Лекція 5

§1.7. Операції над нечіткими відношеннями

Означення 1.7.1. Розглянемо два нечіткі відношення R і L, задані на декартовому добутку . Нечіткі множини називаються відповідно обєднанням і перерізом нечітких відношень R і L на , функції належності яких визначаються так:

Приклад 1.7.1. Розглянемо нечіткі відношення

Згідно означення 1.7.1 побудуємо нечіткі об’єднання та перетин наведених відношень

	y1	y2	y3	y4
x1		0.3		0.5
x2	0.3		0.6	0.9
x3		0.8		0.9

	y1	y2	y3	y4
x1		0.3		0.5
x2	0.3		0.6	0.9
x3		0.8		0.9

Означення 1.7.2. Вважатимемо, що нечітке відношення В містить в собі нечітке відношення А, якщо для функцій належності цих множин нерівність виконується для всіх пар (х,у) із декартового добутку .

Зауваження: Нечітке відношення завжди містить нечіткі відношення А, В та .

Означення 1.7.3. Розглянемо нечітке відношення R на , функція належності якого є . Тоді нечітке відношення із функцією належності для довільних пар (х,у) із декатрового добутку називається доповненням відношення R в

Доповнення має зміст заперечення вхідного відношення. Наприклад, для нечіткого відношення R = високий його доповненням буде .

Означення 1.7.4. Обернено до R нечітке відношення на декартовому добутку визначається так: , або за допомогою функції належності:

.

Означення 1.7.5. Розглянемо нечіткі відношення . Максимальна композиція відношень (позначається ) визначається функцією належності:

Аналогічно можна визначити мінімальну композицію, функція належності якої буде:

Функція належності для максмультиплікативної композиції матиме вигляд:

Приклад 1.7.2. Задано два нечіткі відношення

	y1	y2
x1	0.3	0.6
x2	0.2	0.7

	z1	z2
x1	0.4	0.8
x2	0.5	0.9

Тоді

	z1	z2
x1	0.5	0.6
x2	0.5	0.7

- максимінна композиція

	z1	z2
x1	0.4	0.8
x2	0.4	0.8

- мінімаксна композиція

	z1	z2
x1	0.3	0.54
x2	0.35	0.63

- максмультиплікативна композиція

	z1	z2
x1	0.12	0.24
x2	0.08	0.16

- мінмультиплікативна композиція

Важливу роль у знаходженні розв’язків задач упорядкування у випадку чіткої вхідної інформації відіграють проекції нечіткого відношення.

Розглянемо нечітке відношення із функцією належності .

Означення 1.7.6. Перша проекція нечіткого відношення R визначається такою функцією належності:

Означення 1.7.7. Друга проекція першої проекції (або навпаки) називається глобальною проекцією нечіткого відношення і позначається h(R).

Отже

Якщо h(R) = 1, то нечітке відношення R називається нормальним, а якщо h(R)<1 – то субнормаль ним.

Приклад 1.7.8. Обчислимо першу, другу та глобальну проекції нечіткого відношення R, задане таблицею.

§1.8. Відображення нечітких множин.

У багатьох практичних задачах. Що полягають у прийнятті рішень виникає потреба розширити область визначення Х конкретного відображення або відношення, добавивши до неї довільні нечіткі числа цієї множини.

Спосіб розширення області визначення відображень на клас нечітких множин називається принципом узагальнення.

Розглянемо принцип узагальнення, який полягає у визначенні образу нечіткої множини за допомогою звичайного (чітко описаного) відображення.

Нехай f: X→Y – відображення з множини Х у множину У, y=f(x) – образ елемента хєХ, уєУ і А – нечітка множина множини Х з функцією належності . Тоді відображення f породжує нечітку множину В⊂У із функцією належності: , (1.8.1)

де f^-1(y) = {x| хєХ, f(x) = y}, тобто подає множину всіх елементів хєХ, образом кожної з яких є елемент згідно відображення f.

Означення 1.8.1. Нечітка множина В називається образом нечіткої множини А⊂Х при нечіткому відображенні функція належності якої має вигляд:

(1.8.2)

Якщо P_f є звичайним відображення f: X У (тобто P_f(x,y)=1, коли y=f(x) і P_f(x,y)=0 інших пар (х,у)), то вираз (1.8.2) переходить у (1.8.1).

У загальному випадку нечітке відображення P_f може мати вигляд:

Лекція 6

Розділ ІІ. Потужність множин.

§2.1. Основні поняття та означення.

Означення 2.1.1. Множини А та В називаються рівно чисельними, якщо між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність (бієктивне відображення) f: A .

Означення 2.1.2. Відображення f називається бієктивним (взаємно однозначним відображенням множини А на множину В), якщо воно є інєктивним та сюрєктивним.

Означення 2.1.3. Відображення f називається інєктивним (взаємно однозначним), якщо різним прообразам із множини А відповідають різні образи із множини В.

Означення 2.1.4. Відображення f називається сюрєктивним якщо для довільного образу із множини В існує хоча б один прообраз із множини А.

Приклад 2.2.1. 1) f: R – сюрєктивне, не інєктивне;

2) f: R - не є ні сюрєктивним ні інєктивним;

3) f: – сюрєктивне, не інєктивне;

4) f: (0; +∞) – бієктивне;

5) f: [0; π] – бієктивне;

6) f: - не є інєктивним.

Оскільки відношення рівно чисельності є відношенням еквівалентності, то логічно рівно чисельні множини А і В називають еквівалентними і позначають А~В.

Еквівалентні множини називають ще рівно потужними та записують |A|=|B|.

Теорема 2.1.1. Якщо f є бієктивним відображенням множини А на множину В, то f^-1 – бієктивне відображення множини В на множину А.

Теорема 2.1.2. Якщо f і g є відображеннями, то композиція відображення f○g також є відображенням.

Теорема 2.1.3. Композиція бієктивним відображень є бієктивне відображенням.

Приклад 2.1.2. Покажемо що [0;1]~[a;b], (0;1)~(a;b), (0;1)~(-∞;+∞), де а та b довільними дійсними числами, для яких а<b.

Взаємно однозначне відображення з [0;1] на [a;b] показано на рис. 2.1.1.

Рис. 2.1.1.

0 , 1 , а для всіє інших хє(0;1) взаємно однозначну відповідність можна здійснити за допомогою лінійної функції y=kx («розтягування», або «стискування» відрізка). Аналогічно можна показати, що (0;1)~(а,b). А якщо так, то, очевидно, далі що (0;1)~ , а взаємно однозначну відповідність можна здійснити за допомогою функції y=tgx. Тому із транзитивності відношення рівносильності випливає, що (0;1)~R.

Приклад 2.1.3. Покажемо, що N~{2;4;6;…;2n;…}.

Бієктивне відображення задано так: n 2n. Графічно це буде виглядати так:

Приклад 2.1.3. Покажемо, що [1;0]~(0;1).

Безпосередньо вкажемо бієктивне відображення між цими множинами

Отже, довільне раціональне число «відображається» в раціональне число для і навпаки (рис. 2.1.2.).

Рис. 2.1.2.

Означення 2.1.5. Не порожня множина А називається скінченою, якщо вона містить скінчену кількість елементів, тобто вона є еквівалентна деякій множині {1;2;…;n}. Якщо множина А~{1;2;…;n}, то кажуть, що потужність множини А дорівнює n і позначають |A|=n. Очевидно, що потужність скінченої множини – це кількість її елементів і тому |Ø|=0.

Означення 2.1.6. Якщо множина А не є еквівалентною жодній підмножині {1;2;…;n}⊂N, то вона називається нескінченою.

Приклад 2.1.3. N,R,Q,I – нескінчені множини.

Лекція 7

§2.2. Зчисленні множини та їх властивості

Означення 2.2.1. Множина А називається зчисленною, якщо A~N, тобто |A|=|N|.

Приклад 2.2.1. N, {2;4;6;…;2n;…}, {3,6,9,12,…,3n,..} – зчисленні множини.

Теорема 2.2.1. Множина А називається зчисленною тоді і тільки тоді, коли її елементи можна пронумерувати, тобто A~N.

Доведення.

Необхідність (). А - зчисленна A~N , тобто кожен елемент нумерується а_n.

Достатність (). A={a₁;a₂;…;a_n;…} тоді приймемо -зчисленна.

Теорему доведено.

Теорема 2.2.2. Із кожної нескінченої множини А можна вибрати зчисленну підмножину.

Доведення.

Шукану зчисленну множину В виберемо так: В={a₁;a₂;…;a_n;…}, де a₁єА, а₂єА\{a₁}, a₃єА\{a₁;a₂},…, a_nєА\{a₁,a₂,…,a_n-1}. Теорему доведено.

Теорема 2.2.3. Довільна нескінченна підмножина В зчисленної множини А є зчисленною.

Доведення.

А={a₁;a₂;a₃;…;a_n;…} і оскільки В⊂А і елементи В можна пронумерувати В – зчисленна множина.

Теорему доведено.

Теорема 2.2.4. Якщо А-зчисленна множина, а В – скінченна множина, причому А⋂В= Ø, то А⋃В є зчисленною множиною.

Доведення.

A={a₁;a₂;…;a_n;…}, B={b₁;b₂;…;b_m}. Пронумеруємо множину А⋃В: b₁ 1, b₂ ,…,b_m m, a₁ m+1, a₂ m+2,…, a_n m+n,…

Теорему доведено.

Теорема 2.2.5. Об’єднання скінченної кількості зчисленних множин А_і таких, що не перетинаються (тобто A_i⋂A_j= Ø є зчисленною множиною.

Доведення.

Розглянемо множини

Теорему доведено.

Теорема 2.2.7. Об’єднаннямзчисленної кількості зчисленних множин і таких, що не перетинаються є зчисленною множиною.

Доведення.

Розглянемо множини:

Нумерацію елементів множини показано стрілками.

Теорему доведено.

Зауваження. Умови неперетинності множин у наведених теоремах не зменшують загальності.

Поиск по сайту: