АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Предел и непрерывность

Читайте также:
  1. A) эффективное распределение ресурсов
  2. A)нахождение средней из двух соседних средних, для отнесения полученного результата к определенной дате
  3. Access. Базы данных. Определение ключей и составление запросов.
  4. I. Определение основной и дополнительной зарплаты работников ведется с учетом рабочих, предусмотренных технологической картой.
  5. I. Определите тип придаточного предложения.
  6. I. Определите, какое из этих высказываний несет психологическую информацию.
  7. I. Открытые способы определения поставщика.
  8. I. Случайные величины с дискретным законом распределения (т.е. у случайных величин конечное или счетное число значений)
  9. II. Прочтите слова и определите части речи( глаголы, существительные,
  10. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЛЕКАРСТВЕННЫХ СРЕДСТВ В ОРГАНИЗМЕ. БИОЛОГИЧЕСКИЕ БАРЬЕРЫ. ДЕПОНИРОВАНИЕ
  11. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЧЕБНОГО ВРЕМЕНИ ПО СЕМЕСТРАМ, ТЕМАМ И ВИДАМ УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ
  12. III. Используемые определения и обозначения

Определение 4. Круг радиуса δ с центром в точке Р0 называется δ -окрестностью точки Р0.

 

Из этого определения следует, что δ-окрестность точки Р0(х0,у0) есть множество точек плоскости, удаленных от точки Р0 на расстояние, меньшее δ (рис. 6). Таким образом, координаты произвольной точки Р(х,у) из данной окрестности удовлетворяют неравен­ству

 

Рис. 6

 

Сформулируем определение предела функции двух переменных.

Определение 5. Число А называется пределом функции f(x, y) в точке Р0 (х0, у0) (при стремлении точки Р(х, у) к точке Р0 (х0,у 0)), если для любого числа ε > 0 найдется такое число δ = δ ( ε ) > 0, что | f(P) − A | < ε для всех Р(х, у) из δ-окрестности точки Р0.

Обозначение:

Геометрически это означает следующее. Рассмотрим на плоскости Оху переменную точку Р(х,у). Наблюдая на графике за изменением соответствующей аппликаты z = f(P), будем приближать Р к точке Р0 по некоторому произвольному пути. Как только расстояние от точки Р до Р0 станет меньше, чем δ, аппликата соответствующей точки графика будет отличаться от числа А меньше, чем на ε. Поскольку ε – произвольное число, то значения функции f(P) могут быть как угодно близки к числу А. При этом число δ определяется заданием ε, т. е. зависит от ε ( δ = δ(ε) ).

На функции двух переменных легко переносятся все положения теории пределов функции одной переменной. В частности, для функций f(P) и g(P), которые имеет предел в точке Р0, справедливо:

При вычислении пределов функций нескольких переменных можно использовать известные для функций одной переменной приемы раскрытия неопределенностей. В частности, замечательные пределы:

Определение 6. Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке Р0 (х0,у0), если она определена в точке Р0(х0,у0) и некоторой ее окрестности и

 

Если в некоторой точке Р0 (х0,у0) не выполняется условие (1), то точка Р0 (х0,у0) называется точкой разрыва функции z = f(x,y). Разрыв в точке Р0 может произойти по следующим причинам:

1) если функция определена в некоторой окрестности точки Р0, но не определена в самой этой точке;

2) если функция определена в точке Р0 и ее окрестности и не имеет предела при стремлении точки Р к Р0;

3) если функция, определенная в точке Р0 и ее окрестности, имеет предел в точке Р0, отличный от значения функции в этой точке.

 

Для функции нескольких переменных, как и для функции одной переменной, справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если функции z = f(M) и z = g(M) непрерывны в точке Р0, то функции f(M) ± g(M), f(M) ⋅ g(M), f(M)/g(M) (при условии g(Р0) ≠ 0) непрерывны в точке Р0.

 

Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

 

 

1.4. Замечание о функциях n (n>2) переменных

Обобщая понятие функции двух переменных, сформулируем определение функции любого конечного числа переменных.

Определение 7. Если упорядоченному набору n действительных чисел (х1, х2,..., хn) по определенному правилу или закону (обозначим его символом f) единственным образом соответствует действительное число у, то говорят, что у является функцией n переменных и пишут у = f(х1, х2,..., хn).

 

Наборы (х1, х2,..., хn) принято называть точками n -мерного пространства и обозначать Р(х1, х2,..., хn), а у = f(х1, х2,..., хn) = f(Р). Принимая это во внимание, можно дословно переносить все определения для функции двух переменных на функции произвольного числа переменных. Например, областью определения функции у = f(х1, х2,..., хn) = f(Р), (n ≥ 2 ) называется множество всех тех точек Р n -мерного пространства, для которых функция определена, а графиком – множество точек (х1, х2,..., хn, f(Р))(n +1) - мерного пространства. При n> 2 функция y = f(Р) не имеет геометрического истолкования, хотя при n = 3 область определения у = f(Р) представляет собой некоторое множество точек трехмерного пространства.

 

Пример 12. Найти область определения функции u(x,y,z)= ln(4-x2- y2 - z2).

Решение. Логарифмическая функция определена только для положительных аргументов. Следовательно, область определения функции u(x, y, z) задается неравенством 4 – x2 – y2 – z2 > 0 или x2 + y2 + z2 < 4. Последнему неравенству удовлетворяют координаты всех точек, которые находятся внутри сферы радиуса 2 с центром в точке (0,0,0,).

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)