|
|||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Ранг ступенчатой матрицы равен числу её строкДоказательство: Рассмотрим матрицу А: Составим минор порядка m, выбрав столбцы, нулевые элементы которых стоят внутри ступенек. Получим минор M размера mxm: ð r(A) = m, т.е. числу ступенек. При элементарных преобразованиях над строками/столбцами матрицы её ранг не изменяется. Доказательство: рассмотрим каждое элементарное преобразование в отдельности. При умножении любой строки на число, не равное нулю, миноры этой матрицы не изменяются и очевидно, что наивысший порядок в минорах не изменится. При перестановке 2х строк местами изменившиеся миноры поменяют знак. При умножении одной строки на любое число и добавления её к другой строке: Пусть ранг А = k, покажем, что ранг B 1. Детерминант минора не содержит i-ой строки матрицы В. В этом случае D совпадает с соответствующим минором матрицы А, т.к. ранг матрицы А = k, то D = 0. 2. D содержит i и j строки: По 9 свойству детерминанта(детерминант не изменится, если к любой строке добавить другую строку, умноженную на число) определитель(минор) не изменится, т.е. равен соответствующему минору матрицы А = 0. 3. D содержит i строку и не содержит j строку. Тогда по свойству D = D1+D2. D1 совпадает с минором матрицы А и равен нулю. А D2 – то, что осталось от остальных слагаемых и равен соответствующему минору матрицы А, умноженной на Строки Теорема о ранге матрицы: Если ранг матрицы А равен k, то в этой матрице можно найти k линейно независимых строк, через которые линейно выражаются все остальные строки. Доказательство: пусть дана матрица А mxn и пусть r(A) = k и пусть D – минор k-ого порядка ≠ 0. Такой минор называется базисным. Для определенности будем считать, что он расположен в левом верхнем углу. Покажем, что первые k строк матрицы А линейно независимые. Предположим противное, что одна из строк линейно выражается через остальные, т.е. Правило Крамера: Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, то её решение можно найти по формуле Крамера: Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Теорема Кронекера-Капелли. Произвольная система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда r(A) = r( Доказательство: Необходимость: Пусть система совместна и x1 = Столбцы свободных членов являются линейной комбинацией столбцов матрицы А системы. Прибавим к последнему столбцу матрицы r(C) = r( Достаточность: пусть r( Тогда первые k строк матриц А и Возможно два случая: 1. k = n. Тогда можно решить методом Крамера. 2. k<n. Тогда в левой половине оставим k неизвестных, а остальные перенесем вправо. Неизвестные этого минора мы назовем базисными, а остальные - свободные. Свободным неизвестным можно давать любые значения, получая при этом значения базисных решений. Доказано. Метод Гаусса: 1. Привести матрицу 2. Все свободные неизвестные перенести в правую часть каждого из уравнений. 3. Совершая элементарные преобразования над строками матрицы снизу вверх, превращаем матрицу в диагональную, а потом в единичную. Таким образом базисные элементы не зависят друг от друга. Однородная система - система линейных алгебраических уравнений с нулевой правой частью. Свойства решений системы линейной однородных уравнений: Пусть e1 A*e1=0, A*e2=0, следовательно c*e1 – тоже решение и e1+e2 тоже решение. Доказательство: A*(c*e)= c (A*e) = c * 0 = 0; A*(e1 + e2) = A*e1 + A*e2 = 0 + 0 = 0. Доказано. Если e1,e2,…,en – произвольные решения системы, то линейные комбинации c1*e1 + c2*e2 +…+ cnen тоже будут решением. Фундаментальная система решения (ФСР) – линейно независимые решения системы уравнений e1,e2,…,en, удовлетворяющих уравнению A*x = 0. Теорема о существовании ФСР: Если r(A) = k < n, то система A*x = 0 обладает ФСР. Доказательство: Пусть А – матрица системы:
Уравнения от k до n являются следствием первых k уравнений, поэтому оставим первые k уравнений. Перенесем все неизвестные за знак равенства, получим: Пусть ( Пусть ( Пусть ( Получим n-k решений, запишем их по строке: Минор справа не равен 0, а значит все решения линейно независимые. Докажем, что любое решение, деленое на e будет являться линейной комбинацией: e1 = e2 = …………………….......... en = e0 = Рассмотрим матрицу e0 =
e0 = (0;0;…;0). Подставим в (1), получим: 0 =
Общее решение неоднородной системы = частное решение неоднородной системы + общее решение однородной системы. Вектор – направленный отрезок, один из концов которого – начало, другой – конец. Линейные операции: 1. Сложение: сумма двух векторов – третий вектор, направленный из начала первого вектора в конец второго. 2. Умножение вектора на число – вектор, параллельный первому вектору, модуль его равен модулю, умноженному на число и если число отрицательное, то меняется направление вектора. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны. Векторы коллинеарны, если существует прямая которой они параллельны. Лемма: если вектор b коллинеарен ненулевому вектору a, то Если вектор b компланарен с некоторыми векторами a1,a2, то существует единственное разложение в виде линейной комбинации векторов a1,a2 Доказательство: существование: Рассмотрим OP и OQ, Единственность: предположим, что Тогда
Если a1,a2,a3 – некомпланарные вектора, то для любого Базис на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов. Базис в пространстве – упорядоченная тройка неколлинеарных векторов. Орт – единичный вектор. Совокупность т.O и ортонормированного базиса i,j,k, приложенного к т.O, называют прямоугольным(декартовым) системой координат, т.O – начало координат, а базисные векторы задают направления осей. Деление отрезка в заданном отношении:
Проекция вектора a равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и направляющим вектором. прea= Доказательство: возможны три случая: 1. Угол острый:
2. Угол прямой: прL
3. Угол тупой:
Скалярным произведением вектора a на вектор b называется число(скаляр) Свойства скалярного произведения: 1. ( 2. ( 3. (a,b+c)=(a,b)+(a,c). Доказательство: воспользуемся связью между проекциями: (a,b+c)=|a|*прa(b+c)=|a|*(прab+прac)=|a|*прab+|a|*прac=(a,b)+(a,c). 4.
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c = Свойства векторного произведения: 1. [a,a] = 0. 2. [a,b]=-[b,a]. 3. [(a+b),c]=[a,b]+[a,c]. 4. [a,[b,c]]=b(a,c)-c(a,b). Смешанное произведение – скалярное произведение вектора a на векторное произведение вектора b на вектор c. Свойства смешанного произведения: 1. 2. 3. Если 3 вектора коллинеарные (т.е. лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно 0. Прямая на плоскости: Общее уравнение: Ax+By+C=0, координаты вектора нормали (A,B). Уравнение прямой в отрезках: Нормальное уравнение прямой: Каноническое уравнение прямой: Уравнение прямой через две точки: Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту: Параметрическое уравнение прямой: Взаимное расположение прямых: Лежат на одной прямой, если Параллельны, если Пересекаются, если Угол между прямыми фактически равен углу между нормалями прямых: Условия перпендикулярности: прямые перпендикуляры, если перпендикулярны их нормали, т.е. если Расстояние от точки до прямой на плоскости: Плоскость в пространстве: Общее уравнение: Ax+By+Cz+D=0, координаты нормали (A,B,C). Уравнение плоскости в отрезках: Каноническое уравнение плоскости: Уравнение плоскости через две точки: Параметрическое уравнение плоскости: Взаимное расположение плоскостей: Лежат в одной плоскости, если Параллельны, если Пересекаются,если Угол между плоскостями: фактически равен углу между нормалями плоскостей: Условия перпендикулярности: плоскости перпендикуляры, если перпендикулярны их нормали, т.е. если Расстояние от точки до плоскости в пространстве: Прямая в пространстве: Общее уравнение: Ax+By+Cz+D=0, координаты нормали (A,B,C). Уравнение прямой в отрезках: Каноническое уравнение прямой: Уравнение прямой через две точки: Параметрическое уравнение прямой: Расстояние от точки до прямой в пространстве:
Расстояние между скрещивающимися прямыми:
Угол между прямыми в плоскости фактически равен углу между направленными векторами:
Угол между прямой и плоскостью: Линейное векторное пространство – это непустое множество L элементов, в котором: 1. Для любых x,y определена сумма, принадлежащая этому пространству. 2. Для любого x и 1. 2. 3. существует такой элемент 4. для любого 5. 6. 7. 8.
Свойства линейного векторного пространства: 1. Нейтральный элемент 2. 3. Для любого 4. 5. 6. Линейная зависимость векторов линейного пространства: Размерность линейного пространства: линейное пространство V называется n -мерным (имеет размерность n), если в нем: 1) существует n линейно независимых векторов; 2) любая система n + 1 векторов линейно зависима. Базис - любая упорядоченная система e1,e2,…,en из n линейно независимых векторов пространства Vn. Базис - любая упорядоченная система e1,e2,…,en из n линейно независимых векторов пространства Vn. Подпространство линейного пространства – не пустое подмножество L1 его элементов, само являющееся линейным пространством относительно введенных в L операций сложения векторов и умножения на число. Для проверки того, что подмножество L1 является подпространством множества L необходимо и достаточно убедиться, что Пусть L – линейное пространство. Скажем, что в L задано скалярное произведение, если в каждой паре векторов x,y, принадлежащих этому линейному пространству, поставлено в соответствие скалярное произведение x,y принадлежащих R так, что Евклидовым линейным пространством называется пространство со скалярным произведением, удовлетворяющим условию: Теорема Пифагора: если векторы x,y ортогональны, то квадрат нормы Доказательство: т.к. x┴y, то (x,y)=0, тогда Доказательство: пусть Получим квадратных трехчлен относительно Доказано. Неравенство треугольника: в евклидовом пространстве для Доказательство: Базис e1,e2,…,en евклидового пространства L называется ортонормированным, если (ei,ej)=0 при i≠j. Линейная независимость системы попарно ортогональных ненулевых векторов: попарно ортогональные и отличные от нуля векторы линейно независимы. Доказательство: для того чтобы данное нами определение ортогонального базиса было корректным, необходимо доказать, что входящие в определение векторы Докажем это, т.е. покажем, что равенство
возможно лишь, если Но по определению ортогонального базиса
Следовательно, Скалярное произведение в ортонормированном базисе: в ортонормированном базисе (и только в нем)скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений координат сомножителей. Доказательство: пусть i,j,k – ортонормированный базис. Пусть даны произвольные вектора a1= (a,b)=( Квадратная матрица Q называется ортогональной, если выполняется Q-1=QT. Матрица перехода от ортонормированного базиса к нормированному является ортогональной. Доказательство: пусть имеются два ортонормированных базиса e1,e2,…,en – старый, e1’,e2’,…,en’ – новый. e1,e2,…,en Т.к. матрица C - матрица перехода, то она не вырождена => Что и требовалось доказать.
Оператор (преобразование) 1) 2) Вектор Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису: Пусть линейный оператор Пусть C – матрица перехода от базиса
При этом
Тогда
Следовательно,
или
Но C – невырожденная матрица, поэтому
или
Однако, как указывалось,
Значит,
Вектор Как найти собственные значения и собственные векторы? Предположим, что
Получили однородную систему n линейных уравнений с n неизвестными. Для существования ненулевого решения которой необходимо и достаточно, чтобы детерминант этой системы был равен нулю, т.е.
Левая часть последнего равенства совпадает при Верно и обратное. Каждый корень Действительно, соответствующие которая в этом случае обязательно имеет ненулевые решения, т.к. ее детерминант равен нулю. Квадратичной формой причем ==============================================================================
Из коэффициентов
которая называется матрицей квадратичной формы f, а ее ранг r называется рангом квадратичной формы f. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.054 сек.) |