чина более высокого порядка малости, чем ρ = при ρ → 0.

 

Таким образом, полное приращение дифференцируемой функции представимо в виде двух слагаемых, одно из них (А Δ x + В Δ y) линейно зависит от Δ x и Δ y, а другое (γ) – мало′ по сравнению с ρ (γ= о (ρ)) при ρ → 0. Отметим, что ρ равно расстоянию между точками Р1 и Р, поэтому условие ρ → 0 (Δ x → 0 и Δ у → 0 одновременно) равносильно условию Р1Р.

Слагаемое А Δ x + В Δ y в (3) при ρ ≠ 0 составляет главную часть полного приращения функции и, как отмечалось выше, линейно зависит от Δ x, Δ y. Выражение А Δ x+В Δ y называется полным дифференциалом функции z = f(x, y) и обозначается dz или df(x, y). В случае ρ = 0 полагают dz = 0.

Определение 3. Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называ­ет­ся главная часть полного приращения функции, линейная относительно Δ x и Δ y, т. е.

df(x, y) = А Δ x + В Δ y.

Из равенства (3) и теоремы 1 следует, что всякая дифференцируемая функция непрерывна.

Кроме того, из условия дифференцируемости функции в точке следует, что в данной точке существует полный дифференциал. Следующая теорема устанавливает связь между понятием дифференцируемости (дифференциалом) и частными производными.

Теорема 2. Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке Р(х, у), то в этой точке существуют частные производные zx, zy и справедливо равенство:

dz(x, y) = zx Δ x + zy Δ y. (4)

 

Отметим, что, в отличие от функции одной переменной, обратная теорема неверна: из существования частных производных еще не следует дифферен­цируемость функции. Однако если предположить, что частные производные не только существуют, но и непрерывны, то функция будет дифференци­руемой. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Если функция z = f(x, y) имеет частные производные в некоторой окрестности точки Р(х, у), которые непрерывны в точке Р(х, у), то полное приращение представимо в следующем виде:

Δ f(Р) = fx Δ x + fy Δ y + αΔ x + βΔ y,

где α и β стремятся к нулю при Δ х → 0 и Δ у → 0.

 

Легко показать, что γ = α Δ х + β Δ у = ο (),следовательно, теорема 3 дает достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

Приращения Δ х и Δ у независимых переменных х и у функции z = f(x, y) (как и в случае функции одной перерменной) будем называть их дифференциалами обозначать dx и , соответственно. Тогда согласно формуле (4) выражение полного дифференциала примет вид:

dz = fx dx + fy dy или dz = . (5)

В отличие от полного дифференциала функции z = f(x, y) выражения d xz = dx и dy z = dy называют частными дифференциалами этой функции.

Предыдущие рассуждения и определения соответствующим образом обобщаются на функции любого конечного числа переменных. Например, полный дифференциал функции f(х1, х2,..., хn) определяется равенством:

т. е. равен сумме частных дифференциалов по всем переменным.

Все известные правила нахождения дифференциалов остаются справед­ливыми для функций нескольких переменных. В частности, для любых дифференцируемых функций u = u(P) и v = v(P) и константы с справедливы следующие формулы:

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)