Приклад 1.1.5

A = { x| величина х дуже близька до нуля}, B = { x| величина x близька до нуля }.

Очевидно, що А В, а значить хє υ

§1.2. Операції над нечіткими множинами

Означення 1.2.1. Об’єднанням нечітких множин А, В ⊂ υ називається нечітка множина А⋃В з функцією належності

Означення 1.2.2. Перетином нечітких множин А, В ⊂ υ називається нечітка множина А⋂В з функцією належності

Приклад 1.2.1. Розглянемо нечіткі дискретні множини А та В, задані таблично:

х	х1	х2	х3	х­4	х5
	0,1	0,7	0,3	0,8	0,2

х	х1	х2	х3	х­4	х5
	0,3	0,5	0,4	0,6	0,1

Тоді множини та визначаються з вихідних множин А і В так:

х	х1	х2	х3	х­4	х5
	0,3	0,7	0,4	0,8	0,1

	х1	х2	х3	х­4	х5
	0,1	0,5	0,3	0,6	0,1

Приклад 1.2.2. Нехай функції належності нечітких множин А та В зображені рисунком 1.2.1. Тоді неперервною лінією буде зображена функція належності об’єднання цих множин, а штриховою – їх перетин.

Рис. 1.2.1.

Означення 1.2.3. Доповнення нечіткої множини ⊂ називається нечітка множина , функція належності якої має вигляд:

.

Означення 1.2.4. Різниця множин А і В визначається як нечітка множина А\В з такою функцією належності:

Означення 1.2.5. Множиною рівня α, α>0, нечіткої множини ⊂ називається чітка множина елементів , міри належності яких нечіткої множини А є не менші за число , тобто:

Приклад 1.2.3. Розглянемо нечітку дискретну множину А, задану таблично

x	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
	0.6	0.2	0.1	0.8	0.5	0.3	0.4

Тоді = {x₁, x₂, x₃}.

Означення 1.2.6. Точкою переходу нечіткої множини А називається такий елемент , для якого міра належності . У попередньому прикладі точкою переходу нечіткої множини А буде х₅.

Лекція 2

§1.3. Нечіткі числа

Означення 1.3.1. Опуклу, нормалізовану ( нечітку множину A R називають нечітким числом, якщо для неї існує тільки одне число таке що і функція є кусково-неперервною.

Число визначається як вершина нечіткого числа A. Означене таким чином нечітке число A називається додатнім і записується A>0, якщо

Приклад 1.3.1. Нечітка множина A R із функцією належності

Є нечітким числом «приблизно -1». Очевидно, що A<0. Графік такого числа зображено на рис. 1.3.1.

Означення 1.3.2. Для нечітких чисел функцію L: [0, ∞] à [0, 1] називають референт-функцією, якщо L(0) = 1 і L(u) – спадна.

Приклад референт-функцій:

1)

2) ,

3) , .

На рис. 1.3.2 зображено референт-функції та .

Означення 1.3.3. нечітке число M називається L-R нечітким числом, якщо його функція належності є такою:

(1.3.1.)

Тут L(u), R(u) – референт-функції.

Число m однозначно визначається із умови і є вершиною нечіткого L-R числа. Величини є відповідно лівим та правим кінцями проміжку, який містить нечітке число M. Якщо = 0, то нечітке число перетворюється на звичайне число і, навпаки, із зростанням значень число M стає все нечіткішим.

Для L-R нечіткого числа використовують скорочений запис

На рис. 1.3.3. подано L-R нечітке число M із референт-функціями .

Наведемо найпростіші арифметичні операції над нечіткими L-R числами.

§1.4. Операції над нечіткими числами

Розглянемо два нечіткі числа і . Завжди існує стале значення , яке задовольняє рівність

.

Оскільки референт-функція L(u) є монотонно спадною, то однозначно має місце співвідношення

, (1.4.1)

де є оберненою функцією до L(u).

Із співвідношення (1.4.1) визначимо x та y

(1. 4.2)

Тому або .

Аналогічно можна отримати значення для правого кінця проміжку, що містить суму нечітких чисел M та N і воно буде таким:

.

Отже,

. (1.4.3)

Для різних типів L-R нечітких чисел є доведеним таке співвідношення:

, (1.4.4)

де .

2. Розширена різниця нечітких чисел.

Розглянемо нечітке число . Врахувавши цю властивість, отримаємо

(1. 4.5)

Приклад 1.4.1. Припустимо, що L(u)=R(u) і обчислимо

3. Розширене множення нечітких чисел.

Розглянемо додатні нечіткі числа і . Із використанням співвідношення (1.3.3) одержимо

(1.4.6)

Із даної рівності, взагалі кажучи, не вдається отримати вираз для добутку нечітких чисел L-R типу.

Припустимо, що є достатньо малими в порівнянні з m і n, а значення є близьке до одиниці, тоді з рівності (1.3.7) одержимо наближений вираз для розширеного добутку

. (1.4.7)

Іноді використовують і таку наближену формулу:

. (1.4.8)

Для формула для розширеного добутку буде

. (1.4.9)

4. Множення нечіткого числа на скаляр.

Нехай - довільне дійсне число. Тоді

, якщо (1.4.10)

, якщо (1.4.11)

5. Знаходження обернених нечітких чисел та їх ділення.

Розглянемо нечітке число M. Функцію належності для нечіткого оберненого числа , визначимо так:

Припустимо, що . Тоді для правого кінця нечіткого оберненого числа , тобто коли , будемо мати

.

Вираз перепишемо наближено так:

. (1.4.12)

Тоді обернене нечітке число запишеться у вигляді .

Часто використовують і таке наближення нечіткого числа :

(1.4.13)

Для від’ємних нечітких чисел отримаємо аналогічні наближення, оскільки

.

Таким чином, завдяки співвідношенню

Одержимо наближені формули

(1.4.14)

або

(1.4.15)

На практиці застосовують ще такий вираз:

(1.4.16)

Крім нечітких чисел широко застосовуються і нечіткі інтервали.

Поиск по сайту: