Задача 1. Таблица для расчета показателей

Таблица для расчета показателей.

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Показатели центра распределения.

Средняя взвешенная

Мода.

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Максимальное значение повторений при x = 13.5 (f = 240.0). Следовательно, мода равна 13.5

Медиана.

Медианой (Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Находим x_i, при котором накопленная частота S будет больше ∑f/2 = 3649. Это значение x_i = 10.9. Таким образом, медиана равна 10.9

Квартили.

Квартили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q₁; 25% будут заключены между Q₁ и Q₂; 25% - между Q₂ и Q₃; остальные 25% превосходят Q₃.

Находим x_i, при котором накопленная частота S будет больше ∑f/4 = 1825. Это значение x_i = 7.7. Таким образом, первый квартиль равен 7.7

25% единиц совокупности будут меньше по величине 7.7

Q₂ совпадает с медианой, Q₂ = 10.9

Находим x_i, при котором накопленная частота S будет больше ∑3f/4 = 5475. Это значение x_i = 11.3. Таким образом, третий квартиль равен 11.3

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации.

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = X_max - X_min

R = 55.0 - 3.5 = 51.5

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 3.93

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 9.54 в среднем на 8.03

Оценка среднеквадратического отклонения.

Относительные показатели вариации.

К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>70%, то совокупность приближается к грани неоднородности, а вариация сильная.

Коэффициент вариации значительно больше 33%. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточна типична. В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.

Линейный коэффициент вариации или Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Показатели формы распределения.

Степень асимметрии.

Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.

Наиболее точным и распространенным показателем асимметрии является моментный коэффициент асимметрии.

As = M₃/s³

где M₃ - центральный момент третьего порядка.

s - среднеквадратическое отклонение.

M₃ = 17680630.5/7297 = 2423

Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии

Оценка существенности показателя асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии:

Если выполняется соотношение |As|/s_As < 3, то асимметрия несущественная, ее наличие объясняется влиянием различных случайных обстоятельств. Если имеет место соотношение |As|/s_As > 3, то асимметрия существенная и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным.

Расчет центральных моментов проводим в аналитической таблице:

В анализируемом ряду распределения наблюдается существенная правосторонняя асимметрия (4.69/0.33 = 14.24>3)

Применяются также структурные показатели (коэффициенты) асимметрии, характеризующие асимметрию только в центральной части распределения, т.е. основной массы единиц, и независящие от крайних значений признака. Рассчитаем структурный коэффициент асимметрии Пирсона:

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.

Чаще всего эксцесс оценивается с помощью показателя:

Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный (Ex > 0), для более плосковершинных (сплюснутых) - отрицательный (Ex < 0), т.к. для нормального распределения M₄/s⁴ = 3.

M₄ = 813422036.05/7297 = 111473.49

Число 3 вычитается из отношения μ⁴/ σ⁴ потому, что для нормального закона распределения μ⁴/ σ⁴ = 3. Таким образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю. Островершинные кривые обладают положительным эксцессом, кривые более плосковершинные - отрицательным эксцессом.

Ex > 0 - островершинное распределение

Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику Ex/s_Ex

где s_Ex - средняя квадратическая ошибка коэффициента эксцесса.

Если отношение Ex/s_Ex > 3, то отклонение от нормального распределения считается существенным.

Поскольку s_Ex < 3, то отклонение от нормального распределения считается не существенным.

Поиск по сайту: