Лекция 4. Эквивалентность финансовых платежей

Вопросы для рассмотрения:

1. Эквивалентность процентных ставок. Общие принципы.

2. Эквивалентность простой и сложной процентной ставки с начислением процентов 1 раз в год.

3. Эквивалентность простой процентной ставки и сложной с начислением процентов m раз в год.

4. Эквивалентность сложной процентной ставки с начислением процентов 1 раз в год и сложной процентной ставки с начислением процентов m раз в год.

5. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и простой процентной ставки.

6. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и сложной процентной ставки с начислением 1 раз в год.

7. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и простой процентной ставки с начислением m раз в год.

8. Средняя процентная ставка.

9. Финансовая эквивалентность обязательств.

Эквивалентные процентные ставки – такие ставки, значения, которых в конкрет­ных условиях приводят к одинаковым финансовым результа­там, т.е. замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансо­вых отношений сторон в рамках одной операции.

Формулы эквивалентности ставок во всех случаях получим исходя из равенства взятых попарно множителей наращения.

1. Определим соотношение эквива­лентности между простой и сложной ставками. Для этого при­равняем друг к другу соответствующие множители наращения.

2. Эквивалентность простой процентной ставки и сложной с начислением процентов m раз в году.

3. Эквивалентность сложной процентной ставки и сложной процентной ставки с начислением процентов m раз в году.

4. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и простой процентной ставки.

5. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и сложной процентной ставки с начислением 1 раз в год.

6. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и сложной процентной ставки с начислением m раз в год.

Финансовая эквивалентность обязательств

При необходимости замены одного де­нежного обязательства другим, например с более отдаленным сроком платежа, объединении нескольких платежей в один (кон­солидировать платежи) возникает вопрос о прин­ципе, на котором должны базироваться изменения условий контрактов. Таким общепринятым принципом является финан­совая эквивалентность обязательств.

Эквивалентными считают­ся такие платежи, которые, будучи «приведенными» к одному моменту времени, оказываются равными.

Приведе­ние осуществляется путем дисконтирования (приведение к бо­лее ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (ес­ли эта дата относится к будущему).

Если при изменении усло­вий контракта принцип финансовой эквивалентности не со­блюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, раз­мер которого можно заранее определить.

По существу, принцип эквивалентности в наиболее простом проявлении следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины Р и S. Сумма Р эквивалентна S при принятой процентной ставке и методе ее начисления. Две сум­мы денег S₁ и S₂, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или нара­щенные) величины, рассчитанные по одной и той же процент­ной ставке и на один момент времени, одинаковы. Замена S₁ на S₂ в этих условиях формально не изменяет отношения сто­рон.

Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки и, следовательно, его результат зависит от выбора ее размера.

Однако, что практически весьма важно, та­кая зависимость не столь жестка, как это может показаться на первый взгляд. Допустим, сравниваются два платежа и со сроками п₁ и п₂, причем S₁ < S₂ и n₁< п₂. Соотношение их со­временных стоимостей зависит от размера процентной ставки. С ростом i размеры современных стоимостей уменьшаются, причем при i = i₀ наблюдается равенство Р₁ = Р₂ Для любой ставки i < i₀ имеем Р₁ < Р₂. Таким образом, результат сравне­ния зависит от размера ставки, равного i₀. Назовем эту ставку критическойили барьерной.

На основе равенства P1 и P2 получаем процентную ставку:

Если дисконтирование производится по сложной ставке, то критическую ставку найдем из равенства дисконтированных P1 и P2 для сложной процентной ставки.

Консолидирование (объединение) задолженности

Принцип финансовой эквивалентности плате­жей применяется при различных изменениях условий выплат денежных сумм: их объединении, изменении сроков (досроч­ном погашении задолженности или, наоборот, пролонгирова­нии срока) и т.п. Общий метод решения подобного рода задач заключается в разработке так называемого уравнения эквива­лентности (equation of value), в котором сумма заменяемых пла­тежей, приведенных к какому-либо моменту времени, прирав­нивается к сумме платежей по новому обязательству, приведен­ных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется обычно на основе простых ставок, для средних долгосрочных – с помощью сложных процентных ставок.

Одним из распространенных случаев изменения условий контрактов является консолидация(объединение) платежей. Пусть платежи S₁,S₂,…,Snсо сроками n₁, п₂,..., п_т заменяются одним в сумме S_o и сроком n₀.

В этом случае возможны две по­становки задачи: если задается срок n₀, то находится сумма S_o и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа S_o, то определяется срок n₀. Рассмотрим обе постановки задачи.

1. Определение размера консолидированного платежа.При реше­нии этой задачи уравнение эквивалентности имеет простой вид. В общем случае, когда п_{<п₂<...<п_т, искомую величину находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей. Так, при применении простых процентных ставок получим

.

Консолидацию платежей можно осуществить и на основе сложных процентных ставок.

2. Определение срока консолидированного платежа.Если при объ­единении платежей задана величина консолидированного плате­жа S_o, то возникает проблема определения его срока n₀. В этом случае уравнение эквивалентности удобно представить в виде ра­венства современных стоимостей соответствующих платежей.

При применении простой ставки это равенство имеет вид

откуда выражают .

Из формулы видно, что размер заменяющего платежа не может быть меньше суммы современных стоимостей заменяемых платежей. Заметим также, что искомый срок про­порционален величине консолидированного платежа.

Перейдем к определению срока консолидированного плате­жа на основе сложных процентных ставок. Уравнение эквива­лентности запишем следующим образом .

Выразим n₀. Как видим, решение существует, если S_o > Q. Для частного случая, когда S_o = сумме Sj, при определении срока консолидирую­щего платежа используют формулу: .

Привлекательность этой формулы, помимо ее простоты, со­стоит в том, что она не требует задания уровня процентной ставки. Однако надо помнить, что она дает приближенный ре­зультат, который больше точного. Чем выше ставка i, тем боль­ше погрешность решения по формуле.

Вопросы для самопроверки:

1. Какие платежи считаются эквивалентными?

2. Что такое эквивалентная процентная ставка?

3. Что представляет собой финансовая эквивалентность обязательств?

4. Что такое средняя процентная ставка?

5. Что представляет собой процесс консолидирования задолженности?

6. Какая ставка считается критической?

Поиск по сайту: