Ранг ступенчатой матрицы равен числу её строк

Доказательство:

Рассмотрим матрицу А:

Составим минор порядка m, выбрав столбцы, нулевые элементы которых стоят внутри ступенек. Получим минор M размера mxm:

ð r(A) = m, т.е. числу ступенек.

При элементарных преобразованиях над строками/столбцами матрицы её ранг не изменяется.

Доказательство: рассмотрим каждое элементарное преобразование в отдельности. При умножении любой строки на число, не равное нулю, миноры этой матрицы не изменяются и очевидно, что наивысший порядок в минорах не изменится. При перестановке 2х строк местами изменившиеся миноры поменяют знак. При умножении одной строки на любое число и добавления её к другой строке:

Пусть ранг А = k, покажем, что ранг B k. Для этого достаточно показать, что каждый минор матрицы В порядка выше, чем k = 0. Пусть D – минор матрицы В порядка выше, чем k. Возможны 3 различных случая:

1. Детерминант минора не содержит i-ой строки матрицы В. В этом случае D совпадает с соответствующим минором матрицы А, т.к. ранг матрицы А = k, то D = 0.

2. D содержит i и j строки: По 9 свойству детерминанта(детерминант не изменится, если к любой строке добавить другую строку, умноженную на число) определитель(минор) не изменится, т.е. равен соответствующему минору матрицы А = 0.

3. D содержит i строку и не содержит j строку. Тогда по свойству D = D₁+D₂. D₁ совпадает с минором матрицы А и равен нулю. А D₂ – то, что осталось от остальных слагаемых и равен соответствующему минору матрицы А, умноженной на и равно 0 => D = 0 => r(B) = r(A) = k. Доказано.

Строки матрицы А линейно зависимы, если можно подобрать такие числа k₁,k₂,…,k_n, не равные нулю одновременно, что , где 0 – нулевая строка.

Теорема о ранге матрицы: Если ранг матрицы А равен k, то в этой матрице можно найти k линейно независимых строк, через которые линейно выражаются все остальные строки.

Доказательство: пусть дана матрица А _mxn и пусть r(A) = k и пусть D – минор k-ого порядка ≠ 0. Такой минор называется базисным. Для определенности будем считать, что он расположен в левом верхнем углу. Покажем, что первые k строк матрицы А линейно независимые. Предположим противное, что одна из строк линейно выражается через остальные, т.е. . Умножим первую строку на (-c₁) и прибавим её к k-ой строке. Умножим вторую строку на (-c₂) и прибавим её к k-ой строке. И так далее до k-ой строки. В итоге получим, что определитель базисного минора равен нулю, что противоречит условию. Доказано.

Правило Крамера:

Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то её решение можно найти по формуле Крамера:

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Теорема Кронекера-Капелли. Произвольная система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда r(A) = r().

Доказательство:

Необходимость: Пусть система совместна и x₁ = , x₂ = ,…, x_n = - некоторые решения, подставив , ,…, - получим тождество:

Столбцы свободных членов являются линейной комбинацией столбцов матрицы А системы. Прибавим к последнему столбцу матрицы её первый столбец, умноженный на (- ), умножим второй столбец на (- ) и добавим к последнему и так далее до n включительно. В итоге получим матрицу С вида:

r(C) = r(), r(C) = r(A) => r() = r(A).

Достаточность: пусть r() = r(A) = k. Для определенности предположим, что определитель k-ого порядка не равен 0 и расположен в левом верхнем углу:

Тогда первые k строк матриц А и линейно независимые, а остальные можно выбросить, т.к. они являются их линейной комбинацией.

Возможно два случая:

1. k = n. Тогда можно решить методом Крамера.

2. k<n. Тогда в левой половине оставим k неизвестных, а остальные перенесем вправо. Неизвестные этого минора мы назовем базисными, а остальные - свободные. Свободным неизвестным можно давать любые значения, получая при этом значения базисных решений. Доказано.

Метод Гаусса:

1. Привести матрицу (расширенную) к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и вычеркиванием нулевых строк. Неизвестные, соответствующие базисному минору, называются базисные, остальные неизвестные – свободные.

2. Все свободные неизвестные перенести в правую часть каждого из уравнений.

3. Совершая элементарные преобразования над строками матрицы снизу вверх, превращаем матрицу в диагональную, а потом в единичную.

Таким образом базисные элементы не зависят друг от друга.

Однородная система - система линейных алгебраических уравнений с нулевой правой частью.

Свойства решений системы линейной однородных уравнений:

Пусть e₁ и e₂ - два любых решения однородной системы.

A*e₁=0, A*e₂=0, следовательно c*e₁ – тоже решение и e₁+e₂ тоже решение.

Доказательство:

A*(c*e)= c (A*e) = c * 0 = 0;

A*(e₁ + e₂) = A*e₁ + A*e₂ = 0 + 0 = 0. Доказано.

Если e₁,e₂,…,e_n – произвольные решения системы, то линейные комбинации c₁*e₁ + c₂*e₂ +…+ c_ne_n тоже будут решением.

Фундаментальная система решения (ФСР) – линейно независимые решения системы уравнений e₁,e₂,…,e_n, удовлетворяющих уравнению A*x = 0.

Теорема о существовании ФСР:

Если r(A) = k < n, то система A*x = 0 обладает ФСР.

Доказательство:

Пусть А – матрица системы:

,

Уравнения от k до n являются следствием первых k уравнений, поэтому оставим первые k уравнений. Перенесем все неизвестные за знак равенства, получим:

Пусть , тогда , получим:

()

Пусть , тогда , получим:

()

Пусть , тогда , получим:

()

Получим n-k решений, запишем их по строке:

Минор справа не равен 0, а значит все решения линейно независимые.

Докажем, что любое решение, деленое на e будет являться линейной комбинацией:

e₁ = ;

e₂ = ;

……………………..........

e_n = ;

e₀ =

Рассмотрим матрицу e₀ = (1)

тоже решение.

e₀ = (0;0;…;0). Подставим в (1), получим:

0 =

, доказано.

Общее решение неоднородной системы = частное решение неоднородной системы + общее решение однородной системы.

Вектор – направленный отрезок, один из концов которого – начало, другой – конец.

Линейные операции:

1. Сложение: сумма двух векторов – третий вектор, направленный из начала первого вектора в конец второго.

2. Умножение вектора на число – вектор, параллельный первому вектору, модуль его равен модулю, умноженному на число и если число отрицательное, то меняется направление вектора.

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны.

Векторы коллинеарны, если существует прямая которой они параллельны.

Лемма: если вектор b коллинеарен ненулевому вектору a, то

Если вектор b компланарен с некоторыми векторами a₁,a₂, то существует единственное разложение в виде линейной комбинации векторов a₁,a₂

Доказательство: существование:

Рассмотрим OP и OQ, по правилу параллелограмму, // , по лемме . Аналогично, .

Единственность: предположим, что

Тогда , . Т.к. разложение различное, то одна из скобок отлична от нуля. Пусть это будет первая скобка, разделим на неё, получим:

, что противоречит условию. Доказано.

Если a₁,a₂,a₃ – некомпланарные вектора, то для любого разложение в виде линейной комбинации векторов a₁,a₂,a_3, т.е. . Доказательство: Во многом похоже на предыдущее.

Базис на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Базис в пространстве – упорядоченная тройка неколлинеарных векторов.

Орт – единичный вектор.

Совокупность т.O и ортонормированного базиса i,j,k, приложенного к т.O, называют прямоугольным(декартовым) системой координат, т.O – начало координат, а базисные векторы задают направления осей.

Деление отрезка в заданном отношении:

- известно.

, .

Проекция вектора a равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и направляющим вектором.

пр_ea= .

Доказательство: возможны три случая:

1. Угол острый:

пр_{L ,} из треугольника ABB₁:

2. Угол прямой:

пр_L

3. Угол тупой:

пр_L

Скалярным произведением вектора a на вектор b называется число(скаляр)

Свойства скалярного произведения:

1. ()≥0. Доказательство: () = * *Cos0 = ²≥0. Доказано.

2. () = (). Доказательство: очевидно.

3. (a,b+c)=(a,b)+(a,c). Доказательство: воспользуемся связью между проекциями: (a,b+c)=|a|*пр_a(b+c)=|a|*(пр_ab+пр_ac)=|a|*пр_ab+|a|*пр_ac=(a,b)+(a,c).

4. Доказательство: воспользуемся связью между проекциями: .

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c =

Свойства векторного произведения:

1. [a,a] = 0.

2. [a,b]=-[b,a].

3. [(a+b),c]=[a,b]+[a,c].

4. [a,[b,c]]=b(a,c)-c(a,b).

Смешанное произведение – скалярное произведение вектора a на векторное произведение вектора b на вектор c. .

Свойства смешанного произведения:

1.

2.

3. Если 3 вектора коллинеарные (т.е. лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно 0.

Прямая на плоскости:

Общее уравнение: Ax+By+C=0, координаты вектора нормали (A,B).

Уравнение прямой в отрезках: .

Нормальное уравнение прямой: , где - угол между прямой и осью икс, - расстояние от начала координат.

Каноническое уравнение прямой:

Уравнение прямой через две точки:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту: или y = kx + b.

Параметрическое уравнение прямой:

Взаимное расположение прямых:

Лежат на одной прямой, если .

Параллельны, если

Пересекаются, если .

Угол между прямыми фактически равен углу между нормалями прямых: , .

Условия перпендикулярности: прямые перпендикуляры, если перпендикулярны их нормали, т.е. если

Расстояние от точки до прямой на плоскости:

Плоскость в пространстве:

Общее уравнение: Ax+By+Cz+D=0, координаты нормали (A,B,C).

Уравнение плоскости в отрезках: .

Каноническое уравнение плоскости:

Уравнение плоскости через две точки:

Параметрическое уравнение плоскости:

Взаимное расположение плоскостей:

Лежат в одной плоскости, если .

Параллельны, если

Пересекаются,если

Угол между плоскостями: фактически равен углу между нормалями плоскостей:

Условия перпендикулярности: плоскости перпендикуляры, если перпендикулярны их нормали, т.е. если

Расстояние от точки до плоскости в пространстве:

Прямая в пространстве:

Общее уравнение: Ax+By+Cz+D=0, координаты нормали (A,B,C).

Уравнение прямой в отрезках: .

Каноническое уравнение прямой:

Уравнение прямой через две точки:

Параметрическое уравнение прямой:

Расстояние от точки до прямой в пространстве:

Расстояние между скрещивающимися прямыми:

Угол между прямыми в плоскости фактически равен углу между направленными векторами:

Угол между прямой и плоскостью:

Линейное векторное пространство – это непустое множество L элементов, в котором:

1. Для любых x,y определена сумма, принадлежащая этому пространству.

2. Для любого x и , принадлежащим этому пространству, определено , при этом накладываются следующие условия:

1. , для любых (коммутативность сложения);

2. , для любых (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).

5. (ассоциативность умножения на скаляр);

6. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Свойства линейного векторного пространства:

1. Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

2. для любого .

3. Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

4. для любого .

5. для любых и .

6. для любого .

Линейная зависимость векторов линейного пространства:

Размерность линейного пространства: линейное пространство V называется n -мерным (имеет размерность n), если в нем:

1) существует n линейно независимых векторов;

2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

Базис - любая упорядоченная система e₁,e₂,…,e_n из n линейно независимых векторов пространства V_n.

Базис - любая упорядоченная система e₁,e₂,…,e_n из n линейно независимых векторов пространства V_n.

Подпространство линейного пространства – не пустое подмножество L₁ его элементов, само являющееся линейным пространством относительно введенных в L операций сложения векторов и умножения на число.

Для проверки того, что подмножество L₁ является подпространством множества L необходимо и достаточно убедиться, что

Пусть L – линейное пространство. Скажем, что в L задано скалярное произведение, если в каждой паре векторов x,y, принадлежащих этому линейному пространству, поставлено в соответствие скалярное произведение x,y принадлежащих R так, что выполняются условия:

Евклидовым линейным пространством называется пространство со скалярным произведением, удовлетворяющим условию: и равенства

Теорема Пифагора: если векторы x,y ортогональны, то квадрат нормы .

Доказательство: т.к. x┴y, то (x,y)=0, тогда Неравенство Коши-Буняковского: в любом евклидовом пространстве выполняется неравенство .

Доказательство: пусть . Тогда для вектора

Получим квадратных трехчлен относительно . Он должен быть ≥0, значит он не может иметь двух различных корней, => D ≤0 =>

Доказано.

Неравенство треугольника: в евклидовом пространстве для

Доказательство: по неравенству Коши-Буняковского . Извлечем корень, получим . Доказано.

Базис e₁,e₂,…,e_n евклидового пространства L называется ортонормированным, если (e_i,e_j)=0 при i≠j.

Линейная независимость системы попарно ортогональных ненулевых векторов: попарно ортогональные и отличные от нуля векторы линейно независимы.

Доказательство: для того чтобы данное нами определение ортогонального базиса было корректным, необходимо доказать, что входящие в определение векторы действительно образуют базис, т.е. линейно независимы.

Докажем это, т.е. покажем, что равенство

(2)

возможно лишь, если . Умножим обе части равенства (2) скалярно на . Получим:

Но по определению ортогонального базиса

при

Следовательно, . Аналогично, умножая (2) скалярно на , получим, что и т.д. Мы доказали, таким образом, что линейно независимы.

Скалярное произведение в ортонормированном базисе: в ортонормированном базисе (и только в нем)скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений координат сомножителей.

Доказательство: пусть i,j,k – ортонормированный базис. Пусть даны произвольные вектора a₁= и b₁= .

(a,b)=(, )= , т.к. базис ортонормированный, то (i,i)=(j,j)=(z,z)=1, (i,j)=(j,k)=(k,i)=0, =>

Квадратная матрица Q называется ортогональной, если выполняется Q^-1=Q^T.

Матрица перехода от ортонормированного базиса к нормированному является ортогональной.

Доказательство: пусть имеются два ортонормированных базиса e₁,e₂,…,e_n – старый, e₁^’,e₂^’,…,e_n^’ – новый.

e₁,e₂,…,e_n , e₁^’,e₂^’,…,e_n^’, т.е. e₁^’,e₂^’,…,e_n^’= (e₁,e₂,…,e_n)*с,

Т.к. матрица C - матрица перехода, то она не вырождена =>

Что и требовалось доказать.

Формулы преобразования декартовых координат при параллельном переносе:
при повороте вокруг начала координат на угол α:

Оператор (преобразование) называется линейным, если и произвольного числа :

1) ;

2) .

Вектор называется образом вектора , а вектор – прообразом вектора при преобразовании .

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису: Пусть линейный оператор , действующий в линейном пространстве L, в базисе , ,..., имеет матрицу A, а в базисе , ,..., – другую матрицу B. Установим связь между A и B.

Пусть C – матрица перехода от базиса , ,..., к базису , ,..., . Положим далее, что:

и – вектор-столбцы, составленные из координат какого-либо вектора L соответственно в «старом» , ,..., и «новом» , ,..., базисах;

и – вектор-столбцы из координат вектора L, записанные соответственно в «старом» , ,..., и «новом» , ,..., базисах.

При этом

, .

Тогда

, .

Следовательно,

,

или

.

Но C – невырожденная матрица, поэтому

,

или

.

Однако, как указывалось,

.

Значит,

.

Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если существует такое число , что . Число называется соответствующим вектору собственным значением оператора .

Как найти собственные значения и собственные векторы?

Предположим, что – собственный вектор, а – соответствующее ему собственное значение линейного оператора , задаваемого в некотором базисе , , …, матрицей A. Тогда, как указывалось, , или в компонентах:

Û

Получили однородную систему n линейных уравнений с n неизвестными. Для существования ненулевого решения которой необходимо и достаточно, чтобы детерминант этой системы был равен нулю, т.е.

.

Левая часть последнего равенства совпадает при со значением определителя матрицы . Этот определитель является многочленом степени n относительно . Он называется характеристическим многочленом линейного оператора (Часто говорят: характеристическим многочленом матрицы A.) Итак, показано, что каждое собственное значение линейного оператора является корнем его характеристического многочлена.

Верно и обратное. Каждый корень характеристического многочлена линейного оператора будет являться его собственным значением.

Действительно, соответствующие собственные векторы находятся из системы уравнений

которая в этом случае обязательно имеет ненулевые решения, т.к. ее детерминант равен нулю.

Квадратичной формой от n неизвестных называется многочлен от n переменных второй степени, не содержащий членов первой степени и свободного члена

причем " ().

==============================================================================

.

Из коэффициентов можно составить квадратную матрицу n -го порядка

,

которая называется матрицей квадратичной формы f, а ее ранг r называется рангом квадратичной формы f.

Поиск по сайту: