Приклад 2.2.2

1) Множина раціональних чисел Q є зчисленною. Покажемо це:

Зображений спосіб нумерації додатних раціональних чисел забезпечує повторення деяких елементів (1, ½, …), а це означає, що Q₊ є підмножиною занумерованої множини і за теоремою 2.2.3 Q₊ є зчисленною. Оскільки множина відємних раціональних чисел Q_- є еквівалентною множині Q₊ і Q = Q_-⋃Q₊⋃{0}, то Q є зчисленною за теоремами.

2) Множина алгебраїчних чисел є зчисленною (алгебраїчне число – це число, яке є коренем многочлена з цілими коефіцієнтами).

Теорема 2.2.8. Якщо А є нескінченою множиною, а В – зчисленною множиною, то А⋃В є нескінченою множиною, причому А⋃В~A.

Доведення.

А – нескінченна

Теорему доведено.

Теорема 2.2.9. Якщо А – нескінченна множина, а В – зчисленна її підмножина і А\В – нескінченна підмножина, то А\В~A.

Доведення.

Множину А зобразимо у вигляді А = (А\В)⋃В. Оскільки А\В – нескінченна, а В – зчисленна, то (А\В)⋃В~A\B (за попередньою теоремою). І тому А~A\B.

Теорему доведено.

Лекція 8

§2.3. Множини потужності континуум.

Теорема 2.3.1. Множина чисел із відрізка [0;1] є незчисленною.

Доведення.

Припустимо, що множина [0;1] є зчисленною. Тоді всі значення і відрізка [0;1] можна перенумерувати. У результаті нехай це будуть {x₁; x₂; …; x_n; …}. Розіб’ємо відрізок [0;1] на три рівні частини. Очевидно, що хоча б одна з отриманих частин не містить значення х₁. Нехай це буде відрізок [a₁;b₁], який знову поділимо на три рівні частини, при чому одна з яких не містить значення х₂. Нехай це буде відрізок [a₂;b₂]. Продовжуючи цей процес далі, отримаємо тобто - послідовність вкладених відрізків, довжини яких прямують до нуля . За принципом Кантора

З іншого боку, оскільки , то згідно з припущенням

Приклад 2.3.1. Покажемо, що множина чисел із напівінтервалу [0;1) є незчисленною. Припустимо, що дана множина є зчисленною. Тоді усі значення з цієї множини можна пронумерувати. Нехай це будуть x₁=0,a₁a₂a₃a₄…; x₃=0,b₁b₂b₃b₄…; x₃=0,c₁c₂c₃c₄…; …; x_n=0,z₁z₂z₃z₄…;…. Утворимо число α=0,a₁’b₂’c₃’…z_n’…, та відрізняється від кожного із занумерованих чисел t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr></m:ctrlPr></m:dPr><m:e><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>i=1,2,…,n,…</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> хоча б однією цифрою. У зв’язку з цим його немає серед t wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr></m:ctrlPr></m:dPr><m:e><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>i=1,2,…,n,…</m:t></m:r></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> . Отримана суперечність доводить твердження, що напівінтервал [0;1) є незчисленною множиною.

Означення 2.3.1 Множина А називається множиною потужності континуум, якщо вона є еквівалентною відрізку [0;1].

Приклад 2.3.2. Множини [a;b], (a;b), [a;b), (a;b], R мають потужність континуум, оскільки [0;1]~[a;b]~(a;b)~R.

§2.4. Властивості множин потужності континуум.

1. Об’єднанням скінченної кількості множин потужності континуум є множиною потужності континуум.

Доведення.

Припустимо, що множини А_і (і=1..n) мають потужність континуум. Тоді згідно прикладу 2.3.2. можна записати звідки випливає, що а це означає, що об’єднання є множиною потужності континуум.

2. Об’єднанням зчисленної кількості множин потужності континуум є множиною потужності континуум.

Доведення.

Розглянемо А_і(і=1,2,…,n,…) – множини потужності континуум. Подібно доведенню попередньої властивості можна записати звідки випливає що а це означає, що об’єднання є множиною потужності континуум.

Приклад 2.4.1. Покажемо, що інтервал (0;1) є еквівалентним внутрішності квадрата, тобто (0;1)~(0;1)x(0;1).

Розглянемо довільну біжучу точку (x;y)є(0;1)x(0;1) (рис. 2.4.1)

Рис. 2.4.1.

Нехай х=0,а₁а₂а₃а₄…, а у=0,b₁b₂b₃b₄… Розглянемо число t=0,a₁b₁a₂b₂a₃b₃…є(0;1). Поставимо парі (х;у) у відповідність число t. На підставі теореми Кантора-Берштейна, оскільки (0;1)x(0;1)⊂(0;1)⊂(0;1)x(0;1), отримуємо, що (0;1)~(0;1)x(0;1).

Зауваження. Оскільки дійсну числову площину R² можна покрити зчисленною кількістю квадратів, то вона має потужність континуум.

3. Об’єднання континуум множини потужності континуум .

Оскільки І – множина потужності континуум, то І~(0;1). Так як довільне число , то кожному поставимо у відповідність довільне число хє(0;1): . Оскільки покриє весь квадрат (0;1)х(0;1) (рис. 2.4.2), тобто , і згідно попереднього прикладу 2.3.3 є множиною потужності континуум.

_{Рис. 2.4.2.}

§2.5. Множини, потужність яких є вищою за потужність континуум.

Розглянемо множину A_f, яка містить все можливі функції . Оскільки R~[0;1], то розглядатимемо множину A_f функцій f:[0;1] . Припустимо, що A_f – множина потужності континуум. Тоді A_f~[0;1] . Позначимо елемент f є A_f, що відповідає t, через f_t.

Розглянемо далі таку функцію: , тобто Покладемо тепер x=t₀. У результаті отримаємо , тобто 1=0. Одержане протиріччя доводить, що множина все можливих дійсно значних функцій дійсного аргументу має потужність більшу за континуум.

Означення 2.5.1. Величина називається дискретною, якщо вона приймає скінчену або зліченну кількість значень. У протилежному випадку величина називається неперервною.

Приклад 2.5.1. Множина ірраціональних чисел має потужність континуум.

§2.6. Порівняння потужностей.

Теорема 2.6.1. (характеристична властивість нескінчених множин).

Множин А є нескінченою тоді і тільки тоді, коли вона є еквівалентною деякій своїй підмножині, що не збігається з множиною А.

Означення 2.6.1. Нехай |A|=α і |B|=β. Будемо говорити, що α< β, якщо A~ B’ і B’⊂B, але множина А не є еквівалентною множині В.

Зауваження. Якщо А⊂В, то завжди .

Теорема 2.6.2. (Кантора-Берштейна).

Якщо .

Теорема 2.6.3. Потужність довільної зчисленної множини є найменшою з потужностей нескінченних множин.

Доведення.

Розглянемо нескінченну множину А, потужність якої дорівнює . Завжди існує зчисленна підмножина В множини А, причому А не є еквівалентною множині В. Тому. Оскільки В⊂А і В не еквівалентно А |B|<|A|.

Потужність довільної зчисленної множини позначимо через æ, а потужність континуум через С.

Зауваження. æ<c.

Теорема 2.6.4. Розглянемо довільне натуральне число nєN. Тоді n< æ.

Доведення.

Розглянемо множину Отже, n< æ.

Теорема 2.6.5. Rⁿ є множиною потужності континуум для довільного натурального числа n.

Доведення.

Потрібно довести, що s w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/></w:rPr><m:t>=C</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> . Доведення проведемо методом математичної індукції. Для n=2 твердження було доведено раніше. Нехай .

Впорядкованій сукупності елементів (a₁; a₂; …; a_n; a_n+1)єRⁿ⁺¹ поставимо у відповідність впорядковану пару вигляду ((a₁; a₂;…; a_n); a_n+1), звідки випливає, що то і потужність множини пар наведеного вигляду також є потужності континуум. Тому маємо .

Теорема 2.6.6. Для довільної множини потужність множини всіх підмножин є більшою за власну потужність самої множини.

Позначимо через В(А) – буліан множини А (множина всіх підмножин множини А).

Потужність булана В(А) дорівнює 2^|A|, тобто |B(A)|= 2^|A|. Із теореми 2.6.6. випливає цікавий факт теорії множин, пов’язаний з терміном «множина всіх множин».

Парадокс Кантора Нехай М – «множина всіх множин». Тоді за теоремою 2.6.6. |B(M)|<|M|. Але ж множина М є «найширшою» з усіх можливих множин. Отже, найбільшою множинни немає.

Е = { множини, які не є елементами самих себе} = {x| (x – множина)^(. Дана рівність не визначає множину. Дана аномалія є відомою під назвою парадокс Рассела.

Поиск по сайту: