Задания 14

Пусть А (0; 0; 1), В (2; 3; 5), С (6; 2; 3), D (3;7; 2).

Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Требуется:

1) записать векторы АВ, АС,AD в системе орт i,j,k. Найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами АВ, АС;

3) найти площадь грани АВС;

4) найти объем пирамиды АВСD;

6) составить уравнение ребра АС;

7) составить уравнение грани АВС.

1. Известно, что произвольный вектор а представляется в системе орт формуле

= а_х,i+ а_у,j+ а_г k, где а_х, а_у, а_г — координаты вектора в системе координат, порожденной ортами.

Если заданы точки (М (х у z ), М₂(х₂, у , z ₂), то для вектора = М М ₂

а_х= х₂ -х а_у=у₂ -у а_г= z₂ -z то есть М М = (х₂ -х )i + (у₂ -у ) j+(z₂ -z )k (2)

=((2-0);(3-0);(5-1)) | |=

= ((6 —0);(2—0);(3—1)) | |=

= ((3—0); (7—0);(2— 1)) | |=

2. Известна формула Cosα = ,где ( и )- скалярное произведение векторов и , которое можно вычислить следующим образом: ( ) =

У нас cos , )=

3. Воспользуемся формулой нахождения площади тре­угольника, построенного на векторах и S = (½)| * |, где * -векторное произведение векторов, которое можно вычислить по правилу: ( * ) =

В нашем примере

S_АВС = (1/2)| * |, причем * = = 2(-i+10 j-7k)

S_ABC =

1. Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах , , можно найти по формуле

V = ( = У нас V =(1/6) | ( * )* |, где

( * )* = = 2(2-14) -3(6-6) + 4(42-6) = 120

V = (1/6)*120 = 20(куб.ед.)

2. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А (х ), В(х ), С(х можно записать виде

Подставляя в него координаты точек А, В, С, получим

= 0, т.е. -2 х +20 у -14 z +14 = 0; х -10 у + 7 z -7 = 0.

Контрольные вопросы для самоподготовки 1 семестр

1. Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц.

2. Матрицы действия над матрицами.

3. Определитель матрицы. Свойства определителей.

4. Транспонирование определителя свойства определителей.

5. Определитель третьего порядка. Способы его вычисления.

6. Разложение определителя третьего порядка по элементам строки (столбца). Миноры и алгебраические дополнения.

7. Обратная матрица. Алгоритм вычисления обратной матрицы.

8. Решение систем линейных уравнений. Формулы. Крамера.

9. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

10. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение.

11. Линейная однородная система n - уравнений с n – неизвестными.

12. Матрицы. Ранг матрицы.

13. Система m -линейных уравнений с n - переменными. Теорема Кронекера -Капелли.

14. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

15. Проекция вектора на ось.

16. Действия над векторами, заданными своими координатами.

17. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.

18. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами. Угол между векторами.

19. Линейная зависимость векторов. Базис на плоскости.

20. n – переменный вектор и векторное пространство.

21. Размерность и базис векторного пространства.

22. Переход к новому базису.

23. Эвклидово пространство.

24. Линейные операторы.

25. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

26. Квадратичные формы.

27. Понятие об уравнении линии. Общее уравнение прямой.

28. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в отрезках.

29. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

30. Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом.

31. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

32. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности о двух прямых.

33. Плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

34. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

35. Кривые второго порядка. Каноническое уравнение окружности.

36. Каноническое уравнение эллипса. Исследование формы эллипса по его уравнению

37. Каноническое уравнение гиперболы. Равносторонняя гипербола.

38. Каноническое уравнение параболы.

39. Поверхности второго порядка.

Контрольные вопросы для самоподготовки 2 семестр

40. Каноническое уравнение эллипсоида.

41. Каноническое уравнение параболоида.

42. Каноническое уравнение гиперболоида.

43. Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса-Перрона.

44. Число и вектор Фробениуса, их свойства.

_45. Продуктивность неотрицательных матриц.

46. Модель многоотраслевой, экономики Леонтьева.

47. Продуктивные модели Леонтьева.

48. Различные критерии продуктивности модели Леонтьева.

49. Стандартная и каноническая формы записи ЗЛП.

50. Геометрическая интерпретация ЗЛП в случае двух переменных.

51. Графический метод решения.

52. Решение ЗЛП методом перебора вершин.

53. Симплекс-метод решения ЗЛП.

54. Алгоритм симплекс-метода.

55. Нахождение исходного допустимого базиса.

56. Метод искусственного базиса.

57. Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программи­рования. Основные теоремы двойственности.

58. Двойственность в экономи­ко-математических моделях.

59. Транспортная задача.

60. Основные понятия, связанные с разностными уравнениями.

61. Ре­шения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

62. Модели экономической динамики с дискретным временем.

63. Мо­дель Самуэльсона-Хикса.

64. Паутинная модель рынка.

65. Задача об определе­нии текущей стоимости купонной облигации.

Рекомендуемая основная литература

1. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера.- 3-е изд. - М.: ЮНИТИ, 2007. - 479 с. - (Золотой фонд Российских учебников) - ISBN 5-238-00991-7.

2. Красс, М.С. Математика для экономического бакалавриата: Учебник/ М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. - М.: Дело, 2005. - 576 с - ISBN 5-7749-0404-0.

3 Красс, М. С. Математика для экономистов: учеб.пособие для вузов/ М. С. Красс, Б.П. Чупрынов. - CПб.: Питер, 2005. - 464 с. - (Учебное пособие). - Библиогр.: с. 461. - Предм.указ.: с. 462-464. - ISBN 5-94723-672-9.

3. Солодовников, А.С. Математика в экономике: учеб.для вузов / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 224с - ISBN 5-279-01943-7.

4. Математика в экономике: учеб.для вузов / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов,И.Г. Шандра. - М.: Финансы и статистика, 1999. - 376с - ISBN 5-279-01944-5.

5. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера.- 2-е изд., перераб. и доп.. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 471 с - ISBN 5-238-00030-8.

6. Экономико-математическое моделирование: учебник / Под ред. И.Н. Дрогобыцкого. - М.: ЭКЗАМЕН, 2006. - 798 с - ISBN 5-472-01573-1.

7. Экономико-математические методы и прикладные модели: учеб.пособие для вузов/ под ред.В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 391 с - ISBN 5-238-00068-5.

Дополнительная литература

1. Акулич, И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: учеб. пособие / И.Л. Акулич.- 2-е изд., испр. - CПб.: Лань, 2009. - 347 с. - Библиогр.: с. 346-347. - ISBN 978-5-8114-0916-7.

2. Пантелеев, А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. - М.: Высшая школа, 2002. - 544с - ISBN 5-06-004137-9.

3. Коршунова, Н.И. Математика в экономике: учеб. пособ / Н.И. Коршунова, В.С. Плясунов. - М.: Вита-Пресс, 1996. - 368с - ISBN 5-7755-0012-1.

4. Плис, А.И. Mathcad. Математический практикум для инженеров и экономистов: Учеб. пособие / А.И. Плис, Н.А. Сливина.- 2-е изд., доп. и перераб. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 656 с.: ил. - ISBN 5-279-02550-Х.

5. Шелобаев, С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: учеб. пособие для вузов/ С.И. Шелобаев. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 367 с.

8. Замков, О. О. Математические методы в экономике: учебник / О. О. Замков, А. В. Толстопятенко, Ю. Н. Черемных; общ. ред. А. В. Сидорович.- 4-е изд. стер. - М.: Дело и Сервис, 2004. - 368 с. - (Учебники МГУ им. М. В. Ломоносова) - ISBN 5-86509-054-2.

9. Замков, О.О. и др. Математические методы в экономике. Учебник. 3-е изд. перераб. /Под ред. А.В. Сидоровича.- М.: Дело и Сервис, 2011

10. Лабскер, Л. Г. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом: учеб. пособие для вузов / Л. Г. Лабскер, Л. О. Бабешко; Акад. нар. хоз-ва при Правительстве РФ. - М.: Дело, 2001. - 464 с - ISBN 5-7749-0233-1.

11. Гашков, С.Б. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений: уч. пособие/ С.Б. Гашков, В.Н. Чубариков,-2-е изд., перераб. – М.: Высшая школа 2010

12. Пантелеев, А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах /А.В. Пантелеев, Т.А. Летева. –М.: Высшая школа, 2010

13. Режим доступа: http://www. exponenta.ru – «Образовательный математический сайт Exponenta.ru».

14. Режим доступа: http://www. matclub.ru – Лекции, примеры решения задач, интегралы и производные, дифференцирование, ТФКП, Электронные учебники. Типовой расчет из задачника Кузнецова.

15. Режим доступа: http://www. math.ru – «Образовательный математический сайт Math.ru».

16. Кострова, Ю. С. Метод проектов на занятиях по высшей математике в контексте компетентностного подхода [Текст] / Ю. С. Кострова // Молодой ученый. — 2011. — №8. — С. 114-117.

17. Самаров, К.А. Финансовая математика. Практический курс: уч. пособ./ К.А. Самаров.–М.:ИНФРА-М, 2010

Поиск по сайту: